Plan Gorenstein

En geometría algebraica, un esquema de Gorenstein es un esquema localmente noetheriano cuyos anillos locales son todos de Gorenstein . ^{[ 1 ]} El fibrado de líneas canónico se define para cualquier esquema de Gorenstein sobre un cuerpo , y sus propiedades son muy similares a las del caso especial de los esquemas suaves .

Para un esquema de Gorenstein X de tipo finito sobre un cuerpo, f : X → Spec( k ), el complejo dualizante f ^! ( k ) en X es un fibrado de líneas (llamado fibrado canónico K _X ), visto como un complejo en grado −dim( X ). ^{[ 2 ]} Si X es suave de dimensión n sobre k , el fibrado canónico K _X puede identificarse con el fibrado de líneas Ω ⁿ de formas diferenciales de grado máximo . ^{[ 3 ]}

Utilizando el fibrado canónico, la dualidad de Serre adopta la misma forma para los esquemas de Gorenstein que para los esquemas suaves.

Sea X un esquema normal de tipo finito sobre un cuerpo k . Entonces X es regular fuera de un subconjunto cerrado de codimensión al menos 2. Sea U el subconjunto abierto donde X es regular; entonces el fibrado canónico K _U es un fibrado lineal. La restricción del grupo de clases de divisores Cl( X ) a Cl( U ) es un isomorfismo, y (como U es liso) Cl( U ) puede identificarse con el grupo de Picard Pic( U ). Como resultado, K _U define una clase de equivalencia lineal de divisores de Weil en X . Cualquier divisor de este tipo se llama divisor canónico K _X . Para un esquema normal X , se dice que el divisor canónico K _X es Q-Cartier si algún múltiplo positivo del divisor de Weil K _X es Cartier . (Esta propiedad no depende de la elección del divisor de Weil en su clase de equivalencia lineal.) Alternativamente, a los esquemas normales X con K _X Q -Cartier se les llama a veces Q-Gorenstein .

También es útil considerar los esquemas normales X para los cuales el divisor canónico K _X es Cartier . A veces se dice que un esquema de este tipo es Q-Gorenstein de índice 1. (Algunos autores usan "Gorenstein" para esta propiedad, pero eso puede generar confusión). Un esquema normal X es Gorenstein (como se definió anteriormente) si y solo si K _X es Cartier y X es Cohen-Macaulay . ^{[ 4 ]}

• Una variedad algebraica con singularidades de intersección completa local , por ejemplo cualquier hipersuperficie en una variedad lisa, es Gorenstein. ^{[ 5 ]}
• Una variedad X con singularidades cociente sobre un cuerpo de característica cero es Cohen-Macaulay, y K _X es Q -Cartier. La variedad cociente de un espacio vectorial V por una acción lineal de un grupo finito G es Gorenstein si G se transforma en el subgrupo SL( V ) de transformaciones lineales de determinante 1. Por el contrario, si X es el cociente de C ² por el grupo cíclico de orden n que actúa por escalares, entonces K _X no es Cartier (y por lo tanto X no es Gorenstein) para n ≥ 3.
• Generalizando el ejemplo anterior, toda variedad X con singularidades klt (logaritmo terminal de Kawamata) sobre un cuerpo de característica cero es Cohen-Macaulay, y K _X es Q -Cartier. ^{[ 6 ]}
• Si una variedad X tiene singularidades log-canónicas , entonces K _X es Q -Cartier, pero X no tiene por qué ser Cohen-Macaulay. Por ejemplo, cualquier cono afín X sobre una variedad abeliana Y es log-canónico, y K _X es Cartier, pero X no es Cohen-Macaulay cuando Y tiene dimensión al menos 2. ^{[ 7 ]}

• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960 
• Hartshorne, Robin (1966), Residuos y dualidad , Lecture Notes in Mathematics, vol.  20, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03603-6, MR 0222093 
• Kollár, János (2013), Singularidades del programa modelo mínimo , Cambridge University Press , ISBN 978-1-107-03534-8, MR 3057950 
• Kollár, János ; Mori, Shigefumi (1998), Geometría biracional de variedades algebraicas , Cambridge University Press , ISBN 0-521-63277-3, MR 1658959 

• Autores del Proyecto Stacks, El Proyecto Stacks