Acción del plan de grupo

En geometría algebraica , una acción de un esquema de grupo es una generalización de una acción de grupo a un esquema de grupo . Precisamente, dado un esquema S de grupo G , una acción izquierda de G sobre un esquema S X es un morfismo S.

${\displaystyle \sigma :G\times _{S}X\to X}$

de tal manera que

• (asociatividad)${\displaystyle \sigma \circ (1_{G}\times \sigma )=\sigma \circ (m\times 1_{X})}$, dónde${\displaystyle m:G\times _{S}G\to G}$es la ley del grupo,
• (unidad)${\displaystyle \sigma \circ (e\times 1_{X})=1_{X}}$, dónde${\displaystyle e:S\to G}$es la sección identidad de G.

Una acción derecha de G sobre X se define de forma análoga. Un esquema dotado de una acción izquierda o derecha de un esquema de grupo G se denomina esquema G. Un morfismo equivariante entre esquemas G es un morfismo de esquemas que entrelaza las respectivas acciones G.

De manera más general, también se puede considerar (al menos algún caso especial de) una acción de un functor de grupo : viendo G como un functor, una acción se da como una transformación natural que satisface las condiciones análogas a las anteriores. ^{[ 1 ]} Alternativamente, algunos autores estudian la acción de grupo en el lenguaje de un grupoide ; una acción de esquema de grupo es entonces un ejemplo de un esquema de grupoide .

Las construcciones habituales para una acción de grupo , como las órbitas, se generalizan a una acción de esquema de grupo.${\displaystyle \sigma }$ser una acción de esquema de grupo dada como la anterior.

• Dado un punto con valor T${\displaystyle x:T\to X}$, el mapa orbital${\displaystyle \sigma _{x}:G\times _{S}T\to X\times _{S}T}$se da como${\displaystyle (\sigma \circ (1_{G}\times x),p_{2})}$.
• La órbita de x es la imagen del mapa de órbitas.${\displaystyle \sigma _{x}}$.
• El estabilizador de x es la fibra sobre${\displaystyle \sigma _{x}}$del mapa${\displaystyle (x,1_{T}):T\to X\times _{S}T.}$

A diferencia de una acción de grupo en teoría de conjuntos, no hay una forma directa de construir un cociente para una acción de esquema de grupo. Una excepción es el caso en que la acción es libre, el caso de un fibrado principal .

Existen varios enfoques para superar esta dificultad:

• Estructura de niveles : quizás el más antiguo, este enfoque reemplaza un objeto a clasificar por un objeto junto con una estructura de niveles.
• Teoría de invariantes geométricos : descartar las órbitas defectuosas y luego calcular un cociente. El inconveniente es que no existe una forma canónica de introducir la noción de "órbitas defectuosas"; esta noción depende de la elección de la linealización . Véase también: cociente categórico , cociente GIT .
• Construcción de Borel : este es un enfoque esencialmente de la topología algebraica; este enfoque requiere trabajar con un espacio de dimensión infinita .
• Enfoque analítico, la teoría del espacio de Teichmüller
• Pila de cocientes : en cierto sentido, esta es la respuesta definitiva al problema. A grandes rasgos, un "preapilamiento de cocientes" es la categoría de órbitas y se le aplica una apilamiento (es decir, la introducción de la noción de torsor) para obtener una pila de cocientes.

Dependiendo de las aplicaciones, otro enfoque sería cambiar el foco de atención de un espacio a elementos en ese espacio; por ejemplo, un topos . Así, el problema pasa de la clasificación de órbitas a la de objetos equivariantes .

• esquema de grupoide
• Teorema de Sumihiro
• haz equivariante
• Teorema del punto fijo de Borel

• Mumford, David ; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994). Teoría de las invariantes geométricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (2)]. vol.  34 (3ª  ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56963-3MR 1304906 .​