Construcción Q

En álgebra, la construcción Q de Quillen asocia a una categoría exacta (por ejemplo, una categoría abeliana ) una K-teoría algebraica . Más precisamente, dada una categoría exacta C , la construcción crea un espacio topológico.${\displaystyle B^{+}C}$de modo que${\displaystyle \pi _{0}(B^{+}C)}$es el grupo de Grothendieck de C y, cuando C es la categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre un anillo R , para${\displaystyle i=0,1,2}$,${\displaystyle \pi _{i}(B^{+}C)}$es el i -ésimo K-grupo de R en el sentido clásico. (La notación "+" pretende sugerir que la construcción añade más al espacio clasificador BC ). Se coloca

${\displaystyle K_{i}(C)=\pi _{i}(B^{+}C)}$

y lo llamamos el i -ésimo K-grupo de C. De manera similar, el i -ésimo K-grupo de C con coeficientes en un grupo G se define como el grupo de homotopía con coeficientes :

${\displaystyle K_{i}(C;G)=\pi _{i}(B^{+}C;G)}$.

La construcción es ampliamente aplicable y se utiliza para definir una K-teoría algebraica en un contexto no clásico. Por ejemplo, se puede definir la K-teoría algebraica equivariante como${\displaystyle \pi _{*}}$de${\displaystyle B^{+}}$de la categoría de haces equivariantes en un esquema.

La construcción S de Waldhausen generaliza la construcción Q en un sentido estable; de ​​hecho, la primera, que utiliza una categoría de Waldhausen más general , produce un espectro en lugar de un espacio. El complejo binario de Grayson también proporciona una construcción de la teoría K algebraica para categorías exactas. ^{[ 1 ]} Véase también module spectrum#K-theory para una teoría K de un espectro de anillo .

Sea C una categoría exacta; es decir, una subcategoría aditiva completa de una categoría abeliana que es cerrada bajo extensión. Si existe una secuencia exacta${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$En C , entonces la flecha desde M′ se llama mono admisible y la flecha desde M se llama epi admisible.

Sea QC la categoría cuyos objetos son los mismos que los de C y los morfismos de X a Y sean clases de isomorfismo de diagramas.${\displaystyle X\leftarrow Z\to Y}$De tal forma que la primera flecha es un epi admisible y la segunda un mono admisible, y dos diagramas son isomorfos si difieren solo en el punto medio y existe un isomorfismo entre ellos. La composición de morfismos viene dada por el retroceso.

Definir un espacio topológico${\displaystyle B^{+}C}$por${\displaystyle B^{+}C=\Omega BQC}$dónde${\displaystyle \Omega }$es un functor de espacio de bucles y${\displaystyle BQC}$es el espacio clasificador de la categoría QC ( realización geométrica del nervio ). Resulta que está definido de forma única salvo equivalencia homotópica (por lo que la notación está justificada).

Cada homomorfismo de anillo${\displaystyle R\to S}$induce${\displaystyle B^{+}P(R)\to B^{+}P(S)}$y por lo tanto${\displaystyle K_{i}(P(R))=K_{i}(R)\to K_{i}(S)}$dónde${\displaystyle P(R)}$es la categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre R. Se puede demostrar fácilmente que este mapa (llamado transferencia) coincide con uno definido en la Introducción a la K-teoría algebraica de Milnor . ^{[ 2 ]} La construcción también es compatible con la suspensión de un anillo (cf. Grayson).

Un teorema de Daniel Quillen establece que, cuando C es la categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre un anillo R ,${\displaystyle \pi _{i}(B^{+}C)}$es el i -ésimo K-grupo de R en el sentido clásico para${\displaystyle i=0,1,2}$La demostración habitual del teorema (cf. Weibel 2013 ) se basa en una equivalencia homotópica intermedia. Si S es una categoría monoidal simétrica en la que todo morfismo es un isomorfismo, se construye (cf. Grayson) la categoría${\displaystyle S^{-1}S}$que generaliza la construcción del grupo de Grothendieck de un monoide. Sea C una categoría exacta en la que toda secuencia exacta se divide, por ejemplo, la categoría de módulos proyectivos finitamente generados, y pongamos${\displaystyle S=\operatorname {iso} C}$, la subcategoría de C con la misma clase de objetos pero con morfismos que son isomorfismos en C . Entonces hay una equivalencia homotópica "natural": ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \Omega BQC\simeq B(S^{-1}S)}$.

La equivalencia se construye de la siguiente manera. Sea E la categoría cuyos objetos son secuencias exactas cortas en C y cuyos morfismos son clases de isomorfismo de diagramas entre ellos.${\displaystyle f:E\to QC}$Sea el functor que envía una secuencia exacta corta al tercer término de la secuencia. Nótese la fibra.${\displaystyle f^{-1}(X)}$, que es una subcategoría, consiste en secuencias exactas cuyo tercer término es X . Esto hace que E sea una categoría fibrada sobre${\displaystyle QC}$. Escribiendo${\displaystyle S^{-1}f}$para${\displaystyle S^{-1}E\to QC}$, hay una inclusión obvia (y por lo tanto natural)${\displaystyle \Omega BQC}$en la fibra de homotopía${\displaystyle F(BS^{-1}f)}$, que puede demostrarse que es una equivalencia homotópica. Por otro lado, por el Teorema B de Quillen , se puede demostrar que${\displaystyle B(S^{-1}S)}$es el retroceso homotópico de${\displaystyle BS^{-1}f}$a lo largo de${\displaystyle *\to BQC}$y por lo tanto, la homotopía es equivalente a la${\displaystyle F(BS^{-1}f)}$.

Ahora tomamos C como la categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre un anillo R y mostramos que${\displaystyle \pi _{i}B(S^{-1}S)}$son los${\displaystyle K_{i}}$de R en el sentido clásico para${\displaystyle i=0,1,2}$. En primer lugar, por definición,${\displaystyle \pi _{0}B(S^{-1}S)=K_{0}(R)}$. Próximo,${\displaystyle GL_{n}(R)=\operatorname {Aut} (R^{n})\to S^{-1}S}$nos da:

${\displaystyle BGL(R)=\varinjlim BGL_{n}(R)\to B(S^{-1}S)}$.

(Aquí,${\displaystyle BGL(R)}$es o bien el espacio de clasificación de la categoría${\displaystyle GL(R)}$o el espacio de Eilenberg-MacLane del tipo${\displaystyle K(GL(R),1)}$, lo cual equivale a lo mismo.) La imagen en realidad reside en el componente de identidad de${\displaystyle B(S^{-1}S)}$y así obtenemos:

${\displaystyle f:BGL(R)\to B(S^{-1}S)^{0}.}$

Dejar${\displaystyle S_{n}}$sea ​​la subcategoría completa de S que consiste en módulos isomorfos a${\displaystyle R^{n}}$(de este modo,${\displaystyle BS_{n}}$es el componente conectado que contiene${\displaystyle R^{n}}$). Dejar${\displaystyle e\in \pi _{0}(BS)}$Sea R el componente que contiene a R. Entonces, por un teorema de Quillen,

${\displaystyle H_{p}(B(S^{-1}S)^{0})\subset H_{p}(B(S^{-1}S))=H_{p}(BS)[\pi _{0}(BS)^{-1}]=H_{p}(BS)[e^{-1}].}$

Así, una clase de la izquierda tiene la forma${\displaystyle xe^{-n}}$. Pero${\displaystyle x\mapsto xe^{m}}$es inducido por la acción de${\displaystyle R^{m}\in S}$. Por eso,

${\displaystyle H_{p}(B(S^{-1}S)^{0})=\varinjlim H_{p}(BS_{n})=\varinjlim H_{p}(BGL_{n}(R))=H_{p}(BGL(R)),\quad p\geq 0.}$

Desde${\displaystyle B(S^{-1}S)^{0}}$es un grupo H ,

${\displaystyle \pi _{1}(B(S^{-1}S)^{0})=\pi _{1}(B(S^{-1}S)^{0})^{\text{ab}}=H_{1}(B(S^{-1}S)^{0})=H_{1}(BGL(R))=H_{1}(GL(R))=GL(R)^{\text{ab}}=K_{1}(R).}$

Queda por ver${\displaystyle \pi _{2}}$es${\displaystyle K_{2}}$. Escribiendo${\displaystyle Ff}$Para la fibra de homotopía, tenemos la secuencia exacta larga:

${\displaystyle \pi _{2}(BGL(R))=0\to \pi _{2}(B(S^{-1}S)^{0})\to \pi _{1}(Ff)\to \pi _{1}(BGL(R))=GL(R)\to K_{1}(R).}$

De la teoría de la homotopía sabemos que el segundo término es central; es decir,${\displaystyle \pi _{1}(Ff)\to E(R)}$es una extensión central . Entonces, del siguiente lema se deduce que${\displaystyle \pi _{1}(Ff)}$es la extensión central universal (es decir,${\displaystyle \pi _{1}(Ff)}$es el grupo de Steinberg de R y el núcleo es${\displaystyle K_{2}(R)}$.)

Prueba: El tipo de homotopía de${\displaystyle Ff}$no cambia si reemplazamos f por el retroceso${\displaystyle {\widetilde {f}}}$a lo largo de la cobertura universal de Y${\displaystyle \to Y}$. Por lo tanto, podemos reemplazar la hipótesis por una que diga que Y es simplemente conectado y${\displaystyle H_{p}(X,\mathbb {Z} )\simeq H_{p}(Y,\mathbb {Z} ),p\geq 0}$Ahora, las secuencias espectrales de Serre para${\displaystyle Ff\to X\to Y}$y${\displaystyle *\to Y\to Y}$decir:

${\displaystyle {}^{2}E_{pq}=H_{p}(Y,H_{q}(Ff,\mathbb {Z} ))\Rightarrow H_{p+q}(X,\mathbb {Z} ),}$

${\displaystyle {}^{2}E'_{pq}=H_{p}(Y,H_{q}(*,\mathbb {Z} ))\Rightarrow H_{p+q}(Y,\mathbb {Z} ).}$

Por el teorema de comparación para secuencias espectrales , se deduce que${\displaystyle {}^{2}E_{0q}={}^{2}E'_{0q}}$; es decir,${\displaystyle Ff}$es acíclico . (Casualmente, invirtiendo el argumento, se puede decir que esto implica${\displaystyle H_{p}(X,\mathbb {Z} )\simeq H_{p}(Y,\mathbb {Z} );}$(Así pues, la hipótesis del lema.) A continuación, la secuencia espectral para el recubrimiento${\displaystyle {\widetilde {Ff}}\to Ff}$con grupo${\displaystyle G=\pi _{1}(Ff)}$dice:

${\displaystyle {}^{2}E_{pq}=H_{p}(G,H_{q}({\widetilde {Ff}},\mathbb {Z} ))\Rightarrow H_{p+q}(Ff,\mathbb {Z} )=H_{p+q}(*,\mathbb {Z} ).}$

El análisis de esta secuencia espectral proporciona el resultado deseado.

• Daniel Grayson, Teoría K algebraica superior II [según Daniel Quillen] , 1976
• Srinivas, V. (2008), Teoría K algebraica , Clásicos modernos de Birkhäuser (Reimpresión en rústica de la 2.ª ed. de 1996), Boston, MA: Birkhäuser , ISBN  978-0-8176-4736-0, Zbl 1125.19300 
• Weibel, Charles (2013), El libro K: Una introducción a la teoría K algebraica