Símbolo 6-j

Los símbolos 6- j de Wigner fueron introducidos por Eugene Paul Wigner en 1940 y publicados en 1965. Se definen como una suma sobre productos de cuatro símbolos 3- j de Wigner ,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}&=\sum _{m_{1},\dots ,m_{6}}(-1)^{\sum _{k=1}^{6}(j_{k}-m_{k})}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}\times \\&\times {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\m_{1}&-m_{5}&m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\m_{4}&m_{2}&-m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\-m_{4}&m_{5}&m_{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

La suma se realiza sobre los seis m _i permitidos por las reglas de selección de los símbolos 3- j .

Están estrechamente relacionados con los coeficientes W de Racah , que se utilizan para acoplar tres momentos angulares, aunque los símbolos Wigner 6- j tienen mayor simetría y, por lo tanto, proporcionan un medio más eficiente para almacenar los coeficientes de acoplamiento. ^{[ 1 ]} Su relación viene dada por:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6}).}$

El símbolo 6- j es invariante bajo cualquier permutación de las columnas:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}=\cdots }$

El símbolo 6- j también es invariante si se intercambian los argumentos superior e inferior en cualesquiera dos columnas:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

Estas ecuaciones reflejan las 24 operaciones de simetría del grupo de automorfismos que dejan invariante el grafo tetraédrico de Yutsis asociado con 6 aristas: operaciones de espejo que intercambian dos vértices y un intercambio de un par de aristas adyacentes.

El símbolo 6- j

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}}$

es cero a menos que j ₁ , j ₂ , y j ₃ satisfagan las condiciones triangulares, es decir,

${\displaystyle j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}}$

_{En combinación con la relación de simetría para intercambiar argumentos superiores e inferiores ,} esto demuestra que también deben cumplirse las condiciones triangulares para las tríadas ( _{j1 ,} j5 , j6 ) , ( j4 , j2 , j6 ) y ( j4 , _j5 , _{j3 ) . Además} , la suma de los elementos de cada tríada debe ser un número entero. Por _lo tanto, los miembros de cada tríada son todos enteros o contienen un entero y dos semi-enteros _.

Cuando j ₆ = 0, la expresión para el símbolo 6- j es:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{2},j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

La _función delta triangular { j₁ _, j₂ _, j₃ }     es igual a 1 cuando la tríada ( j₁ _, j₂ _, j₃ ) cumple las condiciones triangulares, y cero _en caso contrario. Las relaciones de simetría pueden utilizarse para hallar la expresión cuando otro j es igual a cero.

Los valores para j ₆ = e = 0, 1/2, 1, 3/2 y 2 se pueden obtener directamente de los coeficientes W de Racah (Brink y Satchler 1994, Tabla 4, j ₆ = e = 0, 1/2 y 1; Biedenharn, Blatt y Rose, 1952, j ₆ = e = 0, 1/2, 1, 3/2 y 2. Los valores para j ₆ = 1/2 y 1 se dan a continuación. Las fórmulas para los acoplamientos para otros valores de j ₆ se pueden inferir fácilmente a partir de estos utilizando la simetría de los 6 símbolos j y la sustitución apropiada.

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{2}+{\frac {1}{2}}&j_{1}+{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}+1}\left[{\frac {(j_{1}+j_{2}+j_{3}+2)(j_{1}+j_{2}-j_{3}+1)}{(2j_{1}+1)(2j_{1}+2)(2j_{2}+1)(2j_{2}+2)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{2}+{\frac {1}{2}}&j_{1}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\left[{\frac {(j_{3}+j_{1}-j_{2})(j_{2}+j_{3}-j_{1}+1)}{(2j_{1})(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{2}+2)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{2}-1&j_{1}-1&1\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\left[{\frac {(j_{1}+j_{2}+j_{3})(j_{1}+j_{2}+j_{3}+1)(j_{1}+j_{2}-j_{3})(j_{1}+j_{2}-j_{3}-1)}{(2j_{1}-1)(2j_{1})(2j_{1}+1)(2j_{2}-1)(2j_{2})(2j_{2}+1)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{2}-1&j_{1}&1\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\left[{\frac {2(j_{1}+j_{2}+j_{3}+1)(j_{1}+j_{2}-j_{3})(j_{2}+j_{3}-j_{1})(j_{1}-j_{2}+j_{3}+1)}{(2j_{1})(2j_{1}+1)(2j_{1}+2)(2j_{2}-1)(2j_{2})(2j_{2}+1)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{2}+1&j_{1}-1&1\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\left[{\frac {(j_{1}-j_{2}+j_{3}-1)(j_{1}-j_{2}+j_{3})(j_{2}+j_{3}-j_{1}+1)(j_{2}+j_{3}-j_{1}+2)}{(2j_{1}-1)(2j_{1})(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{2}+2)(2j_{2}+3)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{2}&j_{1}&1\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}+1}{\frac {j_{1}(j_{1}+1)+j_{2}(j_{2}+1)-j_{3}(j_{3}+1)}{[(2j_{1})(2j_{1}+1)(2j_{1}+2)(j_{2})(j_{2}+1)(2j_{2}+1)]^{1/2}}}}$

En la práctica, en lugar de utilizar tablas de símbolos 6j, se utilizarían las calculadoras y los códigos informáticos disponibles que se enumeran en Enlaces externos a continuación, o, para argumentos específicos, se buscarían en un conjunto de tablas (Varshalovic, Moskalev y Khersonskii 1988, Capítulo 9).

Los símbolos 6- j satisfacen esta relación de ortogonalidad:

${\displaystyle \sum _{j_{3}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{6}^{}j_{6}'}}{2j_{6}+1}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}.}$

Una fórmula notable para el comportamiento asintótico del símbolo 6- j fue conjeturada por primera vez por Ponzano y Regge ^{[ 2 ]} y posteriormente demostrada por Roberts. _[ ^{3 ] La} fórmula asintótica se aplica cuando los seis números cuánticos j1 _, ..., j6 se toman como grandes y asocia al símbolo 6- j la geometría de un tetraedro. Si el símbolo 6- j está determinado por los números cuánticos j1 _, ..., j6 _, el tetraedro asociado tiene longitudes de arista Ji = _{ji + 1/2 (i = 1, ...} , 6) y la fórmula asintótica viene dada por:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}\sim {\frac {1}{\sqrt {12\pi |V|}}}\cos {\left(\sum _{i=1}^{6}J_{i}\theta _{i}+{\frac {\pi }{4}}\right)}.}$

La notación es la siguiente: Cada θ _{i es el} ángulo diedro externo alrededor de la arista J _i del tetraedro asociado y el factor de amplitud se expresa en términos del volumen, V , de este tetraedro.

En teoría de la representación , los símbolos 6- j son coeficientes de matriz del isomorfismo asociativo en una categoría tensorial . ^{[ 4 ]} Por ejemplo, si se nos dan tres representaciones V _i , V _j , V _k de un grupo (o grupo cuántico ), se tiene un isomorfismo natural.

${\displaystyle (V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}\to V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})}$

de representaciones de productos tensoriales, inducidas por la coasociatividad de la bialgebra correspondiente . Uno de los axiomas que definen una categoría monoidal es que los asociadores satisfacen una identidad pentagonal, que es equivalente a la identidad de Biedenharn-Elliot para símbolos 6- j .

Cuando una categoría monoidal es semisimple, podemos restringir nuestra atención a objetos irreducibles y definir espacios de multiplicidad.

${\displaystyle H_{i,j}^{\ell }=\operatorname {Hom} (V_{\ell },V_{i}\otimes V_{j})}$

de modo que los productos tensoriales se descomponen como:

${\displaystyle V_{i}\otimes V_{j}=\bigoplus _{\ell }H_{i,j}^{\ell }\otimes V_{\ell }}$

donde la suma se realiza sobre todas las clases de isomorfismo de objetos irreducibles. Entonces:

${\displaystyle (V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}\cong \bigoplus _{\ell ,m}H_{i,j}^{\ell }\otimes H_{\ell ,k}^{m}\otimes V_{m}\qquad {\text{while}}\qquad V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})\cong \bigoplus _{m,n}H_{i,n}^{m}\otimes H_{j,k}^{n}\otimes V_{m}}$

El isomorfismo de asociatividad induce un isomorfismo de espacio vectorial.

${\displaystyle \Phi _{i,j}^{k,m}:\bigoplus _{\ell }H_{i,j}^{\ell }\otimes H_{\ell ,k}^{m}\to \bigoplus _{n}H_{i,n}^{m}\otimes H_{j,k}^{n}}$

y los símbolos 6j se definen como los mapas de componentes:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}i&j&\ell \\k&m&n\end{Bmatrix}}=(\Phi _{i,j}^{k,m})_{\ell ,n}}$

Cuando los espacios de multiplicidad tienen elementos base canónicos y dimensión como máximo uno (como en el caso de SU (2) en el entorno tradicional), estos mapas de componentes pueden interpretarse como números, y los símbolos 6- j se convierten en coeficientes de matriz ordinarios.

En términos abstractos, los símbolos 6- j son precisamente la información que se pierde al pasar de una categoría monoidal semisimple a su anillo de Grothendieck , ya que se puede reconstruir una estructura monoidal usando el asociador. Para el caso de representaciones de un grupo finito , es bien sabido que la tabla de caracteres por sí sola (que determina la categoría abeliana subyacente y la estructura del anillo de Grothendieck) no determina un grupo salvo isomorfismo, mientras que la estructura de la categoría monoidal simétrica sí lo hace, por dualidad de Tannaka-Krein . En particular, los dos grupos no abelianos de orden 8 tienen categorías abelianas equivalentes de representaciones y anillos de Grothendieck isomorfos, pero los símbolos 6- j de sus categorías de representación son distintos, lo que significa que sus categorías de representación no son equivalentes como categorías monoidales. Por lo tanto, los símbolos 6- j proporcionan un nivel intermedio de información que, de hecho, determina unívocamente los grupos en muchos casos, como cuando el grupo es de orden impar o simple. ^{[ 5 ]}

• Coeficientes de Clebsch-Gordan
• Símbolo 3-j
• coeficiente W de Racah
• Símbolo 9-j
• Representaciones de los grupos de Lie clásicos

• Biedenharn, LC; Blatt, JM; Rose, ME (1952). "Algunas propiedades de los coeficientes de Racah y asociados". Reviews of Modern Physics . 24 (4): 249– 257. Bibcode : 1952RvMP...24..249B . doi : 10.1103/RevModPhys.24.249 .
• Biedenharn, LC ; van Dam, H. (1965). Teoría cuántica del momento angular: una colección de reimpresiones y artículos originales . Academic Press . ISBN 0-12-096056-7.
• Biedenharn, LC; Louck, JD (1981). Momento angular en física cuántica . Addison-Wesley . ISBN 0-201-13507-8.
• Brink, DM; Satchler, GR (1993). "2. Representaciones del grupo de rotación" . Momento angular (3.ª  ed.). Clarendon Press . ISBN 0-19-851759-9.
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• Condon, Edward U.; Shortley, GH (1970). "3. Momento angular" . La teoría de los espectros atómicos . Cambridge University Press . ISBN 0-521-09209-4.
• Edmonds, AR (8 de enero de 1996) [1957]. Momento angular en mecánica cuántica . Princeton University Press . ISBN 9780691025896.
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• Varshalovic, Dmitrii Aleksandrovich; Moskalev, Anatoli Nikolaevitch; Khersonskii, Valerij Kel'manovic (1988). Teoría cuántica del momento angular . Científico Mundial . ISBN 9-971-50996-2.
• Zare, Richard N. (1988). "2. Acoplamiento de dos vectores de momento angular". Momento angular . Wiley . ISBN 0-471-85892-7.

• Dumont, Joey. "wignerSymbols" . GitHub .(preciso; C++)
• Biblioteca científica GNU . "Coeficientes de acoplamiento" .
• Holt, Richard. "Coeficiente de acoplamiento del momento angular Wigner 6j" .(preciso; Matlab)
• Johansson, HT; Forssén, C. "(WIGXJPF)" .(preciso; C, Fortran, Python)
• Johansson, HT "(FASTWIGXJ)" .(búsqueda rápida y precisa; C, Fortran)
• Mathar, RJ "Tabla de símbolos 6j" . GitHub .(preciso; PARI/GP)
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