Billar dinámico

El problema de Hadamard, conocido como "billar", describe el movimiento de una partícula puntual libre sobre una superficie de curvatura negativa constante; en particular, la superficie de Riemann compacta más simple con curvatura negativa, una superficie de género 2 (una rosquilla con dos agujeros). El modelo tiene solución exacta y viene dado por el flujo geodésico sobre la superficie. Es el primer ejemplo de caos determinista estudiado, introducido por Jacques Hadamard en 1898.

El problema de Artin, conocido como billar, considera el movimiento libre de una partícula puntual sobre una superficie de curvatura negativa constante; en particular, la superficie de Riemann no compacta más simple , una superficie con una cúspide. Se caracteriza por ser exactamente soluble y, además, no solo ergódica , sino también fuertemente mezcladora . Es un ejemplo de sistema de Anosov . Este sistema fue estudiado por primera vez por Emil Artin en 1924.

El billar triangular es el problema dinámico del billar en un triángulo . Es un problema abierto importante en este campo determinar si todos los triángulos tienen una trayectoria de billar periódica. Se conocen soluciones para todos los triángulos acutángulos, todos los triángulos rectángulos, todos los triángulos obtusángulos cuyo ángulo máximo es suficientemente pequeño, todos los triángulos con ángulos que son múltiplos racionales de π y todos los triángulos suficientemente cercanos a un triángulo isósceles . ^{[ 1 ]}

Sea M una variedad riemanniana lisa completa sin frontera, cuya curvatura seccional máxima no es mayor que K y con radio de inyectividad${\displaystyle \rho >0}$Consideremos una colección de n subconjuntos geodésicamente convexos (paredes).${\displaystyle B_{i}\subset M}$,${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$, de modo que sus fronteras sean subvariedades suaves de codimensión uno. Sea ${\displaystyle B=M\ (\bigcup _{i=1}^{n}\operatorname {Int} (B_{i}))}$, dónde${\displaystyle \operatorname {Int} (B_{i})}$denota el interior del conjunto${\displaystyle B_{i}}$. El conjunto${\displaystyle B\subset M}$se llamará mesa de billar. Consideremos ahora una partícula que se mueve dentro del conjunto B con velocidad unitaria a lo largo de una geodésica hasta que alcanza uno de los conjuntos B _i (tal evento se llama colisión) donde se refleja según la ley “el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión” (si alcanza uno de los conjuntos${\displaystyle B_{i}\cap B_{j}}$,${\displaystyle i\neq j}$(la trayectoria no está definida después de ese momento). Este sistema dinámico se denomina billar semidispersante . Si las paredes son estrictamente convexas, el billar se denomina dispersivo . Esta denominación se basa en la observación de que un haz de trayectorias localmente paralelas se dispersa tras una colisión con una parte estrictamente convexa de una pared, pero permanece localmente paralelo tras una colisión con una sección plana de la misma.

El límite de dispersión juega el mismo papel para los billares que la curvatura negativa para los flujos geodésicos causando la inestabilidad exponencial de la dinámica. Es precisamente este mecanismo de dispersión el que da a los billares dispersores sus propiedades caóticas más fuertes , como lo estableció Yakov G. Sinai . ^{[ 2 ]} Es decir, los billares son ergódicos , de mezcla , de Bernoulli , tienen una entropía de Kolmogorov-Sinai positiva y una disminución exponencial de las correlaciones .

Las propiedades caóticas de los billares semidispersivos en general no se comprenden del todo bien; sin embargo, las de un tipo importante de billares semidispersivos, el gas de bolas duras , se han estudiado con cierto detalle desde 1975 (véase la siguiente sección).

Los resultados generales de Dmitri Burago y Serge Ferleger ^{[ 3 ]} sobre la estimación uniforme del número de colisiones en billares semidispersantes no degenerados permiten establecer la finitud de su entropía topológica y un crecimiento no mayor que exponencial de las trayectorias periódicas. ^{[ 4 ]} En contraste, los billares semidispersantes degenerados pueden tener una entropía topológica infinita. ^{[ 5 ]}

La mesa del gas de Lorentz (también conocida como billar del Sinaí) es un cuadrado con un disco extraído de su centro; la mesa es plana, sin curvatura. El billar surge del estudio del comportamiento de dos discos que interactúan y rebotan dentro de un cuadrado, reflejándose en los límites del cuadrado y entre sí. Al eliminar el centro de masa como variable de configuración, la dinámica de dos discos que interactúan se reduce a la dinámica del billar del Sinaí.

El billar fue introducido por Yakov G. Sinai como un ejemplo de un sistema hamiltoniano interactivo que muestra propiedades termodinámicas físicas: casi todas (salvo una medida cero) de sus posibles trayectorias son ergódicas y tiene un exponente de Lyapunov positivo .

El gran logro de Sinai con este modelo fue demostrar que el conjunto clásico de Boltzmann - Gibbs para un gas ideal es esencialmente el billar de Hadamard máximamente caótico.

Una partícula está sometida a una fuerza constante (por ejemplo, la gravedad de la Tierra) y se dispersa inelásticamente sobre un suelo vibrante periódicamente ondulado. Cuando el suelo está formado por arcos o círculos —en un cierto intervalo de frecuencias— se pueden obtener estimaciones semianalíticas de la tasa de separación exponencial de las trayectorias. ^{[ 6 ]}

La mesa conocida como estadio Bunimovich es un rectángulo con semicírculos en la parte superior, una forma llamada estadio . Hasta su introducción por Leonid Bunimovich , se creía que los billares con exponentes de Lyapunov positivos requerían dispersores convexos, como el disco del billar Sinaí, para producir la divergencia exponencial de las órbitas. Bunimovich demostró que, al considerar las órbitas más allá del punto focal de una región cóncava, era posible obtener la divergencia exponencial.

El billar magnético representa un juego en el que una partícula cargada se propaga bajo la acción de un campo magnético perpendicular. Como resultado, la trayectoria de la partícula cambia de una línea recta a un arco de círculo. El radio de este círculo es inversamente proporcional a la intensidad del campo magnético. Este tipo de billar ha resultado útil en aplicaciones prácticas, como el modelado de nanodispositivos (véase Aplicaciones).

El billar generalizado (GB) describe el movimiento de un punto de masa (una partícula) dentro de un dominio cerrado.${\displaystyle \Pi \,\subset \,\mathbb {R} ^{n}}$con el límite suave por partes${\displaystyle \Gamma }$En el límite${\displaystyle \Gamma }$la velocidad del punto se transforma a medida que la partícula experimenta la acción de la ley de billar generalizada. Las GB fueron introducidas por Lev D. Pustyl'nikov en el caso general, ^{[ 7 ]} y, en el caso cuando${\displaystyle \Pi }$es un paralelepípedo ^{[ 8 ]} en relación con la justificación de la segunda ley de la termodinámica . Desde el punto de vista físico, GB describe un gas que consta de un número finito de partículas que se mueven en un recipiente, mientras que las paredes del recipiente se calientan o se enfrían. La esencia de la generalización es la siguiente. Cuando la partícula golpea el límite${\displaystyle \Gamma }$Su velocidad se transforma con la ayuda de una función dada.${\displaystyle f(\gamma ,\,t)}$, definido en el producto directo${\displaystyle \Gamma \,\times \,\mathbb {R} ^{1}}$(dónde${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$es la línea real,${\displaystyle \gamma \,\en \,\Gamma }$es un punto del límite y${\displaystyle t\,\in \,\mathbb {R} ^{1}}$es el tiempo), según la siguiente ley. Supongamos que la trayectoria de la partícula, que se mueve con la velocidad${\displaystyle v}$, interseca${\displaystyle \Gamma }$en ese punto${\displaystyle \gamma \,\en \,\Gamma }$en ese momento${\displaystyle t^{*}}$. Entonces, en ese momento${\displaystyle t^{*}}$la partícula adquiere la velocidad${\displaystyle v^{*}}$, como si hubiera sufrido un empuje elástico del plano infinitamente pesado${\displaystyle \Gamma ^{*}}$, que es tangente a${\displaystyle \Gamma }$en ese punto${\displaystyle \gamma }$y en ese momento${\displaystyle t^{*}}$se mueve a lo largo de la normal a${\displaystyle \Gamma }$en${\displaystyle \gamma }$con la velocidad${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}(\gamma ,\,t^{*})}$. Hacemos hincapié en que la posición del límite en sí es fija, mientras que su acción sobre la partícula se define a través de la función${\displaystyle f}$.

Tomamos la dirección positiva del movimiento del avión.${\displaystyle \Gamma ^{*}}$estar hacia el interior de${\displaystyle \Pi }$Por lo tanto, si la derivada${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}(\gamma ,\,t)\;>\;0}$, luego la partícula se acelera después del impacto.

Si la velocidad${\displaystyle v^{*}}$, adquirido por la partícula como resultado de la ley de reflexión anterior, se dirige hacia el interior del dominio${\displaystyle \Pi }$, entonces la partícula abandonará el límite y continuará moviéndose en${\displaystyle \Pi }$hasta la próxima colisión con${\displaystyle \Gamma }$. Si la velocidad${\displaystyle v^{*}}$está dirigido hacia el exterior de${\displaystyle \Pi }$, entonces la partícula permanece en${\displaystyle \Gamma }$en ese punto${\displaystyle \gamma }$hasta que en algún momento${\displaystyle {\tilde {t}}\;>\;t^{*}}$La interacción con el límite obligará a la partícula a abandonarlo.

Si la función${\displaystyle f(\gamma ,\,t)}$no depende del tiempo${\displaystyle t}$; es decir,${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial t}}\;=\;0}$El billar generalizado coincide con el clásico.

Esta ley de reflexión generalizada es muy natural. Primero, refleja el hecho obvio de que las paredes del recipiente con gas están inmóviles. Segundo, la acción de la pared sobre la partícula sigue siendo la clásica fuerza elástica. En esencia, consideramos límites que se mueven infinitesimalmente con velocidades dadas.

Se considera la reflexión desde el límite${\displaystyle \Gamma }$tanto en el marco de la mecánica clásica (caso newtoniano) como en el de la teoría de la relatividad (caso relativista).

Resultados principales: en el caso newtoniano la energía de la partícula está limitada, la entropía de Gibbs es una constante, ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} (en Notas) y en el caso relativista la energía de la partícula, la entropía de Gibbs, la entropía con respecto al volumen de fase crecen hasta el infinito, ^{[ 8 ] [ 10 ]} (en Notas), referencias a billares generalizados.

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• Animación Flash que ilustra el caótico Estadio Bunimovich

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