electrodinámica cuántica

Hacia el final de su vida, Richard Feynman impartió una serie de conferencias sobre QED dirigidas al público general. Estas conferencias fueron transcritas y publicadas como Feynman (1985), QED: The Strange Theory of Light and Matter , ^{[ 2 ]} una exposición clásica no matemática de QED desde el punto de vista que se articula a continuación.

Los componentes clave de la presentación de Feynman sobre la QED son tres acciones básicas. ^{[ 2 ] : 85}

Un fotón viaja de un lugar y un momento a otro lugar y otro momento.

Un electrón se desplaza de un lugar y un momento a otro lugar y un momento diferentes.

Un electrón emite o absorbe un fotón en un lugar y momento determinados.

Estas acciones se representan mediante una notación visual abreviada con los tres elementos básicos de los diagramas : una línea ondulada para el fotón, una línea recta para el electrón y la unión de dos líneas rectas y una ondulada para un vértice que representa la emisión o absorción de un fotón por un electrón. Todos estos elementos pueden observarse en el diagrama adjunto.

Además de la notación visual abreviada para las acciones, Feynman introduce otro tipo de notación abreviada para las cantidades numéricas llamadas amplitudes de probabilidad . La probabilidad es el cuadrado del valor absoluto de la amplitud de probabilidad total,${\displaystyle {\text{probabilidad}}=|f({\text{amplitud}})|^{2}}$Si un fotón se mueve de un lugar a otro en un tiempo determinado.${\displaystyle A}$a otro lugar y a otro tiempo${\displaystyle B}$, la cantidad asociada se escribe en la taquigrafía de Feynman como${\displaystyle P(A{\text{ a }}B)}$y depende únicamente del momento y la polarización del fotón. La cantidad similar para un electrón que se mueve desde${\displaystyle C}$a${\displaystyle D}$está escrito${\displaystyle E(C{\text{ a }}D)}$Depende del momento y la polarización del electrón, además de una constante que Feynman denomina n , a veces llamada masa "desnuda" del electrón: está relacionada con, pero no es lo mismo que, la masa medida del electrón. Finalmente, la magnitud que nos informa sobre la amplitud de probabilidad de que un electrón emita o absorba un fotón, Feynman la denomina j , y a veces se la llama carga "desnuda" del electrón: es una constante y está relacionada con, pero no es lo mismo que, la carga medida del electrón e . ^{[ 2 ] : 91}

La electrodinámica cuántica (QED) se basa en la suposición de que las interacciones complejas de muchos electrones y fotones pueden representarse mediante la combinación de una colección adecuada de los tres bloques de construcción mencionados anteriormente, utilizando las amplitudes de probabilidad para calcular la probabilidad de cualquier interacción compleja. Resulta que la idea básica de la QED puede comunicarse asumiendo que el cuadrado de la suma de las amplitudes de probabilidad mencionadas ( P ( A a B ), E ( C a D ) y j ) se comporta como nuestra probabilidad cotidiana (una simplificación realizada en el libro de Feynman). Posteriormente, esto se corregirá para incluir matemáticas de estilo cuántico, siguiendo a Feynman.

Las reglas básicas de amplitudes de probabilidad que se utilizarán son: ^{[ 2 ] : 93}

El criterio de indistinguibilidad en (a) es muy importante: significa que no hay ninguna característica observable presente en el sistema dado que de alguna manera "revele" qué alternativa se toma. En tal caso, no se puede observar qué alternativa ocurre realmente sin cambiar la configuración experimental de alguna manera (por ejemplo, introduciendo un nuevo aparato en el sistema). Siempre que se puede observar qué alternativa ocurre, se encuentra que la probabilidad del evento es la suma de las probabilidades de las alternativas. De hecho, si no fuera así, el término mismo "alternativas" para describir estos procesos sería inapropiado. Lo que (a) dice es que una vez que se elimina el medio físico para observar qué alternativa ocurrió , todavía no se puede decir que el evento está ocurriendo a través de "exactamente una de las alternativas" en el sentido de sumar probabilidades; en cambio, se deben sumar las amplitudes. ^{[ 2 ] : 82}

De manera similar, el criterio de independencia en (b) es muy importante: solo se aplica a procesos que no están "entrelazados".

Supongamos que partimos de un electrón en un lugar y momento determinados (a este lugar y momento se le da la etiqueta arbitraria A ) y un fotón en otro lugar y momento (a este lugar y momento se le da la etiqueta B ). Una pregunta típica desde un punto de vista físico es: "¿Cuál es la probabilidad de encontrar un electrón en C (otro lugar y momento posterior) y un fotón en D (otro lugar y momento más)?". El proceso más simple para lograr este fin es que el electrón se mueva de A a C (una acción elemental) y que el fotón se mueva de B a D (otra acción elemental). Conociendo las amplitudes de probabilidad de cada uno de estos subprocesos —E ( de A a C ) y P ( de B a D )—, esperaríamos calcular la amplitud de probabilidad de que ambos ocurran simultáneamente multiplicándolas, usando la regla b) anterior. Esto da una amplitud de probabilidad global estimada simple, que se eleva al cuadrado para dar una probabilidad estimada.

Pero hay otras maneras en que el resultado podría llegar. El electrón podría moverse a un lugar y tiempo E , donde absorbe el fotón; luego moverse antes de emitir otro fotón en F ; luego moverse a C , donde es detectado, mientras que el nuevo fotón se mueve a D. La probabilidad de este proceso complejo se puede calcular nuevamente conociendo las amplitudes de probabilidad de cada una de las acciones individuales: tres acciones del electrón, dos acciones del fotón y dos vértices: una emisión y una absorción. Esperaríamos encontrar la amplitud de probabilidad total multiplicando las amplitudes de probabilidad de cada una de las acciones, para cualquier posición elegida de E y F. Luego, usando la regla a) anterior, tenemos que sumar todas estas amplitudes de probabilidad para todas las alternativas para E y F. (Esto no es elemental en la práctica e implica integración ). Pero hay otra posibilidad, que es que el electrón se mueva primero a G , donde emite un fotón, que va a D , mientras el electrón se mueve a H , donde absorbe el primer fotón, antes de moverse a C. Nuevamente, podemos calcular la amplitud de probabilidad de estas posibilidades (para todos los puntos G y H ). Luego, obtenemos una mejor estimación de la amplitud de probabilidad total sumando las amplitudes de probabilidad de estas dos posibilidades a nuestra estimación simple original. Cabe mencionar que este proceso de interacción de un fotón con un electrón se denomina dispersión Compton .

Existe un número infinito de otros procesos intermedios "virtuales" en los que se absorben o emiten fotones. Para cada uno de estos procesos, se puede dibujar un diagrama de Feynman que lo describa. Esto implica un cálculo complejo para las amplitudes de probabilidad resultantes, pero dado que cuanto más complejo es el diagrama, menos contribuye al resultado, es solo cuestión de tiempo y esfuerzo encontrar una respuesta tan precisa como se desee a la pregunta original. Este es el enfoque básico de la electrodinámica cuántica (QED). Para calcular la probabilidad de cualquier proceso interactivo entre electrones y fotones, se trata primero de observar, con diagramas de Feynman, todas las formas posibles en que el proceso puede construirse a partir de los tres elementos básicos. Cada diagrama implica algún cálculo que involucra reglas definidas para encontrar la amplitud de probabilidad asociada.

Esa estructura básica se mantiene al pasar a una descripción cuántica, pero se requieren algunos cambios conceptuales. Uno de ellos es que, si bien en nuestra vida cotidiana podríamos esperar ciertas restricciones sobre los puntos a los que una partícula puede moverse, esto no se cumple en la electrodinámica cuántica completa. Existe una amplitud de probabilidad no nula de que un electrón en A , o un fotón en B , se mueva como una acción básica a cualquier otro lugar y momento del universo . Esto incluye lugares a los que solo se podría llegar a velocidades superiores a la de la luz y también momentos anteriores . (Un electrón que se mueve hacia atrás en el tiempo puede considerarse como un positrón que se mueve hacia adelante en el tiempo). ^{[ 2 ] : 89, 98–99}

La mecánica cuántica introduce un cambio importante en la forma en que se calculan las probabilidades. Las probabilidades siguen representándose mediante los números reales habituales que usamos para las probabilidades en nuestro mundo cotidiano, pero se calculan como el módulo al cuadrado de las amplitudes de probabilidad , que son números complejos .

Feynman evita exponer al lector a las matemáticas de los números complejos utilizando una representación simple pero precisa de ellos como flechas en una hoja de papel o pantalla. (Estas no deben confundirse con las flechas de los diagramas de Feynman, que son representaciones simplificadas en dos dimensiones de una relación entre puntos en tres dimensiones del espacio y una del tiempo). Las flechas de amplitud son fundamentales para la descripción del mundo dada por la teoría cuántica. Están relacionadas con nuestras ideas cotidianas de probabilidad por la regla simple de que la probabilidad de un evento es el cuadrado de la longitud de la flecha de amplitud correspondiente. Así, para un proceso dado, si intervienen dos amplitudes de probabilidad, v y w , la probabilidad del proceso estará dada por

${\displaystyle P=|\mathbf {v} +\mathbf {w} |^{2}}$

o

${\displaystyle P=|\mathbf {v} \,\mathbf {w} |^{2}.}$

Las reglas para sumar o multiplicar son las mismas que las anteriores. Sin embargo, en lugar de sumar o multiplicar probabilidades, se suman o multiplican amplitudes de probabilidad que ahora son números complejos.

La suma y la multiplicación son operaciones comunes en la teoría de los números complejos y se muestran en las figuras. La suma se calcula de la siguiente manera: el inicio de la segunda flecha coincide con el final de la primera. La suma es entonces una tercera flecha que va directamente desde el inicio de la primera hasta el final de la segunda. El producto de dos flechas es una flecha cuya longitud es el producto de las longitudes de ambas. La dirección del producto se obtiene sumando los ángulos de giro de cada una de las dos flechas con respecto a una dirección de referencia: esto da el ángulo de giro del producto con respecto a dicha dirección.

Ese cambio, de probabilidades a amplitudes de probabilidad, complica las matemáticas sin cambiar el enfoque básico. Pero ese cambio aún no es del todo suficiente porque no toma en cuenta el hecho de que tanto los fotones como los electrones pueden estar polarizados, es decir, que sus orientaciones en el espacio y el tiempo deben tenerse en cuenta. Por lo tanto, P ( A a B ) consta de 16 números complejos, o flechas de amplitud de probabilidad. ^{[ 2 ] : 120–121} También hay algunos cambios menores relacionados con la cantidad j , que puede tener que rotarse un múltiplo de 90° para algunas polarizaciones, lo cual solo es de interés para el registro detallado.

Asociado al hecho de que el electrón puede polarizarse, existe otro pequeño detalle necesario, relacionado con el hecho de que un electrón es un fermión y obedece la estadística de Fermi-Dirac . La regla básica es que si tenemos la amplitud de probabilidad para un proceso complejo dado que involucra más de un electrón, entonces cuando incluimos (como siempre debemos) el diagrama de Feynman complementario en el que intercambiamos dos eventos electrónicos, la amplitud resultante es la inversa —la negativa— de la primera. El caso más simple sería dos electrones que parten de A y B y terminan en C y D. La amplitud se calcularía como la "diferencia", E ( A a D ) × E ( B a C ) − E ( A a C ) × E ( B a D ) , donde, según nuestra idea cotidiana de probabilidades, esperaríamos que fuera una suma. ^{[ 2 ] : 112–113}

Finalmente, se deben calcular P ( A a B ) y E ( C a D ) correspondientes a las amplitudes de probabilidad del fotón y del electrón, respectivamente. Estas son esencialmente las soluciones de la ecuación de Dirac , que describe el comportamiento de la amplitud de probabilidad del electrón, y de las ecuaciones de Maxwell , que describe el comportamiento de la amplitud de probabilidad del fotón. Se denominan propagadores de Feynman . La traducción a una notación comúnmente utilizada en la literatura estándar es la siguiente:

${\displaystyle P(A{\text{ a }}B)\to D_{F}(x_{B}-x_{A}),\quad E(C{\text{ a }}D)\to S_{F}(x_{D}-x_{C}),}$

donde un símbolo abreviado como${\displaystyle x_{A}}$representa los cuatro números reales que dan el tiempo y la posición en tres dimensiones del punto etiquetado como A.

Históricamente surgió un problema que retrasó el progreso durante veinte años: aunque partimos de la suposición de tres acciones básicas "simples", las reglas del juego indican que, para calcular la amplitud de probabilidad de que un electrón vaya de A a B , debemos considerar todas las posibilidades: todos los diagramas de Feynman posibles con esos puntos finales. Así, existirá una forma en que el electrón viaje a C , emita un fotón allí y luego lo absorba de nuevo en D antes de continuar hacia B. O podría repetir este proceso dos veces, o más. En resumen, nos encontramos ante una situación fractal en la que, si observamos detenidamente una línea, esta se descompone en una colección de líneas "simples", cada una de las cuales, si se observa con atención, está compuesta a su vez por líneas "simples", y así sucesivamente hasta el infinito . Esta es una situación compleja de abordar. Si añadir ese detalle solo hubiera alterado ligeramente las cosas, no habría sido tan grave, pero el desastre se desató cuando se descubrió que la simple corrección mencionada anteriormente conducía a amplitudes de probabilidad infinitas . Con el tiempo, este problema se "solucionó" mediante la técnica de renormalización . Sin embargo, el propio Feynman seguía descontento con ella, calificándola de "proceso absurdo" ^{[ 2 ] : 128} , y Dirac también criticó este procedimiento, diciendo: "En matemáticas, uno no se deshace de los infinitos cuando no le agradan" ^{[ 24 ] .}

Dentro del marco anterior, los físicos pudieron calcular con gran precisión algunas propiedades de los electrones, como el momento dipolar magnético anómalo . Sin embargo, como señala Feynman, esto no explica por qué partículas como el electrón tienen las masas que tienen. «No existe ninguna teoría que explique adecuadamente estos números. Los usamos en todas nuestras teorías, pero no los entendemos: qué son ni de dónde provienen. Creo que, desde un punto de vista fundamental, este es un problema muy interesante y serio». ^{[ 2 ] : 152}

Matemáticamente, la QED es una teoría de gauge abeliana con el grupo de simetría U(1) , definida en el espacio de Minkowski (espacio-tiempo plano). El campo de gauge , que media la interacción entre los campos cargados de espín 1/2 , es el campo electromagnético . El lagrangiano de la QED para un campo de espín 1/2 que interactúa con el campo electromagnético en unidades naturales da lugar a la acción ^{[ 27 ] : 78}

dónde

• ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$son matrices de Dirac .
• ${\displaystyle \psi }$un campo espinorial de Dirac de partículas de espín 1/2 (por ejemplo, campo electrón - positrón ).
• ${\displaystyle {\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$, llamado "psi-bar", a veces se le denomina adjunto de Dirac .
• ${\displaystyle D_{\mu }\equiv \partial _{\mu }+ieA_{\mu }+ieB_{\mu }}$es la derivada covariante de calibre .
  • e es la constante de acoplamiento , igual a la carga eléctrica del campo espinorial de Dirac.
  • ${\displaystyle A_{\mu }}$es el cuadripotencial covariante del campo electromagnético generado por el propio electrón. También se conoce como campo de gauge o campo de gauge.${\displaystyle {\text{U}}(1)}$conexión.
  • ${\displaystyle B_{\mu }}$es el campo externo impuesto por una fuente externa.
• m es la masa del electrón o positrón.
• ${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$es el tensor del campo electromagnético . Esto también se conoce como la curvatura del campo de gauge.

Al expandir la derivada covariante se revela una segunda forma útil del lagrangiano (campo externo).${\displaystyle B_{\mu }}$(establecer a cero para simplificar)

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi -ej^{\mu }A_{\mu }}$

dónde${\displaystyle j^{\mu }}$es el conservado${\displaystyle {\text{U}}(1)}$corriente que surge del teorema de Noether. Está escrito

${\displaystyle j^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .}$

Al expandir la derivada covariante en el lagrangiano se obtiene

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _ {\mu }\psi -e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi }$

${\displaystyle =-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi -ej^{\mu }A_{\mu }.}$

Para simplificar,${\displaystyle B_{\mu }}$se ha establecido en cero, sin pérdida de generalidad. Alternativamente, podemos absorber${\displaystyle B_{\mu }}$en un nuevo campo de medición${\displaystyle A'_{\mu }=A_{\mu }+B_{\mu }}$y renombrar el nuevo campo como${\displaystyle A_{\mu }.}$

A partir de este lagrangiano, se obtienen las ecuaciones de movimiento para el${\displaystyle \psi }$y${\displaystyle A_{\mu }}$Los campos se pueden obtener.

Esta teoría puede cuantizarse directamente tratando los sectores bosónicos y fermiónicos como libres. Esto nos permite construir un conjunto de estados asintóticos que pueden usarse para comenzar el cálculo de las amplitudes de probabilidad para diferentes procesos. Para ello, tenemos que calcular un operador de evolución , que para un estado inicial dado${\displaystyle |i\rangle }$dará un estado final${\displaystyle \langle f|}$de tal manera que tenga ^{[ 27 ] : 5}

$${\displaystyle S_{fi}=\langle f|U|i\rangle .}$$

Esta técnica también se conoce como la matriz S , y${\displaystyle S_{fi}}$Por lo tanto, se conoce como el elemento de la matriz S. El operador de evolución se obtiene en la imagen de interacción , donde la evolución temporal viene dada por el hamiltoniano de interacción, que es la integral sobre el espacio del segundo término en la densidad lagrangiana dada anteriormente: ^{[ 27 ] : 123}

$${\displaystyle V=e\int d^{3}x\,{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },}$$

Lo cual también puede escribirse en términos de una integral sobre la densidad del hamiltoniano de interacción.${\displaystyle {\mathcal {H}}_{I}=e{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}$. Por lo tanto, se tiene ^{[ 27 ] : 86}

$${\displaystyle U=T\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'\,V(t')\right],}$$

donde T es el operador de ordenación temporal . Este operador de evolución solo tiene sentido como una serie, y lo que obtenemos aquí es una serie de perturbación con la constante de estructura fina como parámetro de desarrollo. Esta expansión en serie de la amplitud de probabilidad${\displaystyle S_{fi}}$Se denomina serie Dyson y se define de la siguiente manera:

$${\displaystyle S_{fi}=\langle f|U|i\rangle =\left\langle f\left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int d^{4}x_{1}\cdots \int d^{4}x_{n}T{\bigg \{}{\mathcal {H}}(x_{1})\cdots {\mathcal {H}}(x_{n}){\bigg \}}\right|i\right\rangle }$$

Como${\displaystyle S_{fi}}$Por lo general, contiene funciones delta que no son medibles físicamente, por lo que resulta conveniente definir la amplitud invariante.${\displaystyle M_{fi}}$con:

$${\displaystyle S_{fi}=\langle f|i\rangle +(iM_{fi}\times {\text{Delta function terms}})}$$

A pesar de la claridad conceptual del enfoque de Feynman sobre la electrodinámica cuántica (QED), casi ningún libro de texto inicial lo sigue en su presentación. Al realizar cálculos, es mucho más fácil trabajar con las transformadas de Fourier de los propagadores . Las pruebas experimentales de la electrodinámica cuántica suelen ser experimentos de dispersión. En la teoría de la dispersión, se consideran los momentos de las partículas en lugar de sus posiciones, y es conveniente pensar que las partículas se crean o se aniquilan cuando interactúan. Los diagramas de Feynman se ven así iguales, pero las líneas tienen diferentes interpretaciones. La línea del electrón representa un electrón con una energía y un momento dados, con una interpretación similar para la línea del fotón. Un diagrama de vértice representa la aniquilación de un electrón y la creación de otro junto con la absorción o creación de un fotón, cada uno con energías y momentos específicos.

Utilizando el teorema de Wick sobre los términos de la serie de Dyson, todos los términos de la matriz S para la electrodinámica cuántica pueden calcularse mediante la técnica de diagramas de Feynman . En este caso, las reglas para dibujar son las siguientes ^{[ 27 ] : 801–802}

A estas reglas debemos agregar una más para bucles cerrados que implica una integración sobre momentos.${\textstyle \int d^{4}p/(2\pi )^{4}}$, ya que estas partículas internas ("virtuales") no están restringidas a ninguna energía-momento específica, ni siquiera a la que suele requerir la relatividad especial (véase Propagator para más detalles). La firma de la métrica${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$es${\displaystyle {\rm {diag}}(+---)}$.

A partir de ellos, se obtienen directamente cálculos de amplitudes de probabilidad . Un ejemplo es la dispersión Compton , donde un electrón y un fotón experimentan dispersión elástica . Los diagramas de Feynman se encuentran en este caso ^{[ 27 ] : 158–159}

y así podemos obtener la amplitud correspondiente en el primer orden de una serie de perturbaciones para la matriz S :

$${\displaystyle M_{fi}=(ie)^{2}{\overline {u}}({\vec {p}}',s')\epsilon \!\!\!/\,'({\vec {k}}',\lambda ')^{*}{\frac {p\!\!\!/+k\!\!\!/+m_{e}}{(p+k)^{2}-m_{e}^{2}}}\epsilon \!\!\!/({\vec {k}},\lambda )u({\vec {p}},s)+(ie)^{2}{\overline {u}}({\vec {p}}',s')\epsilon \!\!\!/({\vec {k}},\lambda ){\frac {p\!\!\!/-k\!\!\!/'+m_{e}}{(p-k')^{2}-m_{e}^{2}}}\epsilon \!\!\!/\,'({\vec {k}}',\lambda ')^{*}u({\vec {p}},s),}$$

a partir de lo cual podemos calcular la sección transversal para esta dispersión.

El éxito predictivo de la electrodinámica cuántica se basa en gran medida en el uso de la teoría de perturbaciones, expresada en diagramas de Feynman. Sin embargo, la electrodinámica cuántica también conduce a predicciones que van más allá de la teoría de perturbaciones. En presencia de campos eléctricos muy intensos, predice que se producirán electrones y positrones espontáneamente, causando así la atenuación del campo. Este proceso, denominado efecto Schwinger , ^{[ 28 ]} no puede entenderse en términos de un número finito de diagramas de Feynman y, por lo tanto, se describe como no perturbativo . Matemáticamente, puede derivarse mediante una aproximación semiclasica a la integral de trayectoria de la electrodinámica cuántica.

• Berestetskii, VB; Lifshitz, EM ; Pitaevskii, LP (1982). Curso de Física Teórica, Volumen 4: Electrodinámica Cuántica (2.ª  ed.). Elsevier. ISBN 978-0-7506-3371-0.
• De Broglie, L. (1925). Recherches sur la theorie des quanta [Investigación sobre la teoría cuántica] . Francia: Wiley-Interscience.
• Feynman, RP (1998). Electrodinámica cuántica (Nueva  ed.). Westview Press. ISBN 978-0-201-36075-2.
• Greiner, W.; Bromley, DA; Müller, B. (2000). Teoría de gauge de las interacciones débiles . Springer. ISBN 978-3-540-67672-0.
• Jauch, JM; Rohrlich, F. (1980). La teoría de los fotones y los electrones . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-07295-1.
• Kane, GL (1993). Física moderna de partículas elementales . Westview Press. ISBN 978-0-201-62460-1.
• Miller, AI (1995). Electrodinámica cuántica temprana: un libro de referencia . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56891-3.
• Milonni, PW (1994). El vacío cuántico: una introducción a la electrodinámica cuántica . Boston: Academic Press. ISBN 0124980805LCCN 93029780 . OCLC 422797902 .​  
• Schweber, SS (1994). QED y los hombres que lo hicieron posible . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-03327-3.
• Schwinger, J. (1958). Artículos seleccionados sobre electrodinámica cuántica . Dover Publications. ISBN 978-0-486-60444-2.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Tannoudji-Cohen, C.; Dupont-Roc, Jacques; Grynberg, Gilbert (1997). Fotones y átomos: Introducción a la electrodinámica cuántica . Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-18433-1.

• Dudley, JM; Kwan, AM (1996). "Las populares conferencias de Richard Feynman sobre electrodinámica cuántica: Las conferencias Robb de 1979 en la Universidad de Auckland". American Journal of Physics . 64 (6): 694– 98. Bibcode : 1996AmJPh..64..694D . doi : 10.1119/1.18234 .