Teorema de Radon-Nikodym

El teorema de Radon-Nikodym involucra un espacio medible${\displaystyle (X,\Sigma )}$sobre las cuales se definen dos medidas σ-finitas ,${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu .}$ Afirma que, si${\displaystyle \nu \ll \mu }$(es decir, si${\displaystyle \nu }$es absolutamente continuo con respecto a${\displaystyle \mu }$), entonces existe un${\displaystyle \Sigma }$- función medible${\displaystyle f:X\to [0,\infty ),}$de tal manera que para cualquier conjunto medible${\displaystyle A\in \Sigma ,}$$${\displaystyle \nu (A)=\int _ {A}f\,d\mu .}$$

La función${\displaystyle f}$que satisface la igualdad anterior está definida de forma única salvo una${\displaystyle \mu }$- conjunto nulo , es decir, si${\displaystyle g}$es otra función que satisface la misma propiedad, entonces${\displaystyle f=g}$${\displaystyle \mu }$- casi en todas partes . La función${\displaystyle f}$se escribe comúnmente${\displaystyle d\nu /d\mu }$y se llama elDerivada de Radon-Nikodym . La elección de la notación y el nombre de la función reflejan que esta es análoga a unaderivadaencálculo,en el sentido de que describe la tasa de cambio de la densidad de una medida con respecto a otra (de la misma manera que se utiliza eldeterminante jacobianoen la integración multivariable).

Un teorema similar puede demostrarse para medidas con signo y complejas : a saber, que si${\displaystyle \mu }$es una medida σ-finita no negativa, y${\displaystyle \nu }$es una medida con signo o compleja de valor finito tal que${\displaystyle \nu \ll \mu ,}$eso es,${\displaystyle \nu }$es absolutamente continuo con respecto a${\displaystyle \mu ,}$entonces hay un${\displaystyle \mu }$-función integrable de valores reales o complejos${\displaystyle g}$en${\displaystyle X}$de tal manera que para cada conjunto medible${\displaystyle A,}$$${\displaystyle \nu (A)=\int _ {A}g\,d\mu .}$$

Este teorema es fundamental para extender las ideas de la teoría de la probabilidad, desde las masas de probabilidad y las densidades de probabilidad definidas sobre números reales hasta las medidas de probabilidad definidas sobre conjuntos arbitrarios. Indica si es posible, y cómo, cambiar de una medida de probabilidad a otra. En concreto, la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria es la derivada de Radon-Nikodym de la medida inducida con respecto a alguna medida base (generalmente la medida de Lebesgue para variables aleatorias continuas ).

Por ejemplo, puede utilizarse para demostrar la existencia de la esperanza condicional para medidas de probabilidad. Esta última es, en sí misma, un concepto clave en la teoría de la probabilidad , ya que la probabilidad condicional es solo un caso particular de la misma.

Entre otros campos, las matemáticas financieras utilizan ampliamente este teorema, en particular a través del teorema de Girsanov . Estos cambios en la medida de probabilidad son la piedra angular de la valoración racional de los derivados y se utilizan para convertir las probabilidades reales en probabilidades neutrales al riesgo .

Si μ y ν son medidas sobre X , y μ ≪ ν

• La divergencia de Kullback-Leibler de ν a μ se define como$${\displaystyle D_{\text{KL}}(\mu \parallel \nu )=\int _{X}\log \left({\frac {d\mu }{d\nu }}\right)\;d\mu .}$$
• Para α > 0, α ≠ 1, la divergencia de Rényi de orden α de ν a μ se define como$${\displaystyle D_{\alpha }(\mu \parallel \nu )={\frac {1}{\alpha -1}}\log \left(\int _{X}\left({\frac {d\mu }{d\nu }}\right)^{\alpha -1}\;d\mu \right).}$$

Aquí tenemos un ejemplo en el que μ no es σ-finito y el teorema de Radon-Nikodym no se cumple.

Consideremos el álgebra σ de Borel en la recta real . Sea la medida de conteo , μ , de un conjunto de Borel A definida como el número de elementos de A si A es finito, e ∞ en caso contrario. Se puede comprobar que μ es efectivamente una medida. No es σ -finita, ya que no todo conjunto de Borel es como máximo la unión de una cantidad numerable de conjuntos finitos. Sea ν la medida de Lebesgue usual en esta álgebra de Borel. Entonces, ν es absolutamente continua con respecto a μ , ya que para un conjunto A se tiene μ ( A ) = 0 solo si A es el conjunto vacío , y entonces ν ( A ) también es cero.

Supongamos que se cumple el teorema de Radon-Nikodym, es decir, para alguna función medible f se tiene

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu }$

para todos los conjuntos de Borel. Tomando A como un conjunto unitario , A = { a } , y usando la igualdad anterior, se encuentra

${\displaystyle 0=f(a)}$

para todos los números reales a . Esto implica que la función f , y por lo tanto la medida de Lebesgue ν , es cero, lo cual es una contradicción.

Arrogante${\displaystyle \nu \ll \mu ,}$El teorema de Radon-Nikodym también se cumple si${\displaystyle \mu }$es localizable y${\displaystyle \nu }$es accesible con respecto a${\displaystyle \mu }$, ^{[ 5 ] : pág. 189, Ejercicio 9O} es decir,${\displaystyle \nu (A)=\sup\{\nu (B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\operatorname {pre} }(\mathbb {R} _{\geq 0})\}}$a pesar de${\displaystyle A\in \Sigma .}$^{[ 6 ] : Teorema 1.111 (Radon–Nikodym, II) [ 5 ] : pág. 190, Ejercicio 9T(ii)}

Construcción de un candidato de valor extendido Primero, supongamos que μ y ν son medidas no negativas de valor finito. Sea F el conjunto de aquellas funciones medibles de valor extendido f  : X → [0, ∞] tales que:

${\displaystyle \forall A\in \Sigma$ :\qquad \int _{A}f\,d\mu \leq \nu (A)}

F ≠ ∅ , ya que contiene al menos la función cero. Ahora sean f ₁ , f ₂ ∈ F , y supongamos que A es un conjunto medible arbitrario, y definamos:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=\left\{x\in A:f_{1}(x)>f_{2}(x)\right\},\\A_{2}&=\left\{x\in A:f_{2}(x)\geq f_{1}(x)\right\}.\end{aligned}}}$

Entonces uno tiene

${\displaystyle \int _{A}\max \left\{f_{1},f_{2}\right\}\,d\mu =\int _{A_{1}}f_{1}\,d\mu +\int _{A_{2}}f_{2}\,d\mu \leq \nu \left(A_{1}\right)+\nu \left(A_{2}\right)=\nu (A),}$

y por lo tanto, max{ f ₁ , f ₂ } ∈ F .

Ahora, sea { f _n } una sucesión de funciones en F tal que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .}$

Al reemplazar f _n con el máximo de las primeras n funciones, se puede suponer que la secuencia { f _n } es creciente. Sea g una función de valores extendidos definida como

${\displaystyle g(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x).}$

Según el teorema de convergencia monótona de Lebesgue , se tiene

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu =\int _{A}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\,d\mu (x)=\int _{A}g\,d\mu \leq \nu (A)}$

para cada A ∈ Σ , y por lo tanto, g ∈ F . Además, por la construcción de g ,

${\displaystyle \int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .}$

Demostrando la igualdad Ahora, dado que g ∈ F ,

${\displaystyle \nu _{0}(A):=\nu (A)-\int _{A}g\,d\mu }$

define una medida no negativa en Σ . Para probar la igualdad, mostramos que ν ₀ = 0 .

Supongamos que ν ₀ ≠ 0 ; entonces, como μ es finito, existe un ε > 0 tal que ν ₀ ( X ) > ε μ ( X ) . Para derivar una contradicción de ν ₀ ≠ 0 , buscamos un conjunto positivo P ∈ Σ para la medida con signo ν ₀ − ε μ (es decir, un conjunto medible P , cuyos subconjuntos medibles tienen una medida ν ₀  − εμ  no negativa ), donde P también tiene una medida μ positiva . Conceptualmente, buscamos un conjunto P , donde ν ₀ ≥ ε μ en cada parte de P. Un enfoque conveniente es usar la descomposición de Hahn ( P , N ) para la medida con signo ν ₀ − ε μ .

Nótese entonces que para cada A ∈ Σ se tiene ν ₀ ( A ∩ P ) ≥ ε μ ( A ∩ P ) , y por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (A)&=\int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A)\\&\geq \int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A\cap P)\\&\geq \int _{A}g\,d\mu +\varepsilon \mu (A\cap P)=\int _{A}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu ,\end{aligned}}}$

donde 1 _P es la función indicadora de P. Además, observe que μ ( P ) > 0 como se deseaba; porque si μ ( P ) = 0 , entonces (ya que ν es absolutamente continua en relación con μ ) ν ₀ ( P ) ≤ ν ( P ) = 0 , por lo que ν ₀ ( P ) = 0 y

${\displaystyle \nu _{0}(X)-\varepsilon \mu (X)=\left(\nu _{0}-\varepsilon \mu \right)(N)\leq 0,}$

contradiciendo el hecho de que ν ₀ ( X ) > εμ ( X ) .

Entonces, puesto que también

${\displaystyle \int _{X}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu \leq \nu (X)<+\infty ,}$

g + ε 1 _P ∈ F y satisface

${\displaystyle \int _{X}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu >\int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .}$

Esto es imposible porque viola la definición de supremo ; por lo tanto, la suposición inicial de que ν ₀ ≠ 0 debe ser falsa. En consecuencia, ν ₀ = 0 , como se deseaba.

Restringiendo a valores finitos Ahora, dado que g es μ -integrable, el conjunto { x ∈ X  : g ( x ) = ∞} es μ - nulo . Por lo tanto, si una f se define como

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}g(x)&{\text{if }}g(x)<\infty \\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$

entonces f tiene las propiedades deseadas.

Unicidad En cuanto a la unicidad, sean f , g : X → [0, ∞) funciones medibles que satisfacen 

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu =\int _{A}g\,d\mu }$

para cada conjunto medible A. Entonces, g − f es μ- integrable y

${\displaystyle \int _{A}(g-f)\,d\mu =0.}$(Recordemos que podemos dividir la integral en dos siempre que sean medibles y no negativas).

En particular, para A = { x ∈ X  : f ( x ) > g ( x )}, o { x ∈ X  : f ( x ) < g ( x )} . Se deduce que

${\displaystyle \int _{X}(g-f)^{+}\,d\mu =0=\int _{X}(g-f)^{-}\,d\mu ,}$

y así, que ( g − f ) ⁺ = 0 μ -casi en todas partes; lo mismo es cierto para ( g − f ) ⁻ , y por lo tanto, f = g μ -casi en todas partes, como se deseaba.

Si μ y ν son σ- finitos, entonces X puede escribirse como la unión de una sucesión { B _n } _n de conjuntos disjuntos en Σ , cada uno de los cuales tiene medida finita bajo μ y ν . Para cada n , por el caso finito, existe una función Σ -medible f _n : B _n → [0, ∞) tal que 

${\displaystyle \nu _{n}(A)=\int _{A}f_{n}\,d\mu }$

para cada subconjunto A de B _n medible por Σ . La suma${\textstyle \left(\sum _{n}f_{n}1_{B_{n}}\right):=f}$de esas funciones es entonces la función requerida tal que${\textstyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu }$.

En cuanto a la unicidad, dado que cada uno de los f _n es μ -casi en todas partes único, también lo es f .

Si ν es una medida con signo σ -finita, entonces se puede descomponer de Hahn-Jordan como ν = ν ⁺ − ν ⁻ donde una de las medidas es finita. Aplicando el resultado anterior a esas dos medidas, se obtienen dos funciones, g , h  : X → [0, ∞) , que satisfacen el teorema de Radon-Nikodym para ν ⁺ y ν ⁻ respectivamente, al menos una de las cuales es μ -integrable (es decir, su integral con respecto a μ es finita). Es claro entonces que f = g − h satisface las propiedades requeridas, incluida la unicidad, ya que tanto g como h son únicas salvo igualdad μ -casi en todas partes.

Si ν es una medida compleja , se puede descomponer como ν = ν ₁ + iν ₂ , donde tanto ν ₁ como ν ₂ son medidas con signo de valor finito. Aplicando el argumento anterior, se obtienen dos funciones, g , h  : X → [0, ∞) , que satisfacen las propiedades requeridas para ν ₁ y ν ₂ , respectivamente. Claramente, f = g + ih es la función requerida.