Álgebra simple central

En la teoría de anillos y áreas relacionadas de las matemáticas, un álgebra simple central ( CSA ) sobre un cuerpo K es un álgebra asociativa K de dimensión finita A que es simple y cuyo centro es exactamente K.

Por ejemplo, los números complejos C forman un CSA sobre sí mismos, pero no sobre los números reales R (el centro de C es todo C , no solo R ). Los cuaterniones H forman un CSA de 4 dimensiones sobre R y, de hecho, representan el único elemento no trivial del grupo de Brauer de los reales (véase más abajo). La dimensionalidad finita es esencial para la definición: por ejemplo, para un cuerpo F de característica 0, el álgebra de Weyl${\displaystyle F[X,\partial _{X}]}$es un álgebra simple con centro F , pero no es un álgebra simple central sobre F ya que tiene dimensión infinita como F -módulo.

Según el teorema de Artin-Wedderburn , un álgebra simple de dimensión finita A es isomorfa al álgebra matricial M ( n , S ) para algún anillo de división S. Dadas dos álgebras simples centrales A ~ M ( n , S ) y B ~ M ( m , T ) sobre el mismo cuerpo F , A y B se denominan similares (o equivalentes de Brauer ) si sus anillos de división S y T son isomorfos. El conjunto de todas las clases de equivalencia de álgebras simples centrales sobre un cuerpo F dado , bajo esta relación de equivalencia, puede equiparse con una operación de grupo dada por el producto tensorial de álgebras . El grupo resultante se denomina grupo ^de Brauer Br( F ) del cuerpo F. ^{[ 1} ] Siempre es un grupo de torsión . ^{[ 2 ]}

• Según el teorema de Artin-Wedderburn, un álgebra simple de dimensión finita A es isomorfa al álgebra matricial M ( n , S ) para algún anillo de división S. Por lo tanto, existe un álgebra de división única en cada clase de equivalencia de Brauer. ^{[ 3 ]}
• Todo automorfismo de un álgebra simple central es un automorfismo interno (esto se deduce del teorema de Skolem-Noether ).
• La dimensión de un álgebra simple central como espacio vectorial sobre su centro es siempre un cuadrado: el grado es la raíz cuadrada de esta dimensión. ^{[ 4 ]} El índice de Schur de un álgebra simple central es el grado del álgebra de división equivalente: ^{[ 5 ]} depende únicamente de la clase de Brauer del álgebra. ^{[ 6 ]}
• El período o exponente de un álgebra simple central es el orden de su clase de Brauer como elemento del grupo de Brauer. Es un divisor del índice, ^{[ 7 ]} y ambos números están compuestos por los mismos factores primos. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}
• Si S es una subálgebra simple de un álgebra simple central A , entonces dim _F S divide a dim _F A.  
• Toda álgebra simple central de 4 dimensiones sobre un cuerpo F es isomorfa a un álgebra de cuaterniones ; de hecho, es un álgebra de matrices de dos por dos o un álgebra de división .
• Si D es un álgebra de división central sobre K para la cual el índice tiene factorización prima

${\displaystyle \mathrm {ind} (D)=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{m_{i}}\ }$

entonces D tiene una descomposición de producto tensorial

${\displaystyle D=\bigotimes _{i=1}^{r}D_{i}\ }$

donde cada componente D _i es un álgebra de división central de índice${\displaystyle p_{i}^{m_{i}}}$y los componentes están determinados de forma única salvo isomorfismo. ^{[ 11 ]}

Llamamos campo E campo de descomposición para A sobre K si A ⊗ E es isomorfo a un anillo de matrices sobre E. Todo CSA de dimensión finita tiene un campo de descomposición: de hecho, en el caso de que A sea un álgebra de división, entonces un subcampo maximal de A es un campo de descomposición. En general, por los teoremas de Wedderburn y Koethe, existe un campo de descomposición que es una extensión separable de K de grado igual al índice de A , y este campo de descomposición es isomorfo a un subcampo de A. [ ^{12 ] [ 13 ]} Como ejemplo, el campo C descompone el álgebra de ^cuaterniones H sobre R con

${\displaystyle t+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} \leftrightarrow \left({\begin{array}{*{20}c}t+xi&y+zi\\-y+zi&t-xi\end{array}}\right).}$

Podemos usar la existencia del campo de descomposición para definir la norma reducida y la traza reducida para un CSA A. ^{[ 14} ] Mapea A a un anillo de matrices sobre un campo ^de descomposición y define la norma reducida y la traza como la composición de este mapeo con determinante y traza respectivamente. Por ejemplo, en el álgebra de cuaterniones H , la descomposición anterior muestra que el elemento t + x i + y j + z k tiene norma reducida t ² + x ² + y ² + z ² y traza reducida 2 t .

La norma reducida es multiplicativa y la traza reducida es aditiva. Un elemento a de A es invertible si y solo si su norma reducida es distinta de cero; por lo tanto, un CSA es un álgebra de división si y solo si la norma reducida es distinta de cero en los elementos distintos de cero. ^{[ 15 ]}

Las CSA sobre un cuerpo K son un análogo no conmutativo de los cuerpos de extensión sobre K ; en ambos casos, no tienen ideales bifaciales no triviales y poseen un cuerpo distinguido en su centro, aunque una CSA puede ser no conmutativa y no necesariamente tiene inversos (no necesariamente es un álgebra de división ). Esto es de particular interés en la teoría de números no conmutativos como generalizaciones de cuerpos numéricos (extensiones de los racionales Q ); véase cuerpo numérico no conmutativo .

• Álgebra de Azumaya , generalización de CSA donde el cuerpo base se reemplaza por un anillo local conmutativo.
• variedad Severi-Brauer
• Teorema de Posner

• Cohn, PM (2003). Álgebra avanzada y aplicaciones (2.ª  ed.). Springer. ISBN 1852336676. Zbl 1006.00001 . 
• Jacobson, Nathan (1996). Álgebras de división de dimensión finita sobre cuerpos . Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-57029-2. Zbl 0874.16002 . 
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol.  67. Sociedad Matemática Americana. ISBN 0-8218-1095-2. SEÑOR 2104929 . Zbl 1068.11023 .  
• Lorenz, Falko (2008). Álgebra. Volumen II: Campos con estructura, álgebras y temas avanzados . Springer. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001 .