Función de base radial

En matemáticas, una función de base radial ( RBF ) es una función de valor real.${\textstyle \varphi }$cuyo valor depende únicamente de la distancia entre la entrada y algún punto fijo , ya sea el origen , de modo que${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} \right\|)}$o algún otro punto fijo${\textstyle \mathbf {c} }$, llamado centro , de modo que${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \right\|)}$Cualquier función${\textstyle \varphi }$que satisface la propiedad${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} \right\|)}$es una función radial . La distancia suele ser la distancia euclidiana , aunque a veces se utilizan otras métricas . A menudo se utilizan como una colección.${\displaystyle \{\varphi _ {k}\}_ {k}}$que constituye la base de algún espacio funcional de interés, de ahí su nombre.

Las sumas de funciones de base radial se utilizan típicamente para aproximar funciones dadas . Este proceso de aproximación también puede interpretarse como un tipo simple de red neuronal ; este fue el contexto en el que se aplicaron originalmente al aprendizaje automático , en el trabajo de David Broomhead y David Lowe en 1988, ^{[ 1 ] [ 2 ]} que surgió de la investigación seminal de Michael JD Powell de 1977. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} Las RBF también se utilizan como núcleo en la clasificación de vectores de soporte . ^{[ 6 ]} La técnica ha demostrado ser lo suficientemente efectiva y flexible como para que las funciones de base radial se apliquen ahora en una variedad de aplicaciones de ingeniería. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Una función radial es una función${\textstyle \varphi$ :[0,\infty )\to \mathbb {R} } . Cuando se combina con una norma${\textstyle \|\cdot \|:V\to [0,\infty )}$en un espacio vectorial, una función de la forma${\textstyle \varphi _{\mathbf {c} }=\varphi (\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|)}$Se dice que es un núcleo radial centrado en${\textstyle \mathbf {c} \en V}$. Se dice que una función radial y los núcleos radiales asociados son funciones de base radial si, para cualquier conjunto finito de nodos${\displaystyle \{\mathbf {x} _{k}\}_{k=1}^{n}\subseteq V}$Todas las siguientes condiciones son verdaderas:

Las funciones de base radial se utilizan típicamente para construir aproximaciones de funciones de la forma

donde la función de aproximación${\textstyle y(\mathbf {x} )}$se representa como una suma de${\displaystyle N}$funciones de base radial, cada una asociada a un centro diferente${\textstyle \mathbf {x} _{i}}$y ponderado por un coeficiente apropiado${\textstyle w_{i}.}$Los pesos${\textstyle w_{i}}$puede estimarse utilizando los métodos matriciales de mínimos cuadrados lineales , porque la función de aproximación es lineal en los pesos${\textstyle w_{i}}$.

Los esquemas de aproximación de este tipo se han utilizado particularmente en la predicción de series temporales y el control de sistemas no lineales que exhiben un comportamiento caótico suficientemente simple y la reconstrucción 3D en gráficos por computadora (por ejemplo, RBF jerárquica y deformación del espacio de poses ).

La suma

También puede interpretarse como un tipo de red neuronal artificial de una sola capa bastante simple llamada red de funciones de base radial , donde las funciones de base radial asumen el papel de las funciones de activación de la red. Se puede demostrar que cualquier función continua en un intervalo compacto puede, en principio, interpolarse con precisión arbitraria mediante una suma de esta forma, si un número suficientemente grande${\textstyle N}$Se utiliza el método de funciones de base radial.

El aproximado${\textstyle y(\mathbf {x} )}$es diferenciable con respecto a los pesos${\textstyle w_{i}}$Los pesos podrían, por lo tanto, aprenderse utilizando cualquiera de los métodos iterativos estándar para redes neuronales.

El uso de funciones de base radial de esta manera proporciona un método de interpolación razonable, siempre que el conjunto de ajuste se haya elegido de forma que cubra sistemáticamente todo el rango (lo ideal son puntos de datos equidistantes). Sin embargo, sin un término polinómico ortogonal a las funciones de base radial, las estimaciones fuera del conjunto de ajuste tienden a ser deficientes.

Las funciones de base radial se utilizan para aproximar funciones y, por lo tanto, pueden usarse para discretizar y resolver numéricamente ecuaciones diferenciales parciales (EDP). Esto fue realizado por primera vez en 1990 por E.J. Kansa, quien desarrolló el primer método numérico basado en RBF. Se llama método de Kansa y se utilizó para resolver la ecuación de Poisson elíptica y la ecuación lineal de advección-difusión . Los valores de la función en los puntos${\displaystyle \mathbf {x} }$En el dominio se aproximan mediante la combinación lineal de RBF:

Las derivadas se aproximan de la siguiente manera:

dónde${\displaystyle N}$son el número de puntos en el dominio discretizado,${\displaystyle d}$la dimensión del dominio y${\displaystyle \lambda }$los coeficientes escalares que no se ven afectados por el operador diferencial. ^{[ 14 ]}

Posteriormente se desarrollaron diferentes métodos numéricos basados ​​en funciones de base radial. Algunos de estos métodos son el método RBF-FD, ^{[ 15 ] [ 16 ]} el método RBF-QR ^{[ 17 ]} y el método RBF-PUM. ^{[ 18 ]}

• Función de covarianza de Matérn
• Interpolación mediante función de base radial
• Método Kansa

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• Hardy, RL (1990). "Teoría y aplicaciones del método multicuadrático-biarmónico, 20 años de descubrimiento, 1968-1988" . Comp. Math Applic . 19 (8/9): 163–208 . doi : 10.1016/0898-1221(90)90272-l .
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 3.7.1. Interpolación de funciones de base radial" , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3.ª  ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8Archivado del original el 11 de marzo de 2017 , consultado el 8 de agosto de 2011.
• Sirayanone, S., 1988, Estudios comparativos de kriging, multiquadric-biharmonic y otros métodos para resolver problemas de recursos minerales, Tesis doctoral, Departamento de Ciencias de la Tierra, Universidad Estatal de Iowa, Ames, Iowa.
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