Fidelidad de los estados cuánticos

Una expresión equivalente para la fidelidad entre estados arbitrarios mediante la norma de traza es:

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\lVert {\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}\rVert _{\operatorname {tr} }^{2}=\left(\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|\right)^{2},}$

donde el valor absoluto de un operador se define aquí como${\displaystyle |A|\equiv {\sqrt {A^{\dagger }A}}}$.

Dado que la traza de una matriz es igual a la suma de sus valores propios

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\sum _{j}{\sqrt {\lambda _{j}}},}$

donde el${\displaystyle \lambda _{j}}$son los valores propios de${\displaystyle {\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}$, que es semidefinida positiva por construcción y, por lo tanto, las raíces cuadradas de los autovalores están bien definidas. Debido a que el polinomio característico de un producto de dos matrices es independiente del orden, el espectro de un producto matricial es invariante bajo permutación cíclica , y por lo tanto, estos autovalores pueden calcularse en su lugar a partir de${\displaystyle \rho \sigma }$. ^{[ 7 ] [ 8 ]} Invertir la propiedad de traza conduce a

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {\rho \sigma }}\right)^{2}}$.

Si (al menos) uno de los dos estados es puro, por ejemplo${\displaystyle \rho =|\psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho }|}$, la fidelidad se simplifica a$${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\operatorname {tr} (\sigma \rho )=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle .}$$Esto se deduce de la observación de que si${\displaystyle \rho }$entonces es puro${\displaystyle {\sqrt {\rho }}=\rho }$y por lo tanto$${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {|\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|}}\right)^{2}=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle \left(\operatorname {tr} {\sqrt {|\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|}}\right)^{2}=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle .}$$

Si ambos estados son puros,${\displaystyle \rho =|\psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho }|}$y${\displaystyle \sigma =|\psi _{\sigma }\rangle \!\langle \psi _{\sigma }|}$, entonces obtenemos la expresión aún más simple:$${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}.}$$

El cálculo directo muestra que la fidelidad se conserva mediante la evolución unitaria , es decir

${\displaystyle \;F(\rho ,\sigma )=F(U\rho \;U^{*},U\sigma U^{*})}$

para cualquier operador unitario${\displaystyle U}$.

Dejar${\displaystyle \{E_{k}\}_{k}}$sea ​​una medida arbitraria con valores de operador positivo (POVM); es decir, un conjunto de operadores semidefinidos positivos.${\displaystyle E_{k}}$satisfactorio${\displaystyle \sum _{k}E_{k}=I}$. Entonces, para cualquier par de estados${\displaystyle \rho }$y${\displaystyle \sigma }$, tenemos $${\displaystyle {\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq \sum _{k}{\sqrt {\operatorname {tr} (E_{k}\rho )}}{\sqrt {\operatorname {tr} (E_{k}\sigma )}}\equiv \sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}},}$$ donde en el último paso denotamos con${\displaystyle p_{k}\equiv \operatorname {tr} (E_{k}\rho )}$y${\displaystyle q_{k}\equiv \operatorname {tr} (E_{k}\sigma )}$las distribuciones de probabilidad obtenidas mediante la medición${\displaystyle \rho ,\ \sigma }$con el POVM${\displaystyle \{E_{k}\}_{k}}$.

Esto demuestra que la raíz cuadrada de la fidelidad entre dos estados cuánticos está acotada superiormente por el coeficiente de Bhattacharyya entre las distribuciones de probabilidad correspondientes en cualquier POVM posible. De hecho, es más generalmente cierto que$${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\min _{\{E_{k}\}}F({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}),}$$dónde${\displaystyle F({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\equiv \left(\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}\right)^{2}}$y el mínimo se toma sobre todos los POVM posibles. Más específicamente, se puede demostrar que el mínimo se alcanza mediante el POVM proyectivo correspondiente a la medición en la base propia del operador${\displaystyle \sigma ^{-1/2}|{\sqrt {\sigma }}{\sqrt {\rho }}|\sigma ^{-1/2}}$. ^{[ 10 ]}

Se puede demostrar que la fidelidad entre dos estados nunca disminuye cuando se realiza una operación cuántica no selectiva.${\displaystyle {\mathcal {E}}}$se aplica a los estados: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle F({\mathcal {E}}(\rho ),{\mathcal {E}}(\sigma ))\geq F(\rho ,\sigma ),}$$para cualquier mapa completamente positivo que conserve el rastro${\displaystyle {\mathcal {E}}}$.

Podemos definir la distancia de traza entre dos matrices A y B en términos de la norma de traza mediante

${\displaystyle D(A,B)={\frac {1}{2}}\|A-B\|_{\rm {tr}}\,.}$

Cuando A y B son ambos operadores de densidad, esto es una generalización cuántica de la distancia estadística . Esto es relevante porque la distancia de traza proporciona límites superiores e inferiores en la fidelidad tal como se cuantifica mediante las desigualdades de Fuchs-van de Graaf , ^{[ 12 ].}

${\displaystyle 1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq D(\rho ,\sigma )\leq {\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )}}\,.}$

A menudo, la distancia de traza es más fácil de calcular o delimitar que la fidelidad, por lo que estas relaciones resultan bastante útiles. En el caso de que al menos uno de los estados sea un estado puro Ψ, se puede ajustar el límite inferior.

${\displaystyle 1-F(\psi ,\rho )\leq D(\psi ,\rho )\,.}$

Una demostración sencilla puede esbozarse de la siguiente manera. Sea${\displaystyle \textstyle |\Omega \rangle }$denotemos el vector

${\displaystyle |\Omega \rangle =\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \otimes |e_{i}\rangle }$

y sea σ ^{1 ⁄ 2} la única raíz cuadrada positiva de σ. Vemos que, debido a la libertad unitaria en las factorizaciones de raíz cuadrada y a la elección de bases ortonormales , una purificación arbitraria de σ es de la forma

${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle =(\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}\otimes V_{2})|\Omega \rangle }$

donde V _i son operadores unitarios . Ahora calculamos directamente

${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}=|\langle \Omega |(\rho ^{{1}/{2}}\otimes I)(\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}\otimes V_{2})|\Omega \rangle |^{2}=|\operatorname {tr} (\rho ^{{1}/{2}}\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}V_{2}^{T})|^{2}.}$

Pero en general, para cualquier matriz cuadrada A y operador unitario U , se cumple que |tr( AU )| ≤ tr(( A ^* A ) ^{1 ⁄ 2} ). Además, la igualdad se alcanza si U ^* es el operador unitario en la descomposición polar de A. De esto se deduce directamente el teorema de Uhlmann.

Aquí proporcionaremos una forma alternativa y explícita de demostrar el teorema de Uhlmann.

Dejar${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle }$y${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle }$ser purificaciones de${\displaystyle \rho }$y${\displaystyle \sigma }$, respectivamente. Para empezar, mostremos que${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |\leq \operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|}$.

La forma general de las purificaciones de los estados es:$${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi _{\rho }\rangle &=\sum _{k}{\sqrt {\lambda _{k}}}|\lambda _{k}\rangle \otimes |u_{k}\rangle ,\\|\psi _{\sigma }\rangle &=\sum _{k}{\sqrt {\mu _{k}}}|\mu _{k}\rangle \otimes |v_{k}\rangle ,\end{aligned}}}$$eran${\displaystyle |\lambda _{k}\rangle ,|\mu _{k}\rangle }$son los autovectores de${\displaystyle \rho ,\ \sigma }$, y${\displaystyle \{u_{k}\}_{k},\{v_{k}\}_{k}}$son bases ortonormales arbitrarias. La superposición entre las purificaciones es$${\displaystyle \langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle =\sum _{jk}{\sqrt {\lambda _{j}\mu _{k}}}\langle \lambda _{j}|\mu _{k}\rangle \,\langle u_{j}|v_{k}\rangle =\operatorname {tr} \left({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U\right),}$$donde la matriz unitaria${\displaystyle U}$se define como$${\displaystyle U=\left(\sum _{k}|\mu _{k}\rangle \!\langle u_{k}|\right)\,\left(\sum _{j}|v_{j}\rangle \!\langle \lambda _{j}|\right).}$$La conclusión se alcanza ahora mediante el uso de la desigualdad.${\displaystyle |\operatorname {tr} (AU)|\leq \operatorname {tr} ({\sqrt {A^{\dagger }A}})\equiv \operatorname {tr} |A|}$:$${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |=|\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U)|\leq \operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|.}$$Nótese que esta desigualdad es la desigualdad triangular aplicada a los valores singulares de la matriz. De hecho, para una matriz genérica${\displaystyle A\equiv \sum _{j}s_{j}(A)|a_{j}\rangle \!\langle b_{j}|}$y unitario${\displaystyle U=\sum _{j}|b_{j}\rangle \!\langle w_{j}|}$, tenemos$${\displaystyle {\begin{aligned}|\operatorname {tr} (AU)|&=\left|\operatorname {tr} \left(\sum _{j}s_{j}(A)|a_{j}\rangle \!\langle b_{j}|\,\,\sum _{k}|b_{k}\rangle \!\langle w_{k}|\right)\right|\\&=\left|\sum _{j}s_{j}(A)\langle w_{j}|a_{j}\rangle \right|\\&\leq \sum _{j}s_{j}(A)\,|\langle w_{j}|a_{j}\rangle |\\&\leq \sum _{j}s_{j}(A)\\&=\operatorname {tr} |A|,\end{aligned}}}$$dónde${\displaystyle s_{j}(A)\geq 0}$son los valores singulares (siempre reales y no negativos) de${\displaystyle A}$, como en la descomposición en valores singulares . La desigualdad se satura y se convierte en una igualdad cuando${\displaystyle \langle w_{j}|a_{j}\rangle =1}$, es decir, cuando${\displaystyle U=\sum _{k}|b_{k}\rangle \!\langle a_{k}|,}$y por lo tanto${\displaystyle AU={\sqrt {AA^{\dagger }}}\equiv |A|}$Lo anterior demuestra que${\displaystyle |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |=\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|}$cuando las purificaciones${\displaystyle |\psi _{\rho }\rangle }$y${\displaystyle |\psi _{\sigma }\rangle }$son tales que${\displaystyle {\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U=|{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|}$. Dado que esta elección es posible independientemente de los estados, finalmente podemos concluir que$${\displaystyle \operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|=\max |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |.}$$

Algunas consecuencias inmediatas del teorema de Uhlmann son:

• La fidelidad es simétrica en sus argumentos, es decir, F (ρ,σ) = F (σ,ρ). Nótese que esto no resulta obvio a partir de la definición original.
• F (ρ,σ) se encuentra en [0,1], por la desigualdad de Cauchy-Schwarz .
• F (ρ,σ) = 1 si y sólo si ρ = ​​σ, ya que Ψ _ρ = Ψ _σ implica ρ = σ.

Así podemos ver que la fidelidad se comporta casi como una métrica. Esto se puede formalizar y hacer útil definiendo

${\displaystyle \cos ^{2}\theta _{\rho \sigma }=F(\rho ,\sigma )\,}$

Como el ángulo entre los estados${\displaystyle \rho }$y${\displaystyle \sigma }$De las propiedades anteriores se deduce que${\displaystyle \theta _{\rho \sigma }}$es no negativo, simétrico en sus entradas y es igual a cero si y solo si${\displaystyle \rho =\sigma }$. Además, se puede demostrar que obedece la desigualdad triangular, ^{[ 2 ]} por lo que este ángulo es una métrica en el espacio de estados: la métrica de Fubini-Study . ^{[ 14 ]}

Además de definir la fidelidad basándose en una optimización sobre purificaciones, también es posible definirla como una optimización sobre descomposiciones convexas como

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\max _{\{p_{k},\Psi _{k},\Phi _{k}\}}\sum _{k}p_{k}|\langle \Psi _{k}\vert \Phi _{k}\rangle |\right)^{2},}$

dónde${\displaystyle \rho }$y${\displaystyle \sigma }$se descomponen como

${\displaystyle \rho =\sum _{k}p_{k}|\Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}|,\quad \quad \sigma =\sum _{k}p_{k}|\Phi _{k}\rangle \langle \Phi _{k}|.}$

Debido a esto, la raíz de la fidelidad cuántica puede expresarse como su propio techo convexo.

${\displaystyle {\sqrt {F}}(\rho ,\sigma )=\max _{\{p_{k},\Psi _{k},\Phi _{k}\}}\sum _{k}p_{k}{\sqrt {F}}(\vert \Psi _{k}\rangle ,\vert \Phi _{k}\rangle ),}$

dónde${\displaystyle \rho }$y${\displaystyle \sigma }$se descomponen como se indicó anteriormente. ^{[ 15 ]}