Resonancia

Consideremos una masa amortiguada unida a un resorte impulsada por una fuerza sinusoidal aplicada externamente. La segunda ley de Newton toma la forma

donde m es la masa, x es el desplazamiento de la masa desde el punto de equilibrio, F ₀ es la amplitud de excitación, ω es la frecuencia angular de excitación, k es la constante elástica y c es el coeficiente de amortiguación viscosa. Esto se puede reescribir en la forma

dónde

• ${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}}$se denomina frecuencia angular no amortiguada del oscilador o frecuencia natural ,
• ${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {mk}}}}}$se denomina coeficiente de amortiguación .

Muchas fuentes también se refieren a ω₀ como la frecuencia de resonancia . Sin embargo, como se muestra a continuación, al analizar las oscilaciones del desplazamiento x ( t ), la frecuencia de resonancia es cercana a ω₀ , pero no idéntica . En general _{, la frecuencia de resonancia es cercana a la frecuencia natural ,} pero no necesariamente igual. ^{[ 14 ]} El ejemplo del circuito RLC en la siguiente sección ofrece ejemplos de diferentes frecuencias de resonancia para el mismo sistema.

La solución general de la ecuación ( 2 ) es la suma de una solución transitoria que depende de las condiciones iniciales y una _solución de estado estacionario que es independiente de las condiciones iniciales y depende únicamente de la amplitud de excitación F₀ , la frecuencia de excitación ω , la frecuencia angular no amortiguada ω₀ y el coeficiente de amortiguación ζ . La solución transitoria decae en un tiempo relativamente corto, por lo que para estudiar la resonancia basta con considerar la solución de estado estacionario _.

Es posible escribir la solución de estado estacionario para x ( t ) como una función proporcional a la fuerza impulsora con un cambio de fase inducido, φ .

dónde${\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {2\omega \omega _{0}\zeta }{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\right)+n\pi .}$

El valor de fase generalmente se considera entre -180° y 0, por lo que representa un desfase tanto para valores positivos como negativos del argumento arcotangente.

La resonancia se produce cuando, a ciertas frecuencias de excitación, la amplitud en estado estacionario de x ( t ) es grande en comparación con su amplitud a otras frecuencias de excitación. Para una masa unida a un resorte, la resonancia corresponde físicamente a oscilaciones de la masa con grandes desplazamientos de la posición de equilibrio del resorte a ciertas frecuencias de excitación. Si observamos la amplitud de x ( t ) en función de la frecuencia de excitación ω , la amplitud es máxima en la frecuencia de excitación. $${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}.}$$

ω _r es la frecuencia de resonancia de este sistema. Cabe destacar que la frecuencia de resonancia no es igual a la frecuencia angular no amortiguada ω ₀ del oscilador. Son proporcionales, y si el coeficiente de amortiguación tiende a cero, son iguales; sin embargo, para un amortiguamiento distinto de cero, no coinciden. Como se muestra en la figura, la resonancia también puede ocurrir en otras frecuencias cercanas a la frecuencia de resonancia, incluyendo ω ₀ , pero la respuesta máxima se produce en la frecuencia de resonancia.

Además, ω _r solo es real y distinto de cero si${\textstyle \zeta <1/{\sqrt {2}}}$Por lo tanto, este sistema solo puede resonar cuando el oscilador armónico está significativamente subamortiguado. Para sistemas con un coeficiente de amortiguación muy pequeño y una frecuencia de excitación cercana a la frecuencia de resonancia, las oscilaciones en estado estacionario pueden volverse muy grandes.

El péndulo

Para otros osciladores armónicos amortiguados y forzados cuyas ecuaciones de movimiento no se parecen exactamente al ejemplo de la masa en un resorte, la frecuencia de resonancia permanece $${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}},}$$ pero las definiciones de ω ₀ y ζ cambian según la física del sistema. Para un péndulo de longitud ℓ y un pequeño ángulo de desplazamiento θ , la ecuación ( 1 ) se convierte en $${\displaystyle m\ell {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}=F_{0}\sin(\omega t)-mg\theta -c\ell {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}}$$

y por lo tanto

• ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{\ell }}},}$
• ${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{2m}}{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}.}$

Consideremos un circuito formado por una resistencia R , un inductor L y un condensador C conectados en serie con corriente i ( t ) y alimentados por una fuente de tensión v _in ( t ). La caída de tensión en el circuito es

En lugar de analizar una solución candidata a esta ecuación como en el ejemplo de masa en un resorte anterior, esta sección analizará la respuesta en frecuencia de este circuito. Tomando la transformada de Laplace de la ecuación ( 4 ), $${\displaystyle sLI(s)+RI(s)+{\frac {1}{sC}}I(s)=V_{\text{in}}(s),}$$ donde I ( s ) y V _in ( s ) son la transformada de Laplace de la corriente y la tensión de entrada, respectivamente, y s es un parámetro de frecuencia compleja en el dominio de Laplace. Reordenando los términos, $${\displaystyle I(s)={\frac {s}{s^{2}L+Rs+{\frac {1}{C}}}}V_{\text{in}}(s).}$$

Voltaje a través del condensador

Un circuito RLC en serie presenta varias opciones para medir un voltaje de salida. Supongamos que el voltaje de salida de interés es la caída de voltaje a través del condensador. Como se muestra arriba, en el dominio de Laplace este voltaje es $${\displaystyle V_{\text{out}}(s)={\frac {1}{sC}}I(s)}$$ o $${\displaystyle V_{\text{out}}={\frac {1}{LC(s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}})}}V_{\text{in}}(s).}$$

Defina para este circuito una frecuencia natural y un coeficiente de amortiguación, $${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},}$$$${\displaystyle \zeta ={\frac {R}{2}}{\sqrt {\frac {C}{L}}}.}$$

La relación entre el voltaje de salida y el voltaje de entrada se convierte en $${\displaystyle H(s)\triangleq {\frac {V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)}}={\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}}$$

H ( s ) es la función de transferencia entre la tensión de entrada y la tensión de salida. Esta función de transferencia tiene dos polos –raíces del polinomio en el denominador de la función de transferencia– en

y ninguna raíz del polinomio en el numerador de la función de transferencia. Además, para${\displaystyle \zeta \leq 1}$, la magnitud de estos polos es la frecuencia natural ω ₀ y la de${\displaystyle \zeta <1/{\sqrt {2}}}$, nuestra condición para la resonancia en el ejemplo del oscilador armónico, los polos están más cerca del eje imaginario que del eje real.

Evaluando H ( s ) a lo largo del eje imaginario s = iω , la función de transferencia describe la respuesta en frecuencia de este circuito. De manera equivalente, la respuesta en frecuencia puede analizarse tomando la transformada de Fourier de la ecuación ( 4 ) en lugar de la transformada de Laplace. La función de transferencia, que también es compleja, puede escribirse como una ganancia y una fase, $${\displaystyle H(i\omega )=G(\omega )e^{i\Phi (\omega )}.}$$

Una tensión de entrada sinusoidal a frecuencia ω produce una tensión de salida a la misma frecuencia escalada por G ( ω ) y con un desfase Φ ( ω ). La ganancia y la fase se pueden representar gráficamente en función de la frecuencia en un diagrama de Bode . Para la tensión del condensador del circuito RLC, la ganancia de la función de transferencia H ( iω ) es

Nótese la similitud entre la ganancia aquí y la amplitud en la ecuación ( 3 ). Una vez más, la ganancia se maximiza en la frecuencia de resonancia.$${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}.}$$

En este caso, la resonancia corresponde físicamente a tener una amplitud relativamente grande para las oscilaciones en estado estacionario del voltaje a través del condensador en comparación con su amplitud a otras frecuencias de excitación.

A continuación, consideremos un sistema lineal arbitrario con múltiples entradas y salidas. Por ejemplo, en la representación en espacio de estados, un sistema lineal invariante en el tiempo de tercer orden con tres entradas y dos salidas podría escribirse como: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\\{\dot {x}}_{3}\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\x_{3}(t)\end{bmatrix}}+B{\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\u_{3}(t)\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}(t)\\y_{2}(t)\end{bmatrix}}=C{\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\x_{3}(t)\end{bmatrix}}+D{\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\u_{3}(t)\end{bmatrix}},}$$ donde u _i ( t ) son las entradas, x _i (t) son las variables de estado, y _i ( t ) son las salidas, y A , B , C , y D son matrices que describen la dinámica entre las variables.

Este sistema tiene una matriz de función de transferencia cuyos elementos son las funciones de transferencia entre las distintas entradas y salidas. Por ejemplo, $${\displaystyle {\begin{bmatrix}Y_{1}(s)\\Y_{2}(s)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}H_{11}(s)&H_{12}(s)&H_{13}(s)\\H_{21}(s)&H_{22}(s)&H_{23}(s)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}(s)\\U_{2}(s)\\U_{3}(s)\end{bmatrix}}.}$$

Cada H _ij ( s ) es una función de transferencia escalar que relaciona una de las entradas con una de las salidas. Los ejemplos de circuitos RLC anteriores tenían una tensión de entrada y mostraban cuatro posibles tensiones de salida: a través del condensador, a través del inductor, a través de la resistencia y a través del condensador y el inductor combinados en serie; cada una con su propia función de transferencia. Si el circuito RLC se configurara para medir estas cuatro tensiones de salida, ese sistema tendría una matriz de funciones de transferencia de 4×1 que relaciona la única entrada con cada una de las cuatro salidas.

Evaluado a lo largo del eje imaginario, cada H _ij ( iω ) puede escribirse como una ganancia y un desplazamiento de fase, $${\displaystyle H_{ij}(i\omega )=G_{ij}(\omega )e^{i\Phi _{ij}(\omega )}.}$$

Los picos de ganancia en ciertas frecuencias corresponden a resonancias entre la entrada y la salida de esa función de transferencia, suponiendo que el sistema sea estable .

Cada función de transferencia H _ij ( s ) también puede escribirse como una fracción cuyo numerador y denominador son polinomios de s . $${\displaystyle H_{ij}(s)={\frac {N_{ij}(s)}{D_{ij}(s)}}.}$$

Las raíces complejas del numerador se denominan ceros, y las raíces complejas del denominador se denominan polos. Para un sistema estable, las posiciones de estos polos y ceros en el plano complejo indican si el sistema puede resonar o antirresonar y a qué frecuencias. En particular, cualquier par de polos complejos conjugados, estables o marginalmente estables , con componentes imaginarias, puede expresarse en términos de una frecuencia natural y un coeficiente de amortiguación como: $${\displaystyle s=-\zeta \omega _{0}\pm i\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},}$$ como en la ecuación ( 5 ). La frecuencia natural ω₀ de ese polo es la magnitud de la posición del polo en el plano complejo y el coeficiente de amortiguación de ese polo determina la rapidez con que decae esa oscilación. En general _, ^{[ 14 ]}

• Los pares de polos complejos conjugados cercanos al eje imaginario corresponden a un pico o resonancia en la respuesta en frecuencia en las proximidades de la frecuencia natural del polo. Si el par de polos se encuentra sobre el eje imaginario, la ganancia es infinita a esa frecuencia.
• Los pares de ceros complejos conjugados cercanos al eje imaginario corresponden a una muesca o antirresonancia en la respuesta en frecuencia en las proximidades de la frecuencia del cero, es decir, la frecuencia igual a la magnitud del cero. Si el par de ceros se encuentra sobre el eje imaginario, la ganancia es cero en esa frecuencia.

En el ejemplo del circuito RLC, la primera generalización que relaciona los polos con la resonancia se observa en la ecuación ( 5 ). La segunda generalización que relaciona los ceros con la antirresonancia se observa en la ecuación ( 7 ). En los ejemplos del oscilador armónico, la tensión del condensador del circuito RLC y la tensión del inductor del circuito RLC, "polos cerca del eje imaginario" corresponde a la condición significativamente subamortiguada ζ < 1/${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.

Cuando se excita una cuerda de longitud fija a una frecuencia determinada, se genera una onda que se propaga a lo largo de la cuerda con la misma frecuencia. Las ondas se reflejan en los extremos de la cuerda y, finalmente, se alcanza un estado estacionario con ondas que viajan en ambas direcciones. La forma de onda es la superposición de las ondas. ^{[ 15 ]}

A ciertas frecuencias, la forma de onda en estado estacionario no parece propagarse a lo largo de la cuerda. En posiciones fijas llamadas nodos , la cuerda nunca se desplaza . Entre los nodos, la cuerda oscila y exactamente a la mitad entre los nodos, en posiciones llamadas antinodos, donde las oscilaciones alcanzan su máxima amplitud. ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

Para una cadena de longitud${\displaystyle L}$con extremos fijos, el desplazamiento${\displaystyle y(x,t)}$de la cuerda perpendicular a la${\displaystyle x}$-eje en el tiempo${\displaystyle t}$es ^{[ 15 ]}$${\displaystyle y(x,t)=2y_{\text{max}}\sin(kx)\cos(2\pi ft),}$$

dónde

• ${\displaystyle y_{\text{max}}}$es la amplitud de las ondas que viajan hacia la izquierda y hacia la derecha que interfieren para formar la onda estacionaria,
• ${\displaystyle k}$es el número de onda ,
• ${\displaystyle f}$es la frecuencia .

Las frecuencias que resuenan y forman ondas estacionarias se relacionan con la longitud de la cuerda como ^{[ 19 ] [ 17 ].}$${\displaystyle f={\frac {nv}{2L}},}$$$${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$$

dónde${\displaystyle v}$es la velocidad de la onda y el número entero${\displaystyle n}$denota diferentes modos o armónicos . La onda estacionaria con n = 1 oscila a la frecuencia fundamental y tiene una longitud de onda que es el doble de la longitud de la cuerda. Los posibles modos de oscilación forman una serie armónica . ^{[ 19 ]}

La resonancia mecánica es la tendencia de un sistema mecánico a absorber más energía cuando la frecuencia de sus oscilaciones coincide con su frecuencia de vibración natural que en otras frecuencias. Puede provocar movimientos de balanceo violentos e incluso fallas catastróficas en estructuras mal construidas, como puentes, edificios, trenes y aeronaves. Al diseñar objetos, los ingenieros deben asegurarse de que las frecuencias de resonancia mecánica de los componentes no coincidan con las frecuencias de vibración de los motores u otras partes oscilantes, un fenómeno conocido como desastre por resonancia .

Evitar desastres por resonancia es una preocupación fundamental en cualquier proyecto de construcción de edificios, torres y puentes . Como medida preventiva, se pueden instalar amortiguadores de impacto para absorber las frecuencias resonantes y, por lo tanto, disipar la energía absorbida. El edificio Taipei 101 utiliza un péndulo de 660 toneladas (730 toneladas cortas) , un amortiguador de masa sintonizado , para cancelar la resonancia. Además, la estructura está diseñada para resonar a una frecuencia que no suele producirse. Los edificios en zonas sísmicas a menudo se construyen teniendo en cuenta las frecuencias oscilantes del movimiento sísmico previsto . Asimismo, los ingenieros que diseñan objetos con motores deben asegurarse de que las frecuencias de resonancia mecánica de los componentes no coincidan con las frecuencias de vibración de los motores u otras partes que oscilan fuertemente.

Los relojes marcan la hora mediante resonancia mecánica en un volante , un péndulo o un cristal de cuarzo .

Se ha planteado la hipótesis de que la cadencia de los corredores es energéticamente favorable debido a la resonancia entre la energía elástica almacenada en la extremidad inferior y la masa del corredor. ^{[ 20 ]}

La resonancia acústica es una rama de la resonancia mecánica que se ocupa de las vibraciones mecánicas en el rango de frecuencias del oído humano, es decir, el sonido . Para los humanos, la audición normalmente se limita a frecuencias entre aproximadamente 20 Hz y 20 000 Hz (20 kHz ) ^{[ 21 ].} Muchos objetos y materiales actúan como resonadores con frecuencias resonantes dentro de este rango y, al ser golpeados, vibran mecánicamente, empujando el aire circundante para crear ondas sonoras. Este es el origen de muchos sonidos de percusión que oímos.   

La resonancia acústica es un factor importante a tener en cuenta para los constructores de instrumentos, ya que la mayoría de los instrumentos acústicos utilizan resonadores , como las cuerdas y la caja de resonancia de un violín , la longitud del tubo de una flauta y la forma y la tensión de la membrana de un tambor.

Al igual que la resonancia mecánica, la resonancia acústica puede provocar la rotura catastrófica del objeto en resonancia. El ejemplo clásico es romper una copa de vino con un sonido a la frecuencia de resonancia precisa del vidrio, aunque esto es difícil en la práctica. ^{[ 22 ]}

La resonancia eléctrica se produce en un circuito eléctrico a una frecuencia de resonancia específica cuando la impedancia del circuito es mínima en un circuito en serie o máxima en un circuito en paralelo (generalmente cuando la función de transferencia alcanza su valor máximo en valor absoluto). La resonancia en los circuitos se utiliza tanto para la transmisión como para la recepción de comunicaciones inalámbricas, como la televisión, los teléfonos móviles y la radio.

Una cavidad óptica , también llamada resonador óptico , es una disposición de espejos que forma un resonador de onda estacionaria para ondas de luz . Las cavidades ópticas son un componente principal de los láseres , ya que rodean el medio de ganancia y proporcionan retroalimentación de la luz láser. También se utilizan en osciladores paramétricos ópticos y algunos interferómetros . La luz confinada en la cavidad se refleja varias veces, produciendo ondas estacionarias para ciertas frecuencias de resonancia. Los patrones de onda estacionaria producidos se denominan "modos". Los modos longitudinales difieren solo en frecuencia, mientras que los modos transversales difieren para diferentes frecuencias y presentan diferentes patrones de intensidad a lo largo de la sección transversal del haz. Los resonadores de anillo y las galerías de susurros son ejemplos de resonadores ópticos que no forman ondas estacionarias.

Los distintos tipos de resonadores se distinguen por las distancias focales de los dos espejos y la distancia entre ellos; los espejos planos no se utilizan con frecuencia debido a la dificultad de alinearlos con precisión. La geometría (tipo de resonador) debe elegirse de manera que el haz permanezca estable, es decir, que su tamaño no aumente con cada reflexión. Los resonadores también se diseñan para cumplir otros criterios, como un diámetro mínimo del haz o la ausencia de un punto focal (y, por lo tanto, de luz intensa en ese punto) dentro de la cavidad.

Las cavidades ópticas están diseñadas para tener un factor Q muy grande . ^{[ 23 ]} Un haz se refleja un gran número de veces con poca atenuación ; por lo tanto, el ancho de línea de frecuencia del haz es pequeño en comparación con la frecuencia del láser.

Otras resonancias ópticas son las resonancias de modo guiado y la resonancia de plasmón superficial , que dan lugar a reflexión anómala y campos evanescentes intensos en resonancia. En este caso, los modos resonantes son modos guiados de una guía de ondas o modos de plasmón superficial de una interfaz dieléctrica-metálica. Estos modos suelen excitarse mediante una rejilla sublongitudinal.

En mecánica celeste , una resonancia orbital ocurre cuando dos cuerpos en órbita ejercen una influencia gravitacional regular y periódica entre sí, generalmente debido a que sus períodos orbitales están relacionados por una razón de dos números enteros pequeños. Las resonancias orbitales aumentan considerablemente la influencia gravitacional mutua de los cuerpos. En la mayoría de los casos, esto resulta en una interacción inestable , en la que los cuerpos intercambian momento y cambian sus órbitas hasta que la resonancia deja de existir. Bajo ciertas circunstancias, un sistema resonante puede ser estable y autocorrectivo, de modo que los cuerpos permanecen en resonancia. Ejemplos de ello son la resonancia 1:2:4 de las lunas de Júpiter Ganímedes , Europa e Io , y la resonancia 2:3 entre Plutón y Neptuno . Las resonancias inestables con las lunas interiores de Saturno dan lugar a huecos en los anillos de Saturno . El caso especial de resonancia 1:1 (entre cuerpos con radios orbitales similares) hace que los grandes cuerpos del Sistema Solar despejen el vecindario alrededor de sus órbitas expulsando casi todo lo demás a su alrededor; Este efecto se utiliza en la definición actual de planeta .

La resonancia magnética nuclear (RMN) es un fenómeno de resonancia física que consiste en la observación de propiedades magnéticas cuánticas específicas de un núcleo atómico en presencia de un campo magnético externo aplicado. Numerosas técnicas científicas aprovechan los fenómenos de RMN para estudiar la física molecular , los cristales y los materiales no cristalinos mediante espectroscopia de RMN . La RMN también se utiliza habitualmente en técnicas avanzadas de diagnóstico por imagen médica, como la resonancia magnética (RM).

Todos los núcleos con un número impar de nucleones poseen un momento angular y un momento magnético intrínsecos . Una característica clave de la RMN es que la frecuencia de resonancia de una sustancia es directamente proporcional a la intensidad del campo magnético aplicado. Esta característica se aprovecha en las técnicas de imagen; si una muestra se coloca en un campo magnético no uniforme, las frecuencias de resonancia de sus núcleos dependen de su ubicación dentro del campo. Por lo tanto, la partícula puede localizarse con bastante precisión mediante su frecuencia de resonancia.

La resonancia paramagnética electrónica , también conocida como resonancia de espín electrónico (ESR), es una técnica espectroscópica similar a la RMN, pero que utiliza electrones desapareados. Los materiales a los que se puede aplicar son mucho más limitados, ya que el material debe tener un espín desapareado y ser paramagnético .

El efecto Mössbauer es la emisión y absorción resonante y sin retroceso de fotones de rayos gamma por átomos unidos en forma sólida.

La resonancia en la física de partículas aparece en circunstancias similares a las de la física clásica a nivel de la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos . Las resonancias también pueden considerarse partículas inestables, y la fórmula de la sección de la curva de resonancia universal de este artículo se aplica si Γ es la tasa de desintegración de la partícula y${\displaystyle \omega _{0}}$es la masa de la partícula M. En ese caso, la fórmula proviene del propagador de la partícula , con su masa reemplazada por el número complejo M  + iΓ . La fórmula está además relacionada con la tasa de desintegración de la partícula mediante el teorema óptico .