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ecuación de Richards

La ecuación de Richards representa el movimiento del agua en suelos no saturados y se atribuye a Lorenzo A. Richards, quien la publicó en 1931. [ 1 ] Es una ecuación diferencial...

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La ecuación de Richards representa el movimiento del agua en suelos no saturados y se atribuye a Lorenzo A. Richards, quien la publicó en 1931. [ 1 ] Es una ecuación diferencial parcial cuasilineal ; su solución analítica a menudo se limita a condiciones iniciales y de contorno específicas. [ 2 ] La prueba de la existencia y unicidad de la solución fue dada recién en 1983 por Alt y Luckhaus . [ 3 ] La ecuación se basa en la ley de Darcy-Buckingham [ 1 ] que representa el flujo en medios porosos bajo condiciones de saturación variable, la cual se enuncia como

q→=−K(θ)(∇h+∇z),{\displaystyle {\vec {q}}=-\mathbf {K} (\theta)(\nabla h+\nabla z),}

dónde

q→{\displaystyle {\vec {q}}}es el flujo volumétrico [L/T];
θ{\displaystyle \theta }es el contenido volumétrico de agua [1];
h{\displaystyle h}es la carga de presión del líquido , que es negativa para medios porosos no saturados [L];
K(h){\displaystyle \mathbf {K} (h)}es la conductividad hidráulica no saturada [L/T];
∇z{\displaystyle \nabla z}es el gradiente de carga geodésica, que se supone como∇z=(001){\displaystyle \nabla z=\left({\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}}\right)}para problemas tridimensionales.

La ecuación de Richards se deriva considerando primero la ley de conservación de la masa para un medio poroso incompresible y una densidad de líquido constante, expresada como

∂θ∂t+∇⋅q→+S=0{\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {q}}+S=0},

dónde

S{\displaystyle S}es el término fuente/sumidero [T−1{\displaystyle ^{-1}}], típicamente absorción de agua por las raíces. [ 4 ] Luego, sustituyendo los flujos por la ley de Darcy-Buckingham, se obtiene la siguiente ecuación de Richards de forma mixta:
∂θ∂t=∇⋅K(h)(∇h+∇z)−S{\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {K} (h)(\nabla h+\nabla z)-S}.

Para modelar la infiltración unidimensional, esta forma de divergencia se reduce a

∂θ∂t=∂∂z(K(θ)(∂h∂z+1))−S{\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mathbf {K} (\theta )\left({\frac {\partial h}{\partial z}}+1\right)\right)-S}.

Aunque se le atribuye a LA Richards, la ecuación fue introducida originalmente 9 años antes por Lewis Fry Richardson en 1922. [ 5 ] [ 6 ]

Formulaciones

La ecuación de Richards aparece en numerosos artículos de la literatura ambiental porque describe el flujo en la zona vadosa entre la atmósfera y el acuífero . También aparece en revistas de matemáticas puras porque posee soluciones no triviales. La formulación mixta anterior involucra dos variables desconocidas:θ{\displaystyle \theta }yh{\displaystyle h}Esto se puede resolver fácilmente considerando la relación constitutiva.θ(h){\displaystyle \theta (h)}, que se conoce como la curva de retención de agua . Aplicando la regla de la cadena , la ecuación de Richards puede reformularse como:h{\displaystyle h}-formulario (basado en la cabeza) oθ{\displaystyle \theta }-Forma (basada en la saturación) de la ecuación de Richards.

Basado en la cabeza

Al aplicar la regla de la cadena a la derivada temporal se llega a

∂θ(h)∂t=dθdh∂h∂t{\displaystyle {\frac {\partial \theta (h)}{\partial t}}={\frac {{\textrm {d}}\theta }{{\textrm {d}}h}}{\frac {\partial h}{\partial t}}},

dónde dθdh{\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}\theta }{{\textrm {d}}h}}}se conoce como capacidad de retención de aguado(h){\displaystyle C(h)}La ecuación se expresa entonces como:

do(h)∂h∂t=∇⋅(K(h)∇h+∇z)−S{\displaystyle C(h){\frac {\partial h}{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\mathbf {K} (h)\nabla h+\nabla z\right)-S}.

La ecuación de Richards basada en la cabeza es propensa al siguiente problema computacional: la derivada temporal discretizada utilizando el método implícito de Rothe produce la siguiente aproximación:

ΔθΔt≈do(h)ΔhΔt,y entoncesΔθΔt−do(h)ΔhΔt=ε.{\displaystyle {\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}\approx C(h){\frac {\Delta h}{\Delta t}},\quad {\mbox{y por lo tanto}}\quad {\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}-C(h){\frac {\Delta h}{\Delta t}}=\varepsilon .}

Esta aproximación produce un error.ε{\displaystyle \varepsilon }que afecta la conservación de la masa de la solución numérica, por lo que son necesarias estrategias especiales para el tratamiento de las derivadas temporales. [ 7 ]

Basado en la saturación

Al aplicar la regla de la cadena a la derivada espacial se obtiene

K(h)∇h=K(h)dhdθ∇θ,{\displaystyle \mathbf {K} (h)\nabla h=\mathbf {K} (h){\frac {{\textrm {d}}h}{{\textrm {d}}\theta }}\nabla \theta ,}

dóndeK(h)dhdθ{\displaystyle \mathbf {K} (h){\frac {{\textrm {d}}h}{{\textrm {d}}\theta }}}, que podría formularse además comoK(θ)do(θ){\displaystyle {\frac {\mathbf {K} (\theta )}{C(\theta )}}}, se conoce como difusividad del agua en el sueloD(θ){\displaystyle \mathbf {D} (\theta)}La ecuación se expresa entonces como:

∂θ∂t=∇⋅D(θ)∇θ−S.{\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {D} (\theta )\nabla \theta -S.}

La ecuación de Richards basada en la saturación es propensa a los siguientes problemas computacionales. Dado que los límiteslímiteθ→θs||D(θ)||=∞{\displaystyle \lim _{\theta \to \theta _{s}}||\mathbf {D} (\theta )||=\infty }ylímiteθ→θr||D(θ)||=∞{\displaystyle \lim _{\theta \to \theta _{r}}||\mathbf {D} (\theta )||=\infty }, dóndeθs{\displaystyle \theta _{s}}es el contenido de agua saturada (máximo) yθr{\displaystyle \theta _{r}}es el contenido de agua residual (mínimo) una solución numérica exitosa está restringida solo para rangos de contenido de agua satisfactorios por debajo de la saturación total (la saturación debe ser incluso menor que el valor de entrada de aire ) así como satisfactorios por encima del contenido de agua residual. [ 8 ]

Parametrización

La ecuación de Richards en cualquiera de sus formas involucra propiedades hidráulicas del suelo, que es un conjunto de cinco parámetros que representan el tipo de suelo . Las propiedades hidráulicas del suelo generalmente consisten en parámetros de la curva de retención de agua de van Genuchten: [ 9 ] (α,norte,metro,θs,θr{\displaystyle \alpha ,\,n,\,m,\,\theta _{s},\theta _{r}}), dóndeα{\displaystyle \alpha }es el inverso del valor de entrada de aire [L −1 ],norte{\displaystyle n}es el parámetro de distribución del tamaño de poro [-], ymetro{\displaystyle m}se suele asumir como metro=1−1norte{\displaystyle m=1-{\frac {1}{n}}}Además, la conductividad hidráulica saturadaKs{\displaystyle \mathbf {K} _{s}}(que para un entorno no isotrópico es un tensor de segundo orden) también debe proporcionarse. La identificación de estos parámetros suele ser compleja y ha sido objeto de numerosas publicaciones a lo largo de varias décadas. [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]

Limitaciones

La solución numérica de la ecuación de Richards es uno de los problemas más desafiantes en ciencias de la tierra. [ 16 ] La ecuación de Richards ha sido criticada por ser computacionalmente costosa e impredecible [ 17 ] [ 18 ] porque no hay garantía de que un solucionador converja para un conjunto particular de relaciones constitutivas del suelo. Se requieren soluciones computacionales y de software avanzadas para superar este obstáculo. El método también ha sido criticado por enfatizar demasiado el papel de la capilaridad, [ 19 ] y por ser en algunos aspectos 'demasiado simplista' [ 20 ] En simulaciones unidimensionales de infiltración de lluvia en suelos secos, se requiere una discretización espacial fina menor a un cm cerca de la superficie del terreno, [ 21 ] lo que se debe al pequeño tamaño del volumen elemental representativo para el flujo multifásico en medios porosos. En aplicaciones tridimensionales, la solución numérica de la ecuación de Richards está sujeta a restricciones de relación de aspecto donde la relación de resolución horizontal a vertical en el dominio de la solución debe ser menor a aproximadamente 7.

Referencias

  1. 1 2 Richards, LA (1931). "Conducción capilar de líquidos a través de medios porosos". Física . 1 (5): 318– 333. Bibcode : 1931Physi...1..318R . doi : 10.1063/1.1745010 .
  2. ↑ Tracy, FT (agosto de 2006). "Soluciones analíticas bidimensionales y tridimensionales limpias de la ecuación de Richards para probar solucionadores numéricos: NOTA TÉCNICA" . Water Resources Research . 42 (8). doi : 10.1029/2005WR004638 . S2CID 119938184 . 
  3. ↑ Wilhelm Alt, Hans; Luckhaus, Stephan (1 de septiembre de 1983). "Ecuaciones diferenciales elíptico-parabólicas cuasilineales". Mathematische Zeitschrift . 183 (3): 311– 341. doi : 10.1007/BF01176474 . ISSN 1432-1823 . S2CID 120607569 .  
  4. ↑ Feddes, RA; Zaradny, H. (1 de mayo de 1978). "Modelo para simular el contenido de agua del suelo considerando la evapotranspiración — Comentarios". Journal of Hydrology . 37 (3): 393– 397. Bibcode : 1978JHyd...37..393F . doi : 10.1016/0022-1694(78)90030-6 . ISSN 0022-1694 . 
  5. ↑ Knight, John; Raats, Peter. "Las contribuciones de Lewis Fry Richardson a la teoría del drenaje, la física del suelo y el continuo suelo-planta-atmósfera" (PDF) . Asamblea General de la EGU 2016.
  6. ↑ Richardson, Lewis Fry (1922). Predicción meteorológica mediante procesos numéricos . Cambridge, The University Press. pp. 262 . 
  7. ↑ Celia, Michael A. ; Bouloutas, Efthimios T.; Zarba, Rebecca L. (julio de 1990). "Una solución numérica general conservativa de masa para la ecuación de flujo no saturado" . Water Resources Research . 26 (7): 1483– 1496. Bibcode : 1990WRR....26.1483C . doi : 10.1029/WR026i007p01483 .
  8. ↑ Kuráž, Michal; Mayer, Petr; Lepš, Matěj; Trpkošová, Dagmar (2010-04-15). "Una discretización temporal adaptativa del modelo de porosidad clásico y dual de la ecuación de Richards" . Journal of Computational and Applied Mathematics . Finite Element Methods in Engineering and Science (FEMTEC 2009). 233 (12): 3167– 3177. Bibcode : 2010JCoAM.233.3167K . doi : 10.1016/j.cam.2009.11.056 . ISSN 0377-0427 . 
  9. ↑ van Genuchten, M. Th. (septiembre de 1980). "Una ecuación de forma cerrada para predecir la conductividad hidráulica de suelos no saturados" . Soil Science Society of America Journal . 44 (5): 892– 898. Bibcode : 1980SSASJ..44..892V . doi : 10.2136/sssaj1980.03615995004400050002x .
  10. ↑ Inoue, M.; Šimůnek, J.; Shiozawa, S.; Hopmans, JW (junio de 2000). "Estimación simultánea de parámetros hidráulicos del suelo y de transporte de solutos a partir de experimentos de infiltración transitoria" . Advances in Water Resources . 23 (7): 677– 688. Bibcode : 2000AdWR...23..677I . doi : 10.1016/S0309-1708(00)00011-7 .
  11. ↑ Fodor, Nándor; Sándor, Renata; Orfanus, Tomás; Lichner, Lubomir; Rajkai, Kálmán (octubre de 2011). "Dependencia del método de evaluación de la conductividad hidráulica saturada medida" . Geoderma . 165 (1): 60– 68. Bibcode : 2011Geode.165...60F . doi : 10.1016/j.geoderma.2011.07.004 .
  12. ↑ Angulo-Jaramillo, Rafael; Vandervaere, Jean-Pierre; Roulier, Stéphanie; Thony, Jean-Louis; Gaudet, Jean-Paul; Vauclin, Michel (mayo de 2000). "Medición de campo de las propiedades hidráulicas de la superficie del suelo mediante infiltrómetros de disco y anillo" . Soil and Tillage Research . 55 ( 1–2 ): 1–29 . doi : 10.1016/S0167-1987(00)00098-2 .
  13. ↑ Köhne, J. Maximilian; Mohanty, Binayak P.; Šimůnek, Jirka (enero de 2006). "Modelado inverso de doble permeabilidad del flujo preferencial de agua en una columna de suelo e implicaciones para el transporte de solutos a escala de campo" . Vadose Zone Journal . 5 (1): 59–76 . Bibcode : 2006VZJ.....5...59K . doi : 10.2136/vzj2005.0008 . ISSN 1539-1663 . S2CID 781417 .  
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  15. ↑ Kuraz, Michal; Jačka, Lukáš; Ruth Blöcher, Johanna; Lepš, Matěj (1 de noviembre de 2022). "Metodología de calibración automatizada para evitar problemas de convergencia durante la identificación inversa de propiedades hidráulicas del suelo" . Advances in Engineering Software . 173 103278. doi : 10.1016/j.advengsoft.2022.103278 . ISSN 0965-9978 . S2CID 252508220 .  
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  18. ↑ Tocci, MD, CT Kelley y CT Miller (1997), Solución precisa y económica de la forma de carga de presión de la ecuación de Richards por el método de líneas, Adv. Wat. Resour. , 20(1), 1–14.
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  21. ↑ Downer, Charles W., y Fred L. Ogden (2003), Hydrol. Proc. ,18, pp. 1-22. DOI:10.1002/hyp.1306.

Véase también