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Articulo de referencia

Tomografía cuántica

La tomografía cuántica o tomografía de estados cuánticos es el proceso mediante el cual se reconstruye un estado cuántico utilizando mediciones en un conjunto de estados cuántic...

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La tomografía cuántica o tomografía de estados cuánticos es el proceso mediante el cual se reconstruye un estado cuántico utilizando mediciones en un conjunto de estados cuánticos idénticos. [ 1 ] La fuente de estos estados puede ser cualquier dispositivo o sistema que prepare estados cuánticos, ya sea de forma consistente en estados cuánticos puros o en estados mixtos generales . Para poder identificar el estado de manera unívoca, las mediciones deben ser tomográficamente completas . Es decir, los operadores medidos deben formar una base de operadores en el espacio de Hilbert del sistema, proporcionando toda la información sobre el estado. Dicho conjunto de observaciones se denomina a veces quórum . El término tomografía se utilizó por primera vez en la literatura de física cuántica en un artículo de 1993 que presentaba la tomografía homodina óptica experimental. [ 2 ]

Figura 1: Un oscilador armónico representado en el espacio de fases por su momento y posición.
Figura 1: Un oscilador armónico representado en el espacio de fases por su momento y posición.
Figura 2: Muchos osciladores idénticos representados en el espacio de fases por su momento y posición.
Figura 2: Muchos osciladores idénticos representados en el espacio de fases por su momento y posición.

En la tomografía de procesos cuánticos , por otro lado, se utilizan estados cuánticos conocidos para analizar un proceso cuántico y determinar cómo describirlo. De manera similar, la tomografía de medición cuántica busca identificar la medición que se está realizando. En cambio, la evaluación comparativa aleatoria permite obtener de forma escalable un indicador de la superposición entre el proceso cuántico físico, propenso a errores, y su contraparte ideal.

El principio general de la tomografía de estados cuánticos consiste en que, al realizar repetidamente muchas mediciones diferentes en sistemas cuánticos descritos por matrices de densidad idénticas, se pueden utilizar los recuentos de frecuencia para inferir probabilidades , y estas probabilidades se combinan con la regla de Born para determinar una matriz de densidad que se ajuste mejor a las observaciones.

Esto se puede entender fácilmente mediante una analogía clásica. Consideremos un oscilador armónico (por ejemplo, un péndulo). La posición y el momento del oscilador en cualquier punto dado se pueden medir y, por lo tanto, el movimiento se puede describir completamente mediante el espacio de fases . Esto se muestra en la figura 1. Al realizar esta medición para un gran número de osciladores idénticos, obtenemos una distribución de probabilidad en el espacio de fases (figura 2). Esta distribución se puede normalizar (el oscilador en un momento dado tiene que estar en algún lugar) y la distribución debe ser no negativa. Así, hemos obtenido una funciónW(incógnita,pag){\displaystyle W(x,p)}que proporciona una descripción de la probabilidad de encontrar la partícula en un punto dado con un momento dado.

Para partículas cuánticas se puede hacer lo mismo. La única diferencia es que no se debe violar el principio de incertidumbre de Heisenberg, lo que significa que no podemos medir el momento y la posición de la partícula al mismo tiempo. El momento y la posición de la partícula se denominan cuadraturas (véase el espacio de fase óptico para más información) en estados cuánticos relacionados. Al medir una de las cuadraturas de un gran número de estados cuánticos idénticos, obtendremos una densidad de probabilidad correspondiente a esa cuadratura en particular. Esto se denomina distribución marginal .pagr(incógnita){\displaystyle \mathrm {pr} (X)}opagr(PAG){\displaystyle \mathrm {pr} (P)}(véase la figura 3). En el texto siguiente veremos que esta densidad de probabilidad es necesaria para caracterizar el estado cuántico de la partícula, que es el objetivo principal de la tomografía cuántica.

Figura 3: Distribución marginal
Figura 3: Distribución marginal

¿Para qué se utiliza la tomografía de estado cuántico?

La tomografía cuántica se aplica a una fuente de sistemas para determinar el estado cuántico de la salida de dicha fuente. A diferencia de una medición en un solo sistema, que determina el estado actual del sistema después de la medición (en general, el acto de realizar una medición altera el estado cuántico), la tomografía cuántica trabaja para determinar el o los estados previos a las mediciones.

La tomografía cuántica puede utilizarse para caracterizar señales ópticas, incluyendo la medición de la ganancia y la pérdida de señal de dispositivos ópticos, [ 3 ] así como en computación cuántica y teoría de la información cuántica para determinar de forma fiable los estados reales de los cúbits . [ 4 ] [ 5 ] Podemos imaginar una situación en la que una persona llamada Bob prepara muchos objetos idénticos (partículas o campos) en los mismos estados cuánticos y luego se los da a Alice para que los mida. Si Alice no confía en la descripción del estado que le da Bob, puede que desee realizar una tomografía cuántica para clasificar el estado ella misma.

Métodos de tomografía de estados cuánticos

Inversión lineal

Utilizando la regla de Born , se puede derivar la forma más simple de tomografía cuántica. Generalmente, no se conoce de antemano si un estado es puro, y puede ser mixto. En este caso, será necesario realizar muchos tipos diferentes de mediciones, varias veces cada una. Para reconstruir completamente la matriz de densidad de un estado mixto en un espacio de Hilbert de dimensión finita , se puede utilizar la siguiente técnica.

La regla de Born establecePAG(mii|ρ)=Tradomi(miiρ){\displaystyle \mathrm {P} (E_{i}|\rho )=\mathrm {Trace} (E_{i}\rho )}, dóndemii{\displaystyle E_{i}}es un proyector de resultados de medición particular yρ{\displaystyle \rho }es la matriz de densidad del sistema. Dado un histograma de observaciones para cada medición, se tiene una aproximación pagi{\displaystyle p_{i}}aPAG(mii|ρ){\displaystyle \mathrm {P} (E_ {i}|\rho)}para cadamii{\displaystyle E_{i}}.

Dados los operadores linealesS{\displaystyle S}yT{\displaystyle T}, definir el producto interno

S⋅T=Tr[S†T]=S→†T→{\displaystyle S\cdot T=\mathrm {Tr} [S^{\dagger }T]={\vec {S}}^{\dagger }{\vec {T}}}

dóndeT→{\displaystyle {\vec {T}}}es representación de laT{\displaystyle T}operador como vector columna yS→†{\displaystyle {\vec {S}}^{\daga }}un vector fila tal queS→†T→{\displaystyle {\vec {S}}^{\daga }{\vec {T}}}es el producto interno endod{\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}de los dos.

Defina la matrizA{\displaystyle A}como

A=(mi→1†mi→2†mi→3†⋮){\displaystyle A={\begin{pmatrix}{\vec {E}}_{1}^{\dagger }\\{\vec {E}}_{2}^{\dagger }\\{\vec {E}}_{3}^{\dagger }\\\vdots \end{pmatrix}}}.

Aquí E i es una lista fija de mediciones individuales (con resultados binarios), y A realiza todas las mediciones a la vez.

Luego, aplicando esto aρ→{\displaystyle {\vec {\rho }}}arroja las probabilidades :

Aρ→=(mi→1†ρ→mi→2†ρ→mi→3†ρ→⋮)=(mi1⋅ρmi2⋅ρmi3⋅ρ⋮)=(PAG(mi1|ρ)PAG(mi2|ρ)PAG(mi3|ρ)⋮)≈(pag1pag2pag3⋮)=pag→{\displaystyle A{\vec {\rho }}={\begin{pmatrix}{\vec {E}}_{1}^{\dagger }{\vec {\rho }}\\{\vec {E}}_{2}^{\dagger }{\vec {\rho }}\\{\vec {E}}_{3}^{\dagger }{\vec {\rho }}\\\vdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{1}\cdot \rho \\E_{2}\cdot \rho \\E_{3}\cdot \rho \\\vdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {P} (E_{1}|\rho )\\\mathrm {P} (E_ {2}|\rho )\\\mathrm {P} (E_{3}|\rho )\\\vdots \end{pmatrix}}\approx {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\vdots \end{pmatrix}}={\vec {p}}}.

La inversión lineal corresponde a invertir este sistema utilizando las frecuencias relativas observadas.pag→{\displaystyle {\vec {p}}}derivarρ→{\displaystyle {\vec {\rho }}}(que es isomorfo aρ{\displaystyle \displaystyle \rho }).

Este sistema no será cuadrado en general, ya que para cada medición que se realice habrá generalmente múltiples proyectores de resultados de medición.mii{\displaystyle E_{i}}. Por ejemplo, en un espacio de Hilbert 2-D con 3 medidasσincógnita,σy,σz{\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}}, cada medición tiene 2 resultados, cada uno de los cuales tiene un proyector E i , para 6 proyectores, mientras que la dimensión real del espacio de matrices de densidad es (2⋅2 2 )/2=4, dejandoA{\displaystyle A}para que sea 6 x 4. Para resolver el sistema, multiplica por la izquierda porAT{\displaystyle A^{T}}:

ATAρ→=ATpag→{\displaystyle A^{T}A{\vec {\rho }}=A^{T}{\vec {p}}}.

Ahora resolviendo paraρ→{\displaystyle {\vec {\rho }}}produce la pseudoinversa :

ρ→=(ATA)−1ATpag→{\displaystyle {\vec {\rho }}=(A^{T}A)^{-1}A^{T}{\vec {p}}}.

Esto funciona en general solo si la lista de mediciones E i es tomográficamente completa. De lo contrario, la matrizATA{\displaystyle A^{T}A}no será invertible .

Variables continuas y tomografía homodina cuántica

En espacios de Hilbert de dimensión infinita , por ejemplo, en mediciones de variables continuas como la posición, la metodología es algo más compleja. Un ejemplo notable es la tomografía de la luz , conocida como tomografía homodina óptica. Mediante mediciones homodinas balanceadas , se puede derivar la función de Wigner y una matriz de densidad para el estado de la luz . [ 6 ]

Un enfoque implica mediciones a lo largo de diferentes direcciones rotadas en el espacio de fases . Para cada direcciónθ{\displaystyle \theta }Se puede encontrar una distribución de probabilidad.w(q,θ){\displaystyle w(q,\theta )}para la densidad de probabilidad de las mediciones en elθ{\displaystyle \theta }dirección del espacio de fases que produce el valorq{\displaystyle q}. Utilizando una transformación de Radon inversa (la retroproyección filtrada) enw(q,θ){\displaystyle w(q,\theta )}conduce a la función de Wigner ,W(incógnita,pag){\displaystyle \mathrm {W} (x,p)}, [ 7 ] que puede convertirse mediante una transformada inversa de Fourier en la matriz de densidad para el estado en cualquier base. [ 5 ] Una técnica similar se usa a menudo en tomografía médica .

Ejemplo: tomografía de estado de un solo cúbit

La matriz de densidad de un solo cúbit se puede expresar en términos de su vector de Bloch.r→{\displaystyle {\vec {r}}}y el vector de Pauliσ→{\displaystyle {\vec {\sigma }}}:

ρ=12(I+r→⋅σ→)=12(1+rzrincógnita−iryrincógnita+iry1−rz){\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {r}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+r_{z}&r_{x}-\mathrm {i} r_{y}\\r_{x}+\mathrm {i} r_{y}&1-r_{z}\end{pmatrix}}}.

La tomografía de estado de un solo qubit se puede realizar mediante mediciones de Pauli de un solo qubit: [ 8 ]

  1. Primero, cree una lista de tres circuitos cuánticos, donde el primero mide el cúbit en la base computacional ( base Z ), el segundo realiza una puerta Hadamard antes de la medición (lo que hace la medición en la base X ) y el tercero realiza la puerta de desplazamiento de fase apropiada (es decir,Z†=|0⟩⟨0|+exp⁡(−iπ/2)|1⟩⟨1|{\displaystyle {\sqrt {Z}}^{\dagger }=|0\rangle \langle 0|+\exp(-\mathrm {i} \pi /2)|1\rangle \langle 1|}) seguido de una puerta Hadamard antes de la medición (que hace la medición en base Y );
  2. Luego, ejecute estos circuitos (normalmente miles de veces) y los recuentos en los resultados de medición del primer circuito producenz¯=(nortez,+−nortez,−)/(nortez,++nortez,−){\displaystyle {\bar {z}}=(n_{z,+}-n_{z,-})/(n_{z,+}+n_{z,-})}, el segundo circuitoincógnita¯{\displaystyle {\bar {x}}}y el tercer circuitoy¯{\displaystyle {\bar {y}}};
  3. Finalmente, siincógnita¯2+y¯2+z¯2≤1{\displaystyle {\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2}\leq 1}, entonces se produce un vector de Bloch medido comor→metro=(incógnita¯,y¯,z¯){\displaystyle {\vec {r}}_{m}=({\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}})}y la matriz de densidad medida esρmetro=12(I+r→metro⋅σ→){\displaystyle \rho _{m}={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {r}}_{m}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}; Siincógnita¯2+y¯2+z¯2>1{\displaystyle {\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2}>1}, será necesario renormalizar el vector de Bloch medido comor→metro=(incógnita¯,y¯,z¯)/incógnita¯2+y¯2+z¯2{\displaystyle {\vec {r}}_{m}=({\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}})/{\sqrt {{\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2}}}}antes de utilizarla para calcular la matriz de densidad medida.

Este algoritmo es la base de la tomografía de cúbits y se utiliza en algunas rutinas de programación cuántica , como la de Qiskit . [ 9 ] [ 10 ]

Ejemplo: tomografía homodina.

Las amplitudes (cuadraturas) del campo electromagnético pueden medirse con alta eficiencia mediante fotodetectores y selectividad de modo temporal. La tomografía homodina balanceada es una técnica fiable para reconstruir estados cuánticos en el dominio óptico. Esta técnica combina las ventajas de la alta eficiencia de los fotodiodos en la medición de la intensidad o el número de fotones de la luz, junto con la medición de las características cuánticas de la luz mediante un ingenioso sistema denominado detector de tomografía homodina .

La tomografía homodina cuántica se comprende con el siguiente ejemplo. Un láser se dirige a un divisor de haz 50-50% , dividiendo el haz láser en dos. Uno se utiliza como oscilador local (LO) y el otro para generar fotones con un estado cuántico particular . La generación de estados cuánticos puede realizarse, por ejemplo, dirigiendo el haz láser a través de un cristal duplicador de frecuencia [ 11 ] y luego a un cristal de conversión descendente paramétrica . Este cristal genera dos fotones en un estado cuántico determinado. Uno de los fotones se utiliza como señal de disparo para iniciar la lectura del detector de tomografía homodina. El otro fotón se dirige al detector de tomografía homodina para reconstruir su estado cuántico. Dado que los fotones de disparo y de señal están entrelazados (como se explica en el artículo sobre conversión descendente paramétrica espontánea ), es importante comprender que el modo óptico del estado de señal se crea de forma no local únicamente cuando el fotón de disparo incide sobre el fotodetector (del módulo de lectura del evento de disparo) y se mide efectivamente. Dicho de forma más sencilla, solo cuando se mide el fotón de disparo, el detector homodino puede medir el fotón de señal.

Ahora consideremos el detector de tomografía homodina como se muestra en la figura 4 (figura faltante). El fotón de señal (este es el estado cuántico que queremos reconstruir) interfiere con el oscilador local cuando se dirigen a un divisor de haz 50-50% . Dado que los dos haces se originan del mismo láser maestro , tienen la misma relación de fase fija . El oscilador local debe ser intenso, en comparación con la señal, para que proporcione una referencia de fase precisa. El oscilador local es tan intenso que podemos tratarlo clásicamente (a = α) y despreciar las fluctuaciones cuánticas. El campo de señal está controlado espacial y temporalmente por el oscilador local, que tiene una forma controlada. Donde el oscilador local es cero, la señal se rechaza. Por lo tanto, tenemos selectividad de modo espacio-temporal de la señal. El divisor de haz redirige los dos haces a dos fotodetectores. Los fotodetectores generan una corriente eléctrica proporcional al número de fotones . Se restan las corrientes de los dos detectores y la corriente resultante es proporcional al operador del campo eléctrico en el modo de señal, dependiendo de la fase óptica relativa de la señal y del oscilador local.

Dado que la amplitud del campo eléctrico del oscilador local es mucho mayor que la de la señal, se pueden observar fluctuaciones en la intensidad del campo de la señal. El sistema de tomografía homodina funciona como un amplificador . El sistema puede considerarse un interferómetro con un haz de referencia de tan alta intensidad (el oscilador local) que el desequilibrio de la interferencia causado por un solo fotón en la señal es medible. Esta amplificación supera ampliamente el nivel de ruido de los fotodetectores .

La medición se reproduce un gran número de veces. A continuación, se modifica la diferencia de fase entre la señal y el oscilador local para explorar un ángulo diferente en el espacio de fases . Esto se puede observar en la figura 4. La medición se repite nuevamente un gran número de veces y se obtiene una distribución marginal a partir de la diferencia de corriente. Esta distribución marginal se puede transformar en la matriz de densidad y/o la función de Wigner . Dado que la matriz de densidad y la función de Wigner proporcionan información sobre el estado cuántico del fotón, hemos reconstruido dicho estado.

La ventaja de este método de detección balanceada es que esta configuración es insensible a las fluctuaciones en la intensidad del láser .

Los cálculos cuánticos para recuperar el componente de cuadratura a partir de la diferencia de corriente se realizan de la siguiente manera.

El operador de número de fotones para los haces que inciden en los fotodetectores después del divisor de haz viene dado por:

norte^i=a^i†a^i{\displaystyle {\hat {n}}_{i}={\hat {a}}_{i}^{\dagger }{\hat {a}}_{i}},

donde i es 1 y 2, para el haz uno y dos respectivamente. Los operadores de modo del campo que emerge de los divisores de haz vienen dados por:

a^1=2−1/2(a^−αLO){\displaystyle {\hat {a}}_{1}=2^{-1/2}({\hat {a}}-\alpha _{LO})}
a^2=2−1/2(a^+αLO){\displaystyle {\hat {a}}_{2}=2^{-1/2}({\hat {a}}+\alpha _{LO})}

Ela^{\displaystyle {\hat {a}}}denota el operador de aniquilación de la señal y alfa la amplitud compleja del oscilador local. La diferencia en el número de fotones es finalmente proporcional a la cuadratura y viene dada por:

norte^21=norte^2−norte^1=αLO∗a^+αLOa^†{\displaystyle {\hat {n}}_{21}={\hat {n}}_{2}-{\hat {n}}_{1}=\alpha _{LO}^{*}{\hat {a}}+\alpha _{LO}{\hat {a}}^{\dagger }},

Reescribiendo esto con la relación:

q^=2−1/2(a^†+a^){\displaystyle {\hat {q}}=2^{-1/2}({\hat {a}}^{\dagger }+{\hat {a}})}

Los resultados se presentan en la siguiente relación:

norte^21=21/2|α^LO|q^θ{\displaystyle {\hat {n}}_{21}=2^{1/2}|{\hat {\alpha }}_{LO}|{\hat {q}}_{\theta }},

donde vemos una clara relación entre la diferencia del número de fotones y el componente de cuadraturaq^θ{\displaystyle {\hat {q}}_{\theta }}Al registrar la corriente total, se puede obtener información sobre la intensidad del oscilador local, ya que esta suele ser una magnitud desconocida, pero importante para calcular la componente en cuadratura.q^θ{\displaystyle {\hat {q}}_{\theta }}.

Problemas con la inversión lineal

Uno de los principales problemas al usar la inversión lineal para calcular la matriz de densidad es que, en general, la solución obtenida no será una matriz de densidad válida. Por ejemplo, podría dar probabilidades negativas o mayores que 1 para ciertos resultados de medición. Esto es particularmente problemático cuando se realizan pocas mediciones.

Otro problema es que en espacios de Hilbert de dimensión infinita , se requeriría un número infinito de resultados de medición. Hacer suposiciones sobre la estructura y usar una base de medición finita conduce a artefactos en la densidad del espacio de fases. [ 5 ]

estimación de máxima verosimilitud

La estimación de máxima verosimilitud (también conocida como MLE o MaxLik) es una técnica popular para abordar problemas de inversión lineal. Al restringir el dominio de las matrices de densidad al espacio adecuado y buscar la matriz de densidad que maximiza la probabilidad de obtener los resultados experimentales, garantiza que el estado sea teóricamente válido, a la vez que proporciona un ajuste preciso a los datos. La probabilidad de un estado es la probabilidad que se asignaría a los resultados observados si el sistema se encontrara en ese estado.

Supongamos que las mediciones{|yj⟩⟨yj|}{\displaystyle \{|y_{j}\rangle \langle y_{j}|\}}se han observado con frecuenciasFj{\displaystyle f_{j}}. Entonces, la probabilidad asociada con un estadoρ^{\displaystyle {\hat {\rho }}}es

L(ρ^)=∏j⟨yj|ρ^|yj⟩Fj{\displaystyle L({\hat {\rho }})=\prod _{j}\langle y_{j}|{\hat {\rho }}|y_{j}\rangle ^{f_{j}}}

dónde⟨yj|ρ^|yj⟩{\displaystyle \langle y_{j}|{\hat {\rho }}|y_{j}\rangle }es la probabilidad de resultadoyj{\displaystyle y_{j}}para el estadoρ^{\displaystyle {\hat {\rho }}}.

Encontrar el máximo de esta función no es trivial y generalmente implica métodos iterativos. [ 12 ] [ 13 ] Los métodos son un tema activo de investigación.

Problemas con la estimación de máxima verosimilitud

La estimación de máxima verosimilitud (MLE) presenta algunos problemas menos evidentes que la inversión lineal. Uno de ellos es que realiza predicciones sobre probabilidades que no se justifican con los datos. Esto se observa con mayor claridad al analizar el problema de los autovalores cero . La solución calculada mediante MLE suele contener autovalores iguales a cero, es decir, tiene un rango deficiente . En estos casos, la solución se sitúa en el límite de la esfera de Bloch n-dimensional . Esto se relaciona con la inversión lineal, que produce estados fuera del espacio válido (la esfera de Bloch). En estos casos, MLE selecciona un punto cercano válido, y los puntos más cercanos generalmente se encuentran en el límite. [ 4 ]

Esto no es un problema físico, el estado real podría tener valores propios cero . Sin embargo, dado que ningún valor puede ser menor que 0, una estimación de que un valor propio sea 0 implica que el estimador está seguro de que el valor es 0, de lo contrario habría estimado algúnϵ{\displaystyle \epsilon }mayor que 0 con un pequeño grado de incertidumbre como la mejor estimación. Aquí es donde surge el problema, ya que no es lógico concluir con absoluta certeza, después de un número finito de mediciones, que cualquier valor propio (es decir, la probabilidad de un resultado particular) sea 0. Por ejemplo, si se lanza una moneda 5 veces y en cada ocasión se observa cara, no significa que haya 0 probabilidad de obtener cruz, a pesar de que esa sea la descripción más probable de la moneda. [ 4 ]

métodos bayesianos

La estimación bayesiana de la media (BME, por sus siglas en inglés) es un enfoque relativamente nuevo que aborda los problemas de la estimación de máxima verosimilitud . Se centra en encontrar soluciones óptimas que, además, sean honestas , ya que incluyen márgenes de error en la estimación. La idea general consiste en partir de una función de verosimilitud y una función que describe el conocimiento previo del experimentador (que podría ser una función constante), para luego integrar sobre todas las matrices de densidad utilizando el producto de la función de verosimilitud y la función de conocimiento previo como ponderación.

Dado un conocimiento previo razonable, BME producirá un estado estrictamente dentro de la esfera de Bloch n-dimensional . En el caso de una moneda lanzada N veces para obtener N caras, como se describió anteriormente, con una función de conocimiento previo constante, BME asignaría1norte+2{\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{N+2}}}como la probabilidad de obtener colas. [ 4 ]

BME proporciona un alto grado de precisión, ya que minimiza las divergencias operacionales de la estimación con respecto al estado real. [ 4 ]

Métodos para datos incompletos

El número de mediciones necesarias para una tomografía cuántica completa de un sistema de múltiples partículas aumenta exponencialmente con el número de partículas, lo que hace que dicho procedimiento sea imposible incluso para sistemas de tamaño moderado. Por lo tanto, se han desarrollado varios métodos para realizar tomografía cuántica con menos mediciones.

El concepto de completitud de matrices y detección comprimida se ha aplicado para reconstruir matrices de densidad a partir de un conjunto incompleto de mediciones (es decir, un conjunto de mediciones que no constituye un quórum). En general, esto es imposible, pero bajo ciertas suposiciones (por ejemplo, si la matriz de densidad es un estado puro, o una combinación de solo unos pocos estados puros), entonces la matriz de densidad tiene menos grados de libertad y puede ser posible reconstruir el estado a partir de las mediciones incompletas. [ 14 ]

La tomografía cuántica invariante permutacional [ 15 ] es un procedimiento desarrollado principalmente para estados cercanos a la simetría permutacional, típicos en los experimentos actuales. Para partículas de dos estados, el número de mediciones necesarias aumenta cuadráticamente con el número de partículas. [ 16 ] Además del modesto esfuerzo de medición, el procesamiento de los datos medidos también se puede realizar de manera eficiente: es posible ajustar una matriz de densidad física a los datos medidos incluso para sistemas grandes. [ 17 ] La ​​tomografía cuántica invariante permutacional se ha combinado con la detección comprimida en un experimento fotónico de seis cúbits. [ 18 ]

Tomografía de medición cuántica

Se puede imaginar una situación en la que un aparato realiza alguna medición en sistemas cuánticos y determina qué medición particular se desea. La estrategia es enviar sistemas de varios estados conocidos y usar estos estados para estimar los resultados de la medición desconocida. También conocidas como "estimación cuántica", las técnicas de tomografía son cada vez más importantes, incluidas las de tomografía de medición cuántica y la muy similar tomografía de estado cuántico. Dado que una medición siempre puede caracterizarse por un conjunto de POVM , el objetivo es reconstruir los POVM que la caracterizan .Πl{\displaystyle \Pi _{l}}El enfoque más simple es la inversión lineal. Como en la observación de estados cuánticos, utilice

Tr[Πlρmetro]=PAG(l|ρmetro){\displaystyle \displaystyle \mathrm {Tr} [\Pi _{l}\rho _{m}]=\mathrm {P} (l|\rho _{m})}.

Aprovechando la linealidad como se indicó anteriormente, esto se puede invertir para resolver laΠl{\displaystyle \Pi _{l}}.

Como era de esperar, esto adolece de los mismos escollos que en la tomografía de estados cuánticos: a saber, resultados no físicos, en particular probabilidades negativas . Aquí laΠl{\displaystyle \Pi _{l}}No serán POVM válidos , ya que no serán positivos. Los métodos bayesianos, así como la estimación de máxima verosimilitud de la matriz de densidad, pueden utilizarse para restringir los operadores a resultados físicos válidos. [ 19 ]

Tomografía de procesos cuánticos

La tomografía de procesos cuánticos (QPT) se ocupa de identificar un proceso dinámico cuántico desconocido. El primer enfoque, introducido en 1996 y a veces conocido como tomografía de procesos cuánticos estándar (SQPT), implica preparar un conjunto de estados cuánticos y enviarlos a través del proceso, para luego utilizar la tomografía de estados cuánticos para identificar los estados resultantes. [ 20 ] Otras técnicas incluyen la tomografía de procesos asistida por ancilas (AAPT) y la tomografía de procesos asistida por entrelazamiento (EAPT), que requieren una copia adicional del sistema. [ 21 ]

Cada una de las técnicas enumeradas anteriormente se conoce como método indirecto para la caracterización de la dinámica cuántica, ya que requiere el uso de tomografía de estados cuánticos para reconstruir el proceso. En contraste, existen métodos directos , como la caracterización directa de la dinámica cuántica (DCQD), que proporcionan una caracterización completa de los sistemas cuánticos sin necesidad de tomografía de estados. [ 22 ]

El número de configuraciones experimentales (preparaciones de estado y mediciones) necesarias para la tomografía de procesos cuánticos completa crece exponencialmente con el número de partículas constituyentes de un sistema. En consecuencia, en general, la tomografía de procesos cuánticos es una tarea imposible para sistemas cuánticos a gran escala. Sin embargo, bajo la suposición de decoherencia débil, un mapa dinámico cuántico puede encontrar una representación dispersa. El método de tomografía de procesos cuánticos comprimida (CQPT) utiliza la técnica de detección comprimida y aplica la suposición de dispersión para reconstruir un mapa dinámico cuántico a partir de un conjunto incompleto de mediciones o preparaciones de estado de prueba. [ 23 ]

Mapas dinámicos cuánticos

Un proceso cuántico, también conocido como mapa dinámico cuántico,mi(ρ){\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )}, puede describirse mediante un mapa completamente positivo

mi(ρ)=∑iAiρAi†{\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )=\sum _{i}A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }},

dóndeρ∈B(H){\displaystyle \rho \in {\mathcal {B(H)}}}, los operadores acotados en el espacio de Hilbert ; con elementos de operaciónAi{\displaystyle \displaystyle A_{i}}satisfactorio∑iAi†Ai≤I{\displaystyle \textstyle \sum _{i}A_{i}^{\dagger }A_{i}\leq I}de modo queTr[mi(ρ)]≤1{\displaystyle \mathrm {Tr} [{\mathcal {E}}(\rho )]\leq 1}.

Dejar{mii}{\displaystyle \displaystyle \{E_{i}\}}ser una base ortogonal paraB(H){\displaystyle {\mathcal {B(H)}}}. Escribe elAi{\displaystyle \displaystyle A_{i}}operadores en esta base

Ai=∑metroaimetromimetro{\displaystyle \displaystyle A_{i}=\sum _{m}a_{im}E_{m}}.

Esto conduce a

mi(ρ)=∑metro,norteχmetronortemimetroρminorte†{\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )=\sum _{m,n}\chi _{mn}E_{m}\rho E_{n}^{\dagger }},

dóndeχmetronorte=∑iaimetroainorte∗{\displaystyle \chi _{mn}=\sum _{i}a_{im}a_{in}^{*}}.

El objetivo es entonces resolverχ{\displaystyle \displaystyle \chi }, que es un superoperador positivo y caracteriza completamentemi{\displaystyle {\mathcal {E}}}con respecto a la{mii}{\displaystyle \displaystyle \{E_{i}\}}base. [ 21 ] [ 22 ]

Tomografía de procesos cuánticos estándar

SQPT aborda esto utilizandod2{\displaystyle d^{2}}entradas linealmente independientesρj{\displaystyle \rho _{j}}, dónded{\displaystyle d}es la dimensión del espacio de HilbertH{\displaystyle {\mathcal {H}}}. Para cada uno de estos estados de entradaρj{\displaystyle \rho _{j}}Al enviarlo a través del proceso se obtiene un estado de salida.mi(ρ){\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )}que se puede escribir como una combinación lineal de laρk{\displaystyle \rho _{k}}, es decirmi(ρj)=∑kdojkρk{\displaystyle \textstyle {\mathcal {E}}(\rho _{j})=\sum _{k}c_{jk}\rho _{k}}. Al enviar cadaρj{\displaystyle \rho _{j}}En muchas ocasiones, la tomografía de estado cuántico puede utilizarse para determinar los coeficientes.dojk{\displaystyle c_{jk}}experimentalmente.

Escribir

mimetroρjminorte†=∑kBmetro,norte,j,kρk{\displaystyle E_{m}\rho _{j}E_{n}^{\dagger }=\sum _{k}B_{m,n,j,k}\rho _{k}},

dóndeB{\displaystyle B}es una matriz de coeficientes. Entonces

∑kdojkρk=mi(ρj)=∑metro,norteχmetro,nortemimetroρjminorte†=∑metro,norte∑kχmetro,norteBmetro,norte,j,kρk{\displaystyle \sum _{k}c_{jk}\rho _{k}={\mathcal {E}}(\rho _{j})=\sum _{m,n}\chi _{m,n}E_{m}\rho _{j}E_{n}^{\dagger }=\sum _{m,n}\sum _{k}\chi _{m,n}B_{m,n,j,k}\rho _{k}}.

Desdeρk{\displaystyle \rho _{k}}formen una base linealmente independiente,

dojk=∑metro,norteχmetro,norteBmetro,norte,j,k{\displaystyle \displaystyle c_{jk}=\sum _{m,n}\chi _{m,n}B_{m,n,j,k}}.

InvertirB{\displaystyle B}daχ{\displaystyle \chi }:

χmetro,norte=∑j,kBmetro,norte,j,k−1dojk{\displaystyle \chi _{m,n}=\sum _{j,k}B_{m,n,j,k}^{-1}c_{jk}}.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Tomografía de estado cuántico. "UIUC" .
  2. ↑ Smithey, DT; Beck, M.; Raymer, MG; Faridani, A. (1993-03-01). "Medición de la distribución de Wigner y la matriz de densidad de un modo de luz mediante tomografía homodina óptica: Aplicación a estados comprimidos y al vacío". Physical Review Letters . 70 (9): 1244– 1247. Bibcode : 1993PhRvL..70.1244S . doi : 10.1103/physrevlett.70.1244 . ISSN 0031-9007 . PMID 10054327 .  
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