compuesto politópico

En geometría , un compuesto poliédrico es una figura formada por varios poliedros que comparten un centro común . Son los análogos tridimensionales de compuestos poligonales como el hexagrama .

Los vértices exteriores de un compuesto se pueden conectar para formar un poliedro convexo llamado envoltura convexa . Un compuesto es una faceta de su envoltura convexa.

Otro poliedro convexo se forma a partir del pequeño espacio central común a todos los miembros del compuesto. Este poliedro puede utilizarse como núcleo para un conjunto de estelaciones .

Un compuesto poliédrico regular se define como un compuesto que, al igual que un poliedro regular , es transitivo en vértices , transitivo en aristas y transitivo en caras . A diferencia del caso de los poliedros, esto no equivale a que el grupo de simetría actúe transitivamente sobre sus banderas ; el compuesto de dos tetraedros es el único compuesto regular con esa propiedad. Existen cinco compuestos regulares de poliedros:

El compuesto más conocido es el formado por dos tetraedros regulares , a menudo llamado stella octangula , nombre que le dio Kepler . Los vértices de los dos tetraedros definen un cubo , y la intersección de ambos define un octaedro regular , que comparte los mismos planos de caras que el compuesto. Por lo tanto, el compuesto de dos tetraedros es una estelación del octaedro y, de hecho, la única estelación finita del mismo.

El compuesto regular de cinco tetraedros se presenta en dos versiones enantiomórficas , que juntas forman el compuesto regular de diez tetraedros. ^{[ 1 ]} El compuesto regular de diez tetraedros también puede considerarse como un compuesto de cinco estelas octangulas. ^{[ 1 ]}

Cada uno de los compuestos tetraédricos regulares es autodual o dual a su gemelo quiral; el compuesto regular de cinco cubos y el compuesto regular de cinco octaedros son duales entre sí.

Por lo tanto, los compuestos poliédricos regulares también pueden considerarse compuestos dualmente regulares .

La notación de Coxeter para compuestos regulares se da en la tabla anterior, incorporando los símbolos de Schläfli . El material dentro de los corchetes, [ d { p , q }], denota los componentes del compuesto: d { p , q } separados . El material antes de los corchetes denota la disposición de los vértices del compuesto: c { m , n }[ d { p , q }] es un compuesto de d { p , q } que comparten los vértices de { m , n } contados c veces. El material después de los corchetes denota la disposición de las caras del compuesto: [ d { p , q }] e { s , t } es un compuesto de d { p , q } que comparten las caras de { s , t } contadas e veces. Estos se pueden combinar: así , c { m , n }[ d { p , q }] e { s , t } es un compuesto de d { p , q } que comparten los vértices de { m , n } contados c veces y las caras de { s , t } contadas e veces. Esta notación se puede generalizar a compuestos en cualquier número de dimensiones. ^{[ 2 ]}

Tetraedro truncado (claro) y tetraedro triakis (oscuro)

Cubo truncado (claro) e icositetraedro pentagonal (oscuro)

Icosidodecaedro (claro) y triacontaedro rómbico (oscuro)

Compuestos duales de sólidos arquimedianos y catalanes

Un compuesto dual está formado por un poliedro y su dual, dispuestos recíprocamente alrededor de una esfera media común , de manera que la arista de un poliedro interseca la arista dual del poliedro dual. Existen cinco compuestos duales de los poliedros regulares.

El núcleo es la rectificación de ambos sólidos. La envoltura es el dual de esta rectificación, y sus caras rómbicas tienen como diagonales las aristas que se intersecan en ambos sólidos (y sus cuatro vértices alternos). Para los sólidos convexos, esta es la envoltura convexa .

El tetraedro es autodual, por lo que el compuesto dual de un tetraedro con su dual es el octaedro estrellado regular .

Los compuestos duales octaédricos e icosaédricos son las primeras estelaciones del cuboctaedro y del icosidodecaedro , respectivamente.

El compuesto dual dodecaédrico estrellado pequeño (o dodecaédrico grande) tiene el dodecaedro grande completamente dentro del dodecaedro estrellado pequeño. ^{[ 3 ]}

En 1976, John Skilling publicó Uniform Compounds of Uniform Polyhedra , donde enumeró 75 compuestos (incluidos 6 conjuntos prismáticos infinitos de compuestos, del 20 al 25) formados por poliedros uniformes con simetría rotacional. (Cada vértice es transitivo con respecto a los demás vértices). Esta lista incluye los cinco compuestos regulares mencionados anteriormente.

Los 75 compuestos uniformes se enumeran en la tabla siguiente. La mayoría se muestran con un color diferente según el elemento de cada poliedro. Algunos pares quirales de grupos de caras están coloreados según la simetría de las caras dentro de cada poliedro.

• 1-19: Miscelánea (4, 5, 6, 9, 17 son los 5 compuestos regulares )

• 20-25: Simetría prismática incrustada en simetría prismática ,

• 26-45: Simetría prismática incrustada en simetría octaédrica o icosaédrica ,

• 46-67: Simetría tetraédrica incrustada en simetría octaédrica o icosaédrica,

• 68-75: pares de enantiómeros

• Compuesto de tres octaedros
• Compuesto de cuatro cubos

Dos poliedros compuestos cuyos elementos están rígidamente unidos son el icosidodecaedro complejo pequeño (compuesto por un icosaedro y un dodecaedro grande ) y el icosidodecaedro complejo grande (compuesto por un dodecaedro estrellado pequeño y un icosaedro grande ). Si se generaliza la definición de poliedro uniforme , estos son uniformes.

La sección de pares de enantiomorfos en la lista de Skilling no contiene el compuesto de dos dodecicosidodecaedros grandes truncados , ya que las caras del pentagrama coincidirían. Al eliminar las caras coincidentes, se obtiene el compuesto de veinte octaedros .

En 4 dimensiones, existe un gran número de compuestos regulares de politopos regulares. Coxeter enumera algunos de ellos en su libro Regular Polytopes . ^{[ 4 ]} McMullen añadió seis en su artículo New Regular Compounds of 4-Polytopes . ^{[ 5 ]}

Autodualidades:

Pares dobles:

Compuestos uniformes y duales con 4-politopos convexos:

El superíndice (var) en las tablas anteriores indica que los compuestos etiquetados son distintos de los demás compuestos con el mismo número de constituyentes.

En términos de teoría de grupos , si G es el grupo de simetría de un compuesto poliédrico, y el grupo actúa transitivamente sobre los poliedros (de modo que cada poliedro puede enviarse a cualquiera de los otros, como en los compuestos uniformes), entonces si H es el estabilizador de un único poliedro elegido, los poliedros pueden identificarse con el espacio orbital G / H ; la clase lateral gH corresponde a qué poliedro g envía el poliedro elegido.

Existen dieciocho familias de dos parámetros de teselaciones compuestas regulares en el plano euclidiano. En el plano hiperbólico, se conocen cinco familias de un parámetro y diecisiete casos aislados, pero no se ha determinado la exhaustividad de esta lista.

Las familias compuestas euclidianas e hiperbólicas 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p un entero) son análogas a la stella octangula esférica , 2 {3,3}.

Una familia conocida de estructuras euclidianas compuestas regulares en cualquier número de dimensiones es una familia infinita de compuestos de estructuras hipercúbicas , que comparten vértices y caras con otro compuesto hipercúbico. Este compuesto puede tener cualquier número de estructuras hipercúbicas.

También existen compuestos de teselado dual-regular . Un ejemplo sencillo es el compuesto E2 de un ^teselado hexagonal y su teselado triangular dual , que comparte sus aristas con el teselado trihexagonal deltoidal . Los compuestos euclidianos de dos panales hipercúbicos son tanto regulares como dual-regulares.

• Lista de compuestos politópicos regulares

• MathWorld: Poliedro compuesto
• Poliedros compuestos – de Poliedros de Realidad Virtual
  • Compuestos uniformes de poliedros uniformes
• Los 75 compuestos uniformes de poliedros uniformes de Skilling
• Compuestos uniformes de poliedros uniformes de Skilling
• Compuestos poliédricos
• http://users.skynet.be/polyhedra.fleurent/Compounds_2/Compounds_2.htm
• Dodecaedro estrellado pequeño y dodecaedro grande {5/2,5}+{5,5/2}
• Klitzing, Richard. "Polítopos compuestos" .

• Skilling, John (1976), "Uniform Compounds of Uniform Polyhedra", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 79 (3): 447– 457, Bibcode : 1976MPCPS..79..447S , doi : 10.1017/S0305004100052440 , MR 0397554 , S2CID 123279687  .
• Cromwell, Peter R. (1997), Poliedros , Cambridge{{citation}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace ) .
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• Harman, Michael G. (1974), Compuestos poliédricos , manuscrito inédito.
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• Pacioli, Luca (1509), De Divina Proportione.
• Politopos regulares , (3.ª edición, 1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8
• Anthony Pugh (1976). Poliedros: Un enfoque visual . California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.pág.  87 Cinco compuestos regulares
• McMullen, Peter (2018), "Nuevos compuestos regulares de 4-politopos", Nuevas tendencias en geometría intuitiva , Bolyai Society Mathematical Studies, vol.  27, pp. 307–320 , doi : 10.1007/978-3-662-57413-3_12 , ISBN  978-3-662-57412-6.