El radón transforma

En matemáticas , la transformada de Radon es la transformada integral que transforma una función f definida en el plano en una función Rf definida en el espacio (bidimensional) de líneas en el plano, cuyo valor en una línea particular es igual a la integral de línea de la función sobre esa línea. La transformada fue introducida en 1917 por Johann Radon , ^{[ 1 ]} quien también proporcionó una fórmula para la transformada inversa. Radon incluyó además fórmulas para la transformada en tres dimensiones , en las que la integral se toma sobre planos (la integración sobre líneas se conoce como la transformada de rayos X ). Posteriormente se generalizó a espacios euclidianos de dimensiones superiores y, más ampliamente, en el contexto de la geometría integral . El análogo complejo de la transformada de Radon se conoce como la transformada de Penrose . La transformada de Radon es ampliamente aplicable a la tomografía , la creación de una imagen a partir de los datos de proyección asociados con escaneos de sección transversal de un objeto.

Si una función${\displaystyle f}$Si se trata de una densidad desconocida, la transformada de Radon representa los datos de proyección obtenidos como resultado de una tomografía. La inversa de la transformada de Radon se puede utilizar para reconstruir la densidad original a partir de los datos de proyección, constituyendo así la base matemática para la reconstrucción tomográfica , también conocida como reconstrucción iterativa .

Los datos de la transformada de Radon suelen denominarse sinogramas porque la transformada de Radon de una fuente puntual descentrada es una sinusoide. Por consiguiente, la transformada de Radon de varios objetos pequeños se representa gráficamente como una serie de ondas sinusoidales borrosas con diferentes amplitudes y fases.

La transformada de Radon es útil en la tomografía axial computarizada (TAC), los escáneres de códigos de barras , la microscopía electrónica de ensamblajes macromoleculares como virus y complejos proteicos , la sismología de reflexión y en la solución de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas .

Dejar${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x,y)}$sea ​​una función que satisfaga las tres condiciones de regularidad: ^{[ 3 ]}

1. ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$es continuo;
2. la integral doble${\displaystyle \displaystyle \iint {\frac {\vert f(\mathbf {x} )\vert }{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,dx\,dy}$, extendiéndose por todo el plano, converge;
3. para cualquier punto arbitrario${\displaystyle (x,y)}$en el avión,${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(x+r\cos \varphi ,y+r\sin \varphi )\,d\varphi =0.}$

La transformación del radón,${\displaystyle Rf}$es una función definida en el espacio de líneas rectas${\displaystyle L\subset \mathbb {R} ^{2}}$mediante la integral de línea a lo largo de cada una de esas líneas, como se muestra a continuación: $${\displaystyle Rf(L)=\int _{L}f(\mathbf {x} )\vert d\mathbf {x} \vert .}$$ Concretamente, la parametrización de cualquier línea recta${\displaystyle L}$con respecto a la longitud del arco${\displaystyle z}$Siempre se puede escribir: $${\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\,\sin \alpha +s\,\cos \alpha ),(-z\,\cos \alpha +s\,\sin \alpha ){\Big )}}$$ dónde${\displaystyle s}$es la distancia de${\displaystyle L}$desde el origen y${\displaystyle \alpha }$es el ángulo del vector normal a${\displaystyle L}$hace con el${\displaystyle x}$eje. De ello se deduce que las cantidades${\displaystyle (\alpha ,s)}$pueden considerarse como coordenadas en el espacio de todas las líneas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$y la transformada de Radon se puede expresar en estas coordenadas mediante: $${\displaystyle {\begin{aligned}Rf(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\,\sin \alpha +s\,\cos \alpha ),(-z\,\cos \alpha +s\,\sin \alpha ){\big )}\,dz.\end{aligned}}}$$ De manera más general, en${\displaystyle n}$espacio euclidiano de -dimensiones${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, la transformada de Radon de una función${\displaystyle f}$que satisface las condiciones de regularidad es una función${\displaystyle Rf}$en el espacio${\displaystyle \Sigma _{n}}$de todos los hiperplanos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Se define por:

Fantasma de Shepp Logan

El radón transforma

Transformada inversa de Radon

$${\displaystyle Rf(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad \forall \xi \in \Sigma _{n}}$$ donde la integral se toma con respecto a la medida de la hipersuperficie natural ,${\displaystyle d\sigma }$(generalizando el${\displaystyle \vert d\mathbf {x} \vert }$término del${\displaystyle 2}$caso -dimensional). Observe que cualquier elemento de${\displaystyle \Sigma _{n}}$se caracteriza como el lugar geométrico de la solución de una ecuación${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \alpha =s}$, dónde${\displaystyle \alpha \in S^{n-1}}$es un vector unitario y${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$. Por lo tanto, el${\displaystyle n}$La transformada de Radon de dimensión puede reescribirse como una función en${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }$a través de:$${\displaystyle Rf(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ).}$$También es posible generalizar aún más la transformada de Radon integrando en su lugar sobre${\displaystyle k}$subespacios afines de dimensión -${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$La transformada de rayos X es el caso especial más utilizado de esta construcción, y se obtiene integrando sobre líneas rectas.

La transformada de Radon está estrechamente relacionada con la transformada de Fourier . Aquí definimos la transformada de Fourier univariada como:$${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx.}$$Para una función de una${\displaystyle 2}$-vector${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y)}$La transformada de Fourier univariada es:$${\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy.}$$Para mayor comodidad, indique${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\alpha }[f](s)={\mathcal {R}}[f](\alpha ,s)}$El teorema de la sección de Fourier establece entonces:$${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))}$$dónde${\displaystyle \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha ).}$

Así, la transformada de Fourier bidimensional de la función inicial a lo largo de una línea en el ángulo de inclinación${\displaystyle \alpha }$es la transformada de Fourier de una variable de la transformada de Radon (adquirida en ángulo${\displaystyle \alpha }$) de esa función. Este hecho puede utilizarse para calcular tanto la transformada de Radon como su inversa. El resultado puede generalizarse a n dimensiones:$${\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds.}$$

La imagen de la transformación de Radon en${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }$pueden caracterizarse para funciones de suficiente regularidad y decaimiento. Dado que el mismo hiperplano no orientado está representado por ambos${\displaystyle (\alpha ,s)}$y${\displaystyle (-\alpha ,-s)}$Cada transformada de Radon satisface la condición de simetría.

${\displaystyle Rf(-\alpha ,-s)=Rf(\alpha ,s).}$

También existen condiciones sobre los momentos de la transformación del radón. Si${\displaystyle f}$es suficientemente regular y disminuye rápidamente, y

${\displaystyle g(\alpha ,s)=Rf(\alpha ,s),}$

entonces, para cada entero no negativo${\displaystyle k}$, el momento

${\displaystyle M_{k}(\alpha )=\int _{-\infty }^{\infty }s^{k}g(\alpha ,s)\,ds}$

es la restricción a${\displaystyle S^{n-1}}$de un polinomio homogéneo en ${\displaystyle \alpha }$de grado${\displaystyle k}$. De hecho, formalmente,

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{k}(\alpha )&=\int _{-\infty }^{\infty }s^{k}Rf(\alpha ,s)\,ds\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}(x\cdot \alpha )^{k}f(x)\,dx,\end{aligned}}}$

que es un polinomio homogéneo en${\displaystyle \alpha }$.

Por el contrario, el teorema del rango de Helgason-Ludwig establece que estas condiciones caracterizan el rango de la transformada de Radon en espacios de funciones de prueba apropiados. Por ejemplo, una función suave que disminuye rápidamente.${\displaystyle g}$en${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }$es la transformada de Radon de una función de Schwartz en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$si y solo si satisface la condición de simetría y las condiciones de momento anteriores. Una versión correspondiente con soporte compacto caracteriza la imagen de${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$; en ese caso también se tiene la relación de soporte que si${\displaystyle f}$está apoyado en la pelota${\displaystyle |x|\leq A}$, entonces${\displaystyle Rf(\alpha ,s)=0}$para${\displaystyle |s|>A}$. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

En tomografía, estas condiciones de consistencia describen cuándo los datos de proyección pueden provenir de un objeto real en lugar de una función arbitraria de ángulo y desplazamiento.

La transformada de Radon dual es una especie de adjunta a la transformada de Radon. Comenzando con una función g en el espacio${\displaystyle \Sigma _{n}}$, la transformada de Radon dual es la función${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g}$en R ⁿ definido por:$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {x} \in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi ).}$$La integral aquí se toma sobre el conjunto de todos los hiperplanos incidentes con el punto${\displaystyle {\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}$y la medida${\displaystyle d\mu }$es la medida de probabilidad única en el conjunto${\displaystyle \{\xi |\mathbf {x} \in \xi \}}$invariante bajo rotaciones alrededor del punto${\displaystyle \mathbf {x} }$.

Concretamente, para la transformada de Radon bidimensional, la transformada dual viene dada por:$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha .}$$En el contexto del procesamiento de imágenes, la transformación dual se denomina comúnmente retroproyección ^{[ 6 ]} ya que toma una función definida en cada línea del plano y la "difumina" o proyecta de vuelta sobre la línea para producir una imagen.

El proceso de reconstrucción produce la imagen (o función)${\displaystyle f}$en la sección anterior) a partir de sus datos de proyección. La reconstrucción es un problema inverso .

Se dispone de fórmulas de inversión explícitas y computacionalmente eficientes para la transformada de Radon y su dual. La transformada de Radon en${\displaystyle n}$Las dimensiones se pueden invertir mediante la fórmula: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}R^{*}Rf\,}$$dónde${\displaystyle c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}}$y el poder del laplaciano${\displaystyle (-\Delta )^{(n-1)/2}}$se define como un operador pseudodiferencial si es necesario mediante la transformada de Fourier :$${\displaystyle \left[{\mathcal {F}}(-\Delta )^{(n-1)/2}\varphi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}({\mathcal {F}}\varphi )(\xi ).}$$Para fines computacionales, la potencia del laplaciano conmuta con la transformación dual.${\displaystyle R^{*}}$dar: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle c_{n}f={\begin{cases}R^{*}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ odd}}\\R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ even}}\end{cases}}}$$dónde${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}}$es la transformada de Hilbert con respecto a la variable s . En dos dimensiones, el operador${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}}$aparece en el procesamiento de imágenes como un filtro de rampa . ^{[ 15 ]} Se puede demostrar directamente a partir del teorema de la sección de Fourier y el cambio de variables para la integración que para una función continua con soporte compacto${\displaystyle f}$de dos variables:$${\displaystyle f={\frac {1}{2}}R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}Rf.}$$Así, en un contexto de procesamiento de imágenes, la imagen original${\displaystyle f}$se puede recuperar a partir de los datos del 'sinograma'${\displaystyle Rf}$aplicando un filtro de rampa (en el${\displaystyle s}$variable) y luego retroproyección. Como el paso de filtrado se puede realizar de manera eficiente (por ejemplo, utilizando técnicas de procesamiento de señales digitales ) y el paso de retroproyección es simplemente una acumulación de valores en los píxeles de la imagen, esto da como resultado un algoritmo muy eficiente y, por lo tanto, ampliamente utilizado.

Explícitamente, la fórmula de inversión obtenida por este último método es: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle -\imath 2\pi (2\pi )^{-n}(-1)^{n/2}\int _{S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{2\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x)\,d\alpha &n{\text{ odd}}\\\displaystyle (2\pi )^{-n}(-1)^{n/2}\iint _{\mathbb {R} \times S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{q\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x+q)\,d\alpha \,dq&n{\text{ even}}\\\end{cases}}}$$La transformada dual también puede invertirse mediante una fórmula análoga:$${\displaystyle c_{n}g=(-L)^{(n-1)/2}R(R^{*}g).\,}$$

En geometría algebraica , una transformada de Radon (también conocida como transformada de Brylinski-Radon ) se construye de la siguiente manera.

Escribir

${\displaystyle \mathbf {P} ^{d}\,{\stackrel {p_{1}}{\gets }}\,H\,{\stackrel {p_{2}}{\to }}\,\mathbf {P} ^{\vee ,d}}$

para el hiperplano universal , es decir, H consta de pares ( x , h ) donde x es un punto en el espacio proyectivo d -dimensional${\displaystyle \mathbf {P} ^{d}}$y h es un punto en el espacio proyectivo dual (en otras palabras, x es una línea que pasa por el origen en el espacio afín de ( d +1) dimensiones , y h es un hiperplano en ese espacio) tal que x está contenido en h .

Entonces, la transformada de Brylinski-Radon es el functor entre categorías derivadas apropiadas de haces étales.

${\displaystyle \operatorname {Rad}$ :=Rp_{2,*}p_{1}^{*}:D(\mathbf {P} ^{d})\to D(\mathbf {P} ^{\vee ,d}).}

El teorema principal sobre esta transformación es que induce una equivalencia de las categorías de haces perversos en el espacio proyectivo y su espacio proyectivo dual, salvo haces constantes. ^{[ 16 ]}

• Periodograma
• Filtro compatible
• Desconvolución
• transformación de rayos X
• Transformación funk
• La transformada de Hough , cuando se escribe en forma continua, es muy similar, si no equivalente, a la transformada de Radon. ^{[ 17 ]}
• El teorema de Cauchy-Crofton es una fórmula estrechamente relacionada que se utiliza para calcular la longitud de curvas en el espacio.
• transformada rápida de Fourier
• Transformación de Penrose

• Lokenath Debnath; Dambaru Bhatta (19 de abril de 2016). Transformaciones Integrales y sus Aplicaciones . Prensa CRC. ISBN 978-1-4200-1091-6.
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• Herman, Gabor T. (2009), Fundamentos de la tomografía computarizada: reconstrucción de imágenes a partir de proyecciones (2.ª  ed.), Springer, ISBN 978-1-85233-617-2
• Minlos, RA (2001) [1994], "Transformada de Radon" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
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• Natterer, Frank; Wübbeling, Frank (2001), Métodos matemáticos en la reconstrucción de imágenes , Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, Bibcode : 2001mmir.book.....N , ISBN 0-89871-472-9

• Weisstein, Eric W. "Transformada de Radon" . MathWorld .
• Proyección analítica (transformada de Radon) (vídeo). Parte del curso "Tomografía computarizada y la caja de herramientas ASTRA". Universidad de Amberes . 10 de septiembre de 2015.