Método de índice de rango

En la teoría de reparto , los métodos de índice de rango ^{[ 1 ] : Sec.8} son un conjunto de métodos de reparto que generalizan el método del divisor . Estos también se han llamado métodos de Huntington , ^{[ 2 ]} ya que generalizan una idea de Edward Vermilye Huntington .

Al igual que todos los métodos de asignación, los datos de entrada de cualquier método de índice de rango son:

• Un número entero positivo${\displaystyle h}$representa el número total de artículos a asignar. También se le llama tamaño de la casa.

• Un número entero positivo${\displaystyle n}$representa el número de agentes a los que se deben asignar los elementos. Por ejemplo, pueden ser estados federales o partidos políticos .
• Un vector de fracciones${\displaystyle (t_{1},\ldots ,t_{n})}$con${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}t_{i}=1}$, representando derechos -${\displaystyle t_{i}}$representa el derecho del agente${\displaystyle i}$, es decir, la fracción de elementos a los que${\displaystyle i}$tiene derecho (del total de${\displaystyle h}$).

Su resultado es un vector de números enteros.${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$con${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=h}$, llamado reparto de${\displaystyle h}$, dónde${\displaystyle a_{i}}$es el número de artículos asignados al agente i .

Cada método de índice de rango está parametrizado por una función de índice de rango.${\displaystyle r(t,a)}$, que está aumentando en el derecho${\displaystyle t}$y disminuyendo la asignación actual${\displaystyle a}$El reparto se calcula de forma iterativa de la siguiente manera:

• Inicialmente, se estableció${\displaystyle a_{i}}$a 0 para todas las partes.
• En cada iteración, asigne un elemento a un agente para el cual${\displaystyle r(t_{i},a_{i})}$es máximo (los empates se resuelven arbitrariamente).
• Deténgase después${\displaystyle h}$iteraciones.

Los métodos divisores son un caso especial de métodos de índice de rango: un método divisor con función divisor.${\displaystyle d(a)}$es equivalente a un método de índice de rango con función de índice de rango${\displaystyle r(t,a)=t/d(a)}$.

Cada método de índice de rango puede definirse utilizando una desigualdad min-max: a es una asignación para el método de índice de rango con función r , si y solo si: ^{[ 1 ] : Teorema 8.1}

${\displaystyle \min _{i:a_{i}>0}r(t_{i},a_{i}-1)\geq \max _{i}r(t_{i},a_{i})}$.

Cada método de índice de rango es monótono de casa . Esto significa que, cuando${\displaystyle h}$A medida que aumenta, la asignación de cada agente aumenta ligeramente. Esto se deduce inmediatamente del procedimiento iterativo.

Cada método de índice de rango es uniforme . Esto significa que tomamos un subconjunto de los agentes.${\displaystyle 1,\ldots ,k}$y aplicar el mismo método a su asignación combinada, entonces el resultado es exactamente el vector${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{k})}$En otras palabras: cada parte de una asignación justa también es justa. Esto se deduce inmediatamente de la desigualdad min-max.

Además:

• Todo método de reparto que sea uniforme , simétrico y equilibrado debe ser un método de índice de rango. ^{[ 1 ] : Teorema 8.3}
• Todo método de reparto que sea uniforme , monótono y equilibrado debe ser un método de índice de rango. ^{[ 2 ]}

El método del divisor con límite de cuota es un método de asignación en el que se comienza asignando a cada estado su cuota mínima de escaños. Luego, se añaden escaños uno por uno al estado con el promedio más alto de votos por escaño, siempre que la adición de un escaño adicional no provoque que el estado supere su cuota máxima. ^{[ 3 ]} Sin embargo, los métodos del divisor con límite de cuota violan el criterio de participación (también llamado monotonicidad de la población ): es posible que un partido pierda un escaño como resultado de obtener más votos. ^{[ 4 ] : Tbl.A7.2}

Todo método divisor con límite de cuota satisface la monotonicidad de la casa . Además, los métodos divisores con límite de cuota satisfacen la regla de cuota . ^{[ 5 ] : Teorema 7.1}

Sin embargo, los métodos divisores con límite de cuota violan el criterio de participación (también llamado monotonicidad poblacional ): es posible que un partido pierda un escaño como resultado de obtener más votos. ^{[ 5 ] : Tbl.A7.2} Esto ocurre cuando:

1. El partido i obtiene más votos.
2. Debido al divisor mayor, la cuota máxima de algún otro partido j disminuye. Por lo tanto, el partido j no puede optar a un puesto en la iteración actual, y un tercer partido lo obtiene en su lugar.
3. Luego, en la siguiente iteración, el partido j vuelve a ser elegible para ganar un escaño y vence al partido i .

Además, las versiones con límite de cuota de otros algoritmos frecuentemente violan la cuota real en presencia de errores (por ejemplo, recuentos erróneos del censo). El método de Jefferson frecuentemente viola la cuota real, incluso después de tener un límite de cuota, mientras que el método de Webster y el de Huntington-Hill funcionan bien incluso sin límites de cuota. ^{[ 6 ]}