Cifras de Gosset-Elte

En geometría , las figuras de Gosset-Elte , llamadas así por Coxeter en honor a Thorold Gosset y EL Elte , son un grupo de politopos uniformes que no son regulares , generados por una construcción de Wythoff con espejos todos relacionados por ángulos diedros de orden 2 y orden 3. Pueden verse como diagramas de Coxeter-Dynkin con un anillo en un extremo .

El símbolo de Coxeter para estas figuras tiene la forma k _i,j , donde cada letra representa una longitud de ramas de orden 3 en un diagrama de Coxeter-Dynkin con un solo anillo en el nodo final de una secuencia de ramas de longitud k . La figura del vértice de k _i,j es ( k  − 1) _i,j , y cada una de sus facetas se representa restando uno de uno de los subíndices distintos de cero, es decir, k _{i  − 1, j} y k _{i , j  − 1} . ^[1]

Los símplices rectificados se incluyen en la lista como casos límite con k = 0. De manera similar, 0 _i,j,k representa un grafo bifurcado con un nodo central anillado.

Coxeter nombró estas figuras como k _i,j (o k _ij ) en forma abreviada y dio crédito de su descubrimiento a Gosset y Elte: ^[2]

• Thorold Gosset publicó por primera vez una lista de figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones ^[3] en 1900, enumerando politopos con uno o más tipos de caras de politopo regulares . Esto incluía el teselado infinito 5-celda 0 ₂₁ en el espacio 4, el demipenteracto 1 ₂₁ en el espacio 5, el 2 ₂₁ en el espacio 6, el 3 ₂₁ en el espacio 7, el 4 ₂₁ en el espacio 8 y el teselado infinito 5 ₂₁ en el espacio 8.
• EL Elte enumeró de forma independiente una lista semirregular diferente en su libro de 1912, The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces . ^[4] Los llamó politopos semirregulares del primer tipo , limitando su búsqueda a uno o dos tipos de k-caras regulares o semirregulares.

La enumeración de Elte incluyó todos los politopos k _ij excepto el 1 ₄₂ que tiene 3 tipos de 6 caras.

El conjunto de figuras se extiende a panales de las familias (2,2,2), (3,3,1) y (5,4,1) en espacios euclidianos de 6, 7 y 8 dimensiones respectivamente. La lista de Gosset incluyó el panal 5 ₂₁ como el único semirregular en su definición.

Los politopos y panales de esta familia se pueden ver dentro de la clasificación ADE .

Existe un politopo finito k _{ij si}

${\displaystyle {\frac {1}{i+1}}+{\frac {1}{j+1}}+{\frac {1}{k+1}}>1}$

o igual para panales euclidianos, y menor para panales hiperbólicos.

El grupo de Coxeter [3 ^i,j,k ] puede generar hasta 3 figuras de Gosset-Elte uniformes únicas con diagramas de Coxeter-Dynkin con un nodo final anillado. Según la notación de Coxeter , cada figura se representa por k _ij para indicar que el nodo final de la secuencia de longitud k está anillado.

La familia simplex puede verse como un caso límite con k = 0 y todos los diagramas de Coxeter-Dynkin rectificados (de anillo único).

La familia de n - símplices contiene figuras de Gosset-Elte de la forma 0 _ij como todas las formas rectificadas del n -símplice ( i  +  j  =  n  − 1).

Se enumeran a continuación, junto con su diagrama de Coxeter-Dynkin , con cada familia dimensional dibujada como una proyección ortogonal gráfica en el plano del polígono de Petrie del símplex regular.

Cada grupo D _n tiene dos figuras de Gosset-Elte, el n - semihipercubo como 1 _k1 , y una forma alternada del n - ortoplex , k ₁₁ , construida con facetas símplex alternadas. Los n - semihipercubos rectificados , una forma de simetría inferior de un n -cubo birectificado, también se pueden representar como 0 _k11 .

Cada grupo E _n de 4 a 8 tiene dos o tres figuras de Gosset-Elte, representadas por uno de los nodos finales anillados: k ₂₁ , 1 _k2 , 2 _k1 . Una serie rectificada de 1 _k2 también se puede representar como 0 _k21 .

Hay tres grupos de Coxeter euclidianos ( afines ) en las dimensiones 6, 7 y 8: ^[5]

Hay tres grupos de Coxeter hiperbólicos ( paracompactos ) en dimensiones 7, 8 y 9:

Como generalización, también se pueden expresar más ramas de orden 3 con este símbolo. El grupo de Coxeter afín de 4 dimensiones , , [3 ^1,1,1,1 ], tiene cuatro ramas de orden 3 y puede expresar un panal, 1 ₁₁₁ ,${\displaystyle {\tilde {Q}}_{4}}$, representa una forma de simetría inferior del panal de 16 celdas , y 0 ₁₁₁₁ ,para el panal rectificado de 16 celdas . El grupo hiperbólico de Coxeter de 5 dimensiones , [3 ^1,1,1,1,1 ], tiene cinco ramas de orden 3 y puede expresar un panal, 1 ₁₁₁₁ ,${\displaystyle {\bar {L}}_{4}}$y su rectificación como 0 ₁₁₁₁₁ ,.

• Gosset, Thorold (1900). "Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones". Messenger of Mathematics . 29 : 43–48.
• Elte, EL (1912), Los politopos semirregulares de los hiperespacios , Groningen: Universidad de Groningen, ISBN 1-4181-7968-X[1] [2]
• Coxeter, HSM (3.ª edición, 1973) Politopos regulares , edición Dover, ISBN 0-486-61480-8 
• Manuscrito de politopos uniformes de Norman Johnson (1991)
  • NW Johnson : La teoría de los politopos uniformes y los panales de abejas , tesis doctoral, Universidad de Toronto, 1966