Indeterminación cuántica

La indeterminación cuántica es la aparente incompletitud necesaria en la descripción de un sistema físico , que se ha convertido en una de las características de la descripción estándar de la física cuántica . Antes de la física cuántica, se pensaba que

La indeterminación cuántica puede caracterizarse cuantitativamente mediante una distribución de probabilidad sobre el conjunto de resultados de las mediciones de una observable . Esta distribución está determinada unívocamente por el estado del sistema, y ​​además, la mecánica cuántica proporciona un método para calcularla.

La indeterminación en la medición no fue una innovación de la mecánica cuántica, ya que los experimentadores habían establecido desde muy temprano que los errores de medición podían conducir a resultados indeterminados. Para la segunda mitad del siglo XVIII, los errores de medición se comprendían bien y se sabía que podían reducirse con mejores equipos o tenerse en cuenta mediante modelos de error estadístico. En mecánica cuántica, sin embargo, la indeterminación es de una naturaleza mucho más fundamental, que no tiene nada que ver con errores o perturbaciones.

Una explicación adecuada de la indeterminación cuántica requiere una teoría de la medición. Se han propuesto muchas teorías desde los inicios de la mecánica cuántica , y la medición cuántica sigue siendo un área de investigación activa tanto en la física teórica como en la experimental. ^{[ 1 ]} Posiblemente, el primer intento sistemático de una teoría matemática fue desarrollado por John von Neumann . Los tipos de mediciones que investigó se denominan ahora mediciones proyectivas. Dicha teoría se basó a su vez en la teoría de medidas con valores de proyección para operadores autoadjuntos que había sido desarrollada recientemente (por von Neumann e independientemente por Marshall Stone ) y en la formulación del espacio de Hilbert de la mecánica cuántica (atribuida por von Neumann a Paul Dirac ).

En esta formulación, el estado de un sistema físico corresponde a un vector de longitud 1 en un espacio de Hilbert H sobre los números complejos . Un observable está representado por un operador autoadjunto (es decir, hermitiano ) A en H. Si H es de dimensión finita , por el teorema espectral , A tiene una base ortonormal de autovectores . Si el sistema está en el estado ψ , entonces inmediatamente después de la medición el sistema ocupará un estado que es un autovector e de A y el valor observado λ será el autovalor correspondiente de la ecuación Ae = λe . De esto se deduce inmediatamente que la medición en general será no determinista. La mecánica cuántica, además, proporciona una fórmula para calcular una distribución de probabilidad Pr sobre los posibles resultados dado que el estado inicial del sistema es ψ . La probabilidad es $${\displaystyle \operatorname {Pr} (\lambda )=\langle \operatorname {E} (\lambda )\psi \mid \psi \rangle }$$ donde E ( λ ) es la proyección sobre el espacio de autovectores de A con autovalor λ .

Ejemplo

En este ejemplo, consideramos una partícula ^de espín 1/2 (como un electrón) en la que solo consideramos el grado de libertad de espín. El espacio de Hilbert correspondiente es el espacio de Hilbert complejo bidimensional ^C² , donde cada estado cuántico corresponde a un vector unitario en C² (único salvo fase). En este caso, el espacio de estados puede representarse geométricamente como la superficie de una esfera, como se muestra en la figura de la derecha.

Las matrices de espín de Pauli$${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$$ son autoadjuntos y corresponden a mediciones de espín a lo largo de los 3 ejes de coordenadas.

Todas las matrices de Pauli tienen los valores propios +1, − 1.

• Para σ ₁ , estos autovalores corresponden a los autovectores$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,1),{\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,-1)}$$
• Para σ ₃ , corresponden a los autovectores$${\displaystyle (1,0),(0,1)}$$

Así, en el estado $${\displaystyle \psi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,1),}$$σ ₁ tiene un valor determinado de +1, mientras que la medición de σ ₃ puede producir +1 o −1 con una probabilidad de 1/2 en ambos casos. De hecho, no existe ningún estado en el que las mediciones de σ ₁ y σ ₃ tengan valores determinados.

Existen diversas preguntas que pueden plantearse en relación con la afirmación de indeterminación anterior.

1. ¿Puede interpretarse la aparente indeterminación como determinista, pero dependiente de cantidades no contempladas en la teoría actual, que por lo tanto sería incompleta? Más precisamente, ¿existen variables ocultas que podrían explicar la indeterminación estadística de una manera completamente clásica?
2. ¿Puede entenderse la indeterminación como una perturbación del sistema que se está midiendo?

Von Neumann formuló la pregunta 1) y proporcionó un argumento de por qué la respuesta debía ser no, si se aceptaba el formalismo que proponía. Sin embargo, según Bell, la prueba formal de von Neumann no justificaba su conclusión informal. ^{[ 2 ]} Una respuesta negativa definitiva pero parcial a 1) se ha establecido experimentalmente: dado que se violan las desigualdades de Bell , cualquier variable oculta de este tipo no puede ser local (véanse los experimentos de prueba de Bell ).

La respuesta a la pregunta 2) depende de cómo se entienda la perturbación, especialmente porque la medición implica perturbación (sin embargo, cabe señalar que este es el efecto del observador , que es distinto del principio de incertidumbre). Aun así, en la interpretación más natural, la respuesta también es no. Para ver esto, consideremos dos secuencias de mediciones: (A) que mide exclusivamente σ ₁ y (B) que mide solo σ ₃ de un sistema de espín en el estado ψ . Los resultados de las mediciones de (A) son todos +1, mientras que la distribución estadística de las mediciones (B) sigue dividida entre +1 y −1 con igual probabilidad.

La indeterminación cuántica es la afirmación de que el estado de un sistema no determina un conjunto único de valores para todas sus propiedades medibles. De hecho, según el teorema de Kochen-Specker , en el formalismo de la mecánica cuántica es imposible que, para un estado cuántico dado, cada una de estas propiedades medibles ( observables ) tenga un valor determinado (preciso). Los valores de un observable se obtienen de forma no determinista, de acuerdo con una distribución de probabilidad que está determinada unívocamente por el estado del sistema. Cabe destacar que el estado se destruye con la medición, por lo que, cuando nos referimos a un conjunto de valores, cada valor medido en dicho conjunto debe obtenerse utilizando un estado recién preparado.

Esta indeterminación podría considerarse una especie de incompletitud esencial en nuestra descripción de un sistema físico. Sin embargo, cabe señalar que la indeterminación, tal como se indicó anteriormente, solo se aplica a los valores de las mediciones, no al estado cuántico. Por ejemplo, en el caso del espín 1/2 analizado anteriormente, el sistema puede prepararse en el estado ψ utilizando la medición de σ ₁ como un filtro que retiene solo aquellas partículas tales que σ ₁ produce +1. Según los postulados de von Neumann, inmediatamente después de la medición el sistema se encuentra con seguridad en el estado ψ .

Sin embargo, Albert Einstein creía que el estado cuántico no puede ser una descripción completa de un sistema físico y, según se suele pensar, nunca llegó a comprender la mecánica cuántica. De hecho, Einstein, Boris Podolsky y Nathan Rosen demostraron que, si la mecánica cuántica es correcta, entonces la visión clásica de cómo funciona el mundo real (al menos después de la relatividad especial) ya no es sostenible. Esta visión incluía las dos ideas siguientes:

1. Una propiedad medible de un sistema físico cuyo valor puede predecirse con certeza es en realidad un elemento de la realidad (local) (esta fue la terminología utilizada por EPR ).
2. Los efectos de las acciones locales tienen una velocidad de propagación finita.

Este fallo de la visión clásica fue una de las conclusiones del experimento mental EPR , en el que dos observadores ubicados a distancia , conocidos comúnmente como Alice y Bob , realizan mediciones independientes del espín de un par de electrones, preparados en una fuente en un estado especial llamado estado singlete de espín . EPR concluyó, utilizando el aparato formal de la teoría cuántica, que una vez que Alice medía el espín en la dirección x , la medición de Bob en la misma dirección quedaba determinada con certeza, mientras que inmediatamente antes de la medición de Alice, el resultado de Bob solo se determinaba estadísticamente. De esto se deduce que o bien el valor del espín en la dirección x no es un elemento de la realidad, o bien el efecto de la medición de Alice tiene una velocidad de propagación infinita.

Hemos descrito la indeterminación para un sistema cuántico que se encuentra en un estado puro . Los estados mixtos son un tipo de estado más general que se obtiene mediante una mezcla estadística de estados puros. Para los estados mixtos, la "receta cuántica" para determinar la distribución de probabilidad de una medición se determina de la siguiente manera:

Sea A un observable de un sistema mecánico cuántico. A viene dado por un operador autoadjunto densamente definido en H. La medida espectral de A es una medida con valores de proyección definida por la condición

${\displaystyle \operatorname {E} _{A}(U)=\int _{U}\lambda \,d\operatorname {E} (\lambda ),}$

para cada subconjunto de Borel U de R. Dado un estado mixto S , introducimos la distribución de A bajo S de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {D} _{A}(U)=\operatorname {Tr} (\operatorname {E} _{A}(U)S).}$

Esta es una medida de probabilidad definida en los subconjuntos de Borel de R que es la distribución de probabilidad obtenida al medir A en S.

La indeterminación cuántica se suele entender como información (o su ausencia) cuya existencia inferimos, presente en sistemas cuánticos individuales antes de la medición. La aleatoriedad cuántica es la manifestación estadística de dicha indeterminación, observable en los resultados de experimentos repetidos muchas veces. Sin embargo, la relación entre indeterminación cuántica y aleatoriedad es sutil y puede considerarse de diferentes maneras. ^{[ 4 ]}

En la física clásica , los experimentos de azar, como lanzar monedas y dados, son deterministas, en el sentido de que un conocimiento perfecto de las condiciones iniciales haría que los resultados fueran perfectamente predecibles. La «aleatoriedad» proviene de la ignorancia de la información física en el lanzamiento inicial. En contraste diametral, en el caso de la física cuántica , los teoremas de Kochen y Specker, ^{[ 5 ]} las desigualdades de John Bell, ^{[ 6 ]} y la evidencia experimental de Alain Aspect , ^{[ 7 ] [ 8 ]} indican que la aleatoriedad cuántica no proviene de ninguna información física de este tipo .

En 2008, Tomasz Paterek et al. proporcionaron una explicación en información matemática . Demostraron que la aleatoriedad cuántica es, exclusivamente, el resultado de experimentos de medición cuyas configuraciones de entrada introducen independencia lógica en los sistemas cuánticos. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

La independencia lógica es un fenómeno bien conocido en la lógica matemática . Se refiere a la nula conectividad lógica que existe entre proposiciones matemáticas (en el mismo lenguaje) que no se prueban ni se refutan entre sí. ^{[ 11 ]}

En el trabajo de Paterek et al., los investigadores demuestran un vínculo entre la aleatoriedad cuántica y la independencia lógica en un sistema formal de proposiciones booleanas. En experimentos que miden la polarización de fotones, Paterek et al. demuestran estadísticas que correlacionan resultados predecibles con proposiciones matemáticas lógicamente dependientes, y resultados aleatorios con proposiciones lógicamente independientes. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

• A. Aspect, La prueba de desigualdad de Bell: más ideal que nunca , Nature 398 189 (1999).
• G. Bergmann, La lógica de los cuantos , American Journal of Physics, 1947. Reimpreso en Lecturas sobre la filosofía de la ciencia, editado por H. Feigl y M. Brodbeck, Appleton-Century-Crofts, 1953. Trata sobre medición, precisión y determinismo.
• JS Bell, Sobre la paradoja de Einstein-Poldolsky-Rosen , Physics 1 195 (1964).
• A. Einstein, B. Podolsky y N. Rosen, ¿Puede considerarse completa la descripción cuántico-mecánica de la realidad física? Phys. Rev. 47 777 (1935).
• G. Mackey, Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica , WA Benjamin, 1963 (reimpresión en rústica por Dover, 2004).
• J. von Neumann, Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica , Princeton University Press, 1955. Reimpreso en rústica. Publicado originalmente en alemán en 1932.
• R. Omnès, Comprensión de la mecánica cuántica , Princeton University Press, 1999.

• Conceptos erróneos comunes sobre la mecánica cuántica. Véase especialmente la parte III, "Conceptos erróneos sobre la medición".