Teoría K topológica

En matemáticas , la K -teoría topológica es una rama de la topología algebraica . Se fundó para estudiar fibrados vectoriales en espacios topológicos , mediante ideas que hoy se reconocen como K-teoría (general) y que fueron introducidas por Alexander Grothendieck . Los primeros trabajos sobre K -teoría topológica se deben a Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch .

Sea X un espacio compacto de Hausdorff y${\displaystyle k=\mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} }$. Entonces${\displaystyle K_{k}(X)}$se define como el grupo de Grothendieck del monoide conmutativo de clases de isomorfismo de haces k- vectoriales de dimensión finita sobre X bajo la suma de Whitney . El producto tensorial de haces da a la K -teoría una estructura de anillo conmutativo . Sin subíndices,${\displaystyle K(X)}$generalmente denota la teoría K compleja, mientras que la teoría K real a veces se escribe como${\displaystyle KO(X)}$El resto del análisis se centra en la teoría K compleja.

Como primer ejemplo, observe que la K -teoría de un punto son los números enteros. Esto se debe a que los haces vectoriales sobre un punto son triviales y, por lo tanto, se clasifican según su rango, y el grupo de Grothendieck de los números naturales son los números enteros.

También existe una versión reducida de la teoría K ,${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)}$, definido para X un espacio compacto apuntado (cf. homología reducida ). Esta teoría reducida es intuitivamente K ( X ) módulo fibrados triviales . Se define como el grupo de clases de equivalencia estables de fibrados. Se dice que dos fibrados E y F son establemente isomorfos si existen fibrados triviales${\displaystyle \varepsilon _{1}}$y${\displaystyle \varepsilon _{2}}$, de modo que${\displaystyle E\oplus \varepsilon _{1}\cong F\oplus \varepsilon _{2}}$. Esta relación de equivalencia da como resultado un grupo ya que todo fibrado vectorial puede completarse a un fibrado trivial sumándolo con su complemento ortogonal. Alternativamente,${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)}$puede definirse como el núcleo del mapa${\displaystyle K(X)\to K(x_{0})\cong \mathbb {Z} }$inducido por la inclusión del punto base x ₀ en X .

La teoría K forma una teoría de cohomología multiplicativa (generalizada) de la siguiente manera. La secuencia exacta corta de un par de espacios con punto ( X , A )

${\displaystyle {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A)}$

se extiende a una larga secuencia exacta

${\displaystyle \cdots \to {\widetilde {K}}(SX)\to {\widetilde {K}}(SA)\to {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A).}$

Sea S ⁿ la n -ésima suspensión reducida de un espacio y definamos

${\displaystyle {\widetilde {K}}^{-n}(X):={\widetilde {K}}(S^{n}X),\qquad n\geq 0.}$

Se eligen índices negativos para que los mapas de cofrontera aumenten su dimensión.

A menudo resulta útil disponer de una versión no reducida de estos grupos, simplemente definiéndolos:

${\displaystyle K^{-n}(X)={\widetilde {K}}^{-n}(X_{+}).}$

Aquí${\displaystyle X_{+}}$es${\displaystyle X}$con un punto base disjunto etiquetado como '+' adjunto. ^{[ 1 ]}

Finalmente, el teorema de periodicidad de Bott , formulado a continuación, extiende las teorías a los números enteros positivos.

• ${\displaystyle K^{n}}$(respectivamente,${\displaystyle {\widetilde {K}}^{n}}$) es un functor contravariante de la categoría de homotopía de espacios (puntuados) a la categoría de anillos conmutativos. Por lo tanto, por ejemplo, la K -teoría sobre espacios contraíbles es siempre${\displaystyle \mathbb {Z} .}$
• El espectro de la teoría K es${\displaystyle BU\times \mathbb {Z} }$(con la topología discreta en${\displaystyle \mathbb {Z} }$), es decir${\displaystyle K(X)\cong [X_{+},\mathbb {Z} \times BU],}$donde [ , ] denota clases de homotopía apuntadas y BU es el colímite de los espacios de clasificación de los grupos unitarios :${\displaystyle BU(n)\cong \operatorname {Gr} (n,\mathbb {C} ^{\infty }).}$Similarmente,$${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)\cong [X,\mathbb {Z} \times BU].}$$Para la teoría K real , utilice BO .
• Existe un homomorfismo de anillo natural${\displaystyle K^{0}(X)\to H^{2*}(X,\mathbb {Q} ),}$el personaje de Chern , de tal manera que${\displaystyle K^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{2*}(X,\mathbb {Q} )}$es un isomorfismo.
• Las operaciones de Adams son el equivalente de las operaciones de Steenrod en la teoría K. Estas se pueden utilizar para definir clases características en la teoría K topológica .
• El principio de escisión de la teoría K topológica permite reducir las afirmaciones sobre haces vectoriales arbitrarios a afirmaciones sobre sumas de haces de líneas.
• El teorema de isomorfismo de Thom en la teoría topológica K es$${\displaystyle K(X)\cong {\widetilde {K}}(T(E)),}$$donde T ( E ) es el espacio de Thom del fibrado vectorial E sobre X . Esto se cumple siempre que E sea un fibrado espín.
• La secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch permite calcular grupos K a partir de grupos de cohomología ordinarios.
• La teoría K topológica puede generalizarse enormemente a un functor en C*-álgebras , véase la teoría K de operadores y la teoría KK .

El fenómeno de periodicidad que lleva el nombre de Raoul Bott (véase el teorema de periodicidad de Bott ) puede formularse de esta manera:

• ${\displaystyle K(X\times \mathbb {S} ^{2})=K(X)\otimes K(\mathbb {S} ^{2}),}$y${\displaystyle K(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2}}$donde H es la clase del fibrado tautológico en${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ),}$es decir, la esfera de Riemann .
• ${\displaystyle {\widetilde {K}}^{n+2}(X)={\widetilde {K}}^{n}(X).}$
• ${\displaystyle \Omega ^{2}BU\cong BU\times \mathbb {Z} .}$

En la teoría K real existe una periodicidad similar, pero módulo 8.

La teoría topológica K se ha aplicado en la demostración de John Frank Adams del problema del “ invariante de Hopf uno” mediante operaciones de Adams . ^{[ 2 ]} Adams también demostró una cota superior para el número de campos vectoriales linealmente independientes en esferas . ^{[ 3 ]}

Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch demostraron un teorema que relaciona la teoría topológica K de un complejo CW finito.${\displaystyle X}$con su cohomología racional. En particular, demostraron que existe un homomorfismo

${\displaystyle ch:K_{\text{top}}^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )}$

de tal manera que

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{top}}^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k}(X;\mathbb {Q} )\\K_{\text{top}}^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k+1}(X;\mathbb {Q} )\end{aligned}}}$

Existe un análogo algebraico que relaciona el grupo de Grothendieck de haces coherentes y el anillo de Chow de una variedad proyectiva lisa.${\displaystyle X}$.

• Secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch (herramienta computacional para encontrar grupos de la teoría K)
• Teoría KR
• Teorema del índice de Atiyah-Singer
• Teorema de Snaith
• Teoría K algebraica

• Atiyah, Michael Francis (1989). Teoría K. Clásicos avanzados (2.ª  ed.). Addison-Wesley . ISBN 978-0-201-09394-0. MR 1043170 . 
• Friedlander, Eric ; Grayson, Daniel, eds. (2005). Manual de la teoría K. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-540-27855-9 . ISBN 978-3-540-30436-4. MR 2182598 . 
• Karoubi, Max (1978). Teoría K: una introducción . Clásicos en Matemáticas. Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-3-540-79890-3 . ISBN 0-387-08090-2.
• Karoubi, Max (2006). "Teoría K. Una introducción elemental". arXiv : math/0602082 .
• Hatcher, Allen (2003). "Fibrados vectoriales y teoría K" .
• Stykow, Maxim (2013). "Conexiones de la teoría K con la geometría y la topología" .