Formulaciones de rotación en tres dimensiones

La tríada de vectores unitarios mencionada anteriormente también se denomina base . Especificar las coordenadas ( componentes ) de los vectores de esta base en su posición actual (rotada), con respecto a los ejes de coordenadas de referencia (no rotados), describe completamente la rotación. Los tres vectores unitarios, û , v̂ y ŵ , que forman la base rotada constan cada uno de 3  coordenadas, lo que da como resultado un total de 9  parámetros.

Estos parámetros se pueden escribir como los elementos de una matriz A de 3 × 3 , llamada matriz de rotación . Normalmente, las coordenadas de cada uno de estos vectores se disponen a lo largo de una columna de la matriz (sin embargo, tenga en cuenta que existe una definición alternativa de matriz de rotación, ampliamente utilizada, en la que las coordenadas de los vectores definidas anteriormente se disponen por filas ^{[ 2 ]} ). $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {u} }}_{x}&{\hat {\mathbf {v} }}_{x}&{\hat {\mathbf {w} }}_{x}\\{\hat {\mathbf {u} }}_{y}&{\hat {\mathbf {v} }}_{y}&{\hat {\mathbf {w} }}_{y}\\{\hat {\mathbf {u} }}_{z}&{\hat {\mathbf {v} }}_{z}&{\hat {\mathbf {w} }}_{z}\\\end{bmatrix}}}$$

Los elementos de la matriz de rotación no son todos independientes; como dicta el teorema de rotación de Euler, la matriz de rotación solo tiene tres grados de libertad.

La matriz de rotación tiene las siguientes propiedades:

• A es una matriz real y ortogonal , por lo tanto, cada una de sus filas o columnas representa un vector unitario .
• Los valores propios de A son$${\displaystyle \left\{1,e^{\pm i\theta }\right\}=\{1,\ \cos \theta +i\sin \theta ,\ \cos \theta -i\sin \theta \}}$$donde i es la unidad imaginaria estándar con la propiedad i ² = −1 .
• El determinante de A es +1, equivalente al producto de sus valores propios.
• La traza de A es 1 + 2 cos θ , equivalente a la suma de sus autovalores.

El ángulo θ que aparece en la expresión del valor propio corresponde al ángulo del eje de Euler y a su representación angular. El vector propio correspondiente al valor propio de 1 es el eje de Euler asociado, ya que este es el único vector (distinto de cero) que permanece inalterado al multiplicarlo por la izquierda (rotarlo) con la matriz de rotación.

Las propiedades anteriores son equivalentes a $${\displaystyle {\begin{aligned}|{\hat {\mathbf {u} }}|=|{\hat {\mathbf {v} }}|=|{\hat {\mathbf {w} }}|&=1\\{\hat {\mathbf {u} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}&=0\\{\hat {\mathbf {u} }}\times {\hat {\mathbf {v} }}&={\hat {\mathbf {w} }}\,,\end{alineado}}}$$ lo cual es otra forma de afirmar que ( û , v̂ , ŵ ) forman una base ortonormal 3D . Estas afirmaciones comprenden un total de 6 condiciones (el producto vectorial contiene 3), dejando la matriz de rotación con solo 3 grados de libertad, como se requiere.

Dos rotaciones sucesivas representadas por las matrices A ₁ y A ₂ se combinan fácilmente como elementos de un grupo, $${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{total}}=\mathbf {A} _{2}\mathbf {A} _{1}}$$ (Observe el orden, ya que el vector que se rota se multiplica desde la derecha).

La facilidad con la que se pueden rotar los vectores utilizando una matriz de rotación, así como la facilidad para combinar rotaciones sucesivas, hacen de la matriz de rotación una forma útil y popular de representar rotaciones, aunque sea menos concisa que otras representaciones.

Según el teorema de rotación de Euler, cualquier rotación puede expresarse como una rotación simple alrededor de un eje. El eje es el vector unitario (único salvo por su signo) que permanece inalterado por la rotación. La magnitud del ángulo también es única, y su signo viene determinado por el signo del eje de rotación.

El eje puede representarse como un vector unitario tridimensional.$${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}={\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}}}$$ y el ángulo mediante un escalar θ .

Dado que el eje está normalizado, solo tiene dos grados de libertad . El ángulo añade el tercer grado de libertad a esta representación de rotación.

Se puede desear expresar la rotación como un vector de rotación o vector de Euler , un vector tridimensional no normalizado cuya dirección especifica el eje y cuya longitud es θ . $${\displaystyle \mathbf {r} =\theta {\hat {\mathbf {e} }}\,.}$$

El vector de rotación resulta útil en algunos contextos, ya que representa una rotación tridimensional con solo tres valores escalares (sus componentes), que representan los tres grados de libertad. Esto también se aplica a las representaciones basadas en secuencias de tres ángulos de Euler (véase más adelante).

Si el ángulo de rotación θ es cero, el eje no está definido de forma única. Combinar dos rotaciones sucesivas, cada una representada por un eje y un ángulo de Euler, no es sencillo y, de hecho, no satisface la ley de la suma de vectores, que demuestra que las rotaciones finitas no son realmente vectores. Lo mejor es emplear la notación de matriz de rotación o de cuaternión, calcular el producto y luego convertirlo de nuevo a un eje y un ángulo de Euler.

La idea detrás de las rotaciones de Euler es dividir la rotación completa del sistema de coordenadas en tres rotaciones constitutivas más simples, llamadas precesión , nutación y rotación intrínseca , cada una de ellas un incremento en uno de los ángulos de Euler . Nótese que la matriz exterior representa una rotación alrededor de uno de los ejes del sistema de referencia, y la matriz interior representa una rotación alrededor de uno de los ejes del sistema de referencia móvil. La matriz intermedia representa una rotación alrededor de un eje intermedio llamado línea de nodos .

Sin embargo, la definición de ángulos de Euler no es única y en la literatura se utilizan diversas convenciones. Estas convenciones dependen de los ejes alrededor de los cuales se realizan las rotaciones y de su secuencia (ya que las rotaciones en una esfera no son conmutativas ).

La convención utilizada se indica generalmente especificando los ejes alrededor de los cuales se realizan las rotaciones consecutivas (antes de componerlas), refiriéndonos a ellos mediante el índice (1, 2, 3) o la letra (X, Y, Z) . Las comunidades de ingeniería y robótica suelen utilizar ángulos de Euler 3-1-3. Nótese que, tras componer las rotaciones independientes, estas ya no giran sobre su eje. La matriz más externa rota las otras dos, dejando la segunda matriz de rotación sobre la línea de nodos y la tercera en un sistema de referencia que se mueve con el cuerpo. Existen 3 × 3 × 3 = 27 combinaciones posibles de tres rotaciones básicas, pero solo 3 × 2 × 2 = 12 de ellas pueden utilizarse para representar rotaciones 3D arbitrarias como ángulos de Euler. Estas 12  combinaciones evitan rotaciones consecutivas alrededor del mismo eje (como XXY), lo que reduciría los grados de libertad que se pueden representar.

Por lo tanto, los ángulos de Euler nunca se expresan en términos del sistema de referencia externo ni del sistema de referencia del cuerpo rotado comóvil, sino en una combinación de ambos. Para evitar este problema, se utilizan otras convenciones (por ejemplo, la matriz de rotación o los cuaterniones ).

En aviación, la orientación de la aeronave se suele expresar mediante ángulos intrínsecos de Tait-Bryan, siguiendo la convención z - y ′- x ″ , que se denominan rumbo , elevación y alabeo (o, como sinónimos, guiñada , cabeceo y balanceo ).

Los cuaterniones , que forman un espacio vectorial de cuatro dimensiones , han demostrado ser muy útiles para representar rotaciones debido a varias ventajas sobre las otras representaciones mencionadas en este artículo.

Una representación de rotación mediante cuaterniones se escribe como un versor (cuaternión normalizado): $${\displaystyle {\hat {\mathbf {q} }}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}}$$

La definición anterior almacena el cuaternión como una matriz siguiendo la convención utilizada en (Wertz 1980) y (Markley 2003). Una definición alternativa, utilizada por ejemplo en (Coutsias 1999) y (Schmidt 2001), define el término "escalar" como el primer elemento del cuaternión, con los demás elementos desplazados una posición hacia abajo.

En términos del eje de Euler $${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}={\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}}}$$

y los componentes de este versor del ángulo θ se expresan de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}&=e_{x}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{j}&=e_{y}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{k}&=e_{z}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}}$$

La inspección muestra que la parametrización de cuaterniones obedece la siguiente restricción: $${\displaystyle q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}+q_{r}^{2}=1}$$

El último término (en nuestra definición) se denomina a menudo término escalar, que tiene su origen en los cuaterniones cuando se entienden como la extensión matemática de los números complejos, escritos como $${\displaystyle a+bi+cj+dk\qquad {\text{with }}a,b,c,d\in \mathbb {R} }$$ y donde { i , j , k } son los números hipercomplejos que satisfacen $${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}i^{2}&=&j^{2}&=&k^{2}&=&-1\\ij&=&-ji&=&k&&\\jk&=&-kj&=&i&&\\ki&=&-ik&=&j&&\end{array}}}$$

La multiplicación de cuaterniones, que se utiliza para especificar una rotación compuesta , se realiza de la misma manera que la multiplicación de números complejos , excepto que se debe tener en cuenta el orden de los elementos, ya que la multiplicación no es conmutativa. En notación matricial podemos escribir la multiplicación de cuaterniones como $${\displaystyle {\tilde {\mathbf {q} }}\otimes \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{k}&-q_{j}&\;\;\,q_{i}\\-q_{k}&\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{i}&\;\;\,q_{j}\\\;\;\,q_{j}&-q_{i}&\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{k}\\-q_{i}&-q_{j}&-q_{k}&\;\;\,q_{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\tilde {q}}_{i}\\{\tilde {q}}_{j}\\{\tilde {q}}_{k}\\{\tilde {q}}_{r}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\;\;\,{\tilde {q}}_{r}&-{\tilde {q}}_{k}&\;\;\,{\tilde {q}}_{j}&\;\;\,{\tilde {q}}_{i}\\\;\;\,{\tilde {q}}_{k}&\;\;\,{\tilde {q}}_{r}&-{\tilde {q}}_{i}&\;\;\,{\tilde {q}}_{j}\\-{\tilde {q}}_{j}&\;\;\,{\tilde {q}}_{i}&\;\;\,{\tilde {q}}_{r}&\;\;\,{\tilde {q}}_{k}\\-{\tilde {q}}_{i}&-{\tilde {q}}_{j}&-{\tilde {q}}_{k}&\;\;\,{\tilde {q}}_{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}}$$

Combinar dos rotaciones de cuaterniones consecutivas es, por lo tanto, tan simple como usar la matriz de rotación. Al igual que dos matrices de rotación sucesivas, A ₁ seguidas de A ₂ , se combinan como $${\displaystyle \mathbf {A} _{3}=\mathbf {A} _{2}\mathbf {A} _{1},}$$ Podemos representar esto con parámetros de cuaterniones de una manera igualmente concisa: $${\displaystyle \mathbf {q} _{3}=\mathbf {q} _{2}\otimes \mathbf {q} _{1}}$$

Los cuaterniones son una parametrización muy popular debido a las siguientes propiedades:

• Más compacto que la representación matricial y menos susceptible a errores de redondeo.
• La expresión de la matriz de rotación en términos de parámetros cuaternionales no involucra funciones trigonométricas.
• Es sencillo combinar dos rotaciones individuales representadas como cuaterniones utilizando un producto de cuaterniones.

Al igual que las matrices de rotación, los cuaterniones a veces deben renormalizarse debido a errores de redondeo, para asegurar que correspondan a rotaciones válidas. Sin embargo, el costo computacional de renormalizar un cuaternión es mucho menor que el de normalizar una matriz de 3 × 3 .

Los cuaterniones también capturan el carácter espinorial de las rotaciones en tres dimensiones. Para un objeto tridimensional conectado a su entorno (fijo) mediante cuerdas o bandas flojas, las cuerdas o bandas pueden desenredarse después de dos vueltas completas alrededor de un eje fijo desde un estado inicial desenredado. Algebraicamente, el cuaternión que describe dicha rotación cambia de un escalar +1 (inicialmente), pasando por valores (escalar + pseudovector) hasta un escalar −1 (en una vuelta completa), pasando por valores (escalar + pseudovector) de nuevo a un escalar +1 (en dos vueltas completas). Este ciclo se repite cada 2 vueltas. Después de 2 n vueltas (entero n > 0 ), sin ningún intento intermedio de desenredado, las cuerdas/bandas pueden desenredarse parcialmente hasta el estado de 2( n − 1) vueltas con cada aplicación del mismo procedimiento utilizado para desenredar de 2 vueltas a 0 vueltas. Al aplicar el mismo procedimiento n veces, un objeto enredado 2n - enredado volverá a su estado normal (sin giros). El proceso de desenredado también elimina cualquier torsión generada por la rotación alrededor de las propias cuerdas o bandas. Se pueden utilizar modelos mecánicos 3D sencillos para demostrar estos hechos.

El vector de Rodrigues (a veces llamado vector de Gibbs , con coordenadas llamadas parámetros de Rodrigues ) ^{[ 3 ] [ 4 ]} se puede expresar en términos del eje y el ángulo de rotación de la siguiente manera: $${\displaystyle \mathbf {g} ={\hat {\mathbf {e} }}\tan {\frac {\theta }{2}}}$$

Esta representación es un análogo de dimensión superior de la proyección gnomónica , que mapea cuaterniones unitarios de una 3-esfera al hiperplano vectorial puro tridimensional .

Presenta una discontinuidad a 180° ( π radianes): cuando cualquier vector de rotación r tiende a un ángulo de π radianes, su tangente tiende al infinito.

Una rotación g seguida de una rotación f en la representación de Rodrigues tiene la forma de composición de rotación simple.

Hoy en día, la forma más sencilla de demostrar esta fórmula es en la representación doblete (fiel) , donde g = n̂ tan a , etc.

Las características combinatorias de la derivación de la matriz de Pauli que acabamos de mencionar son también idénticas a la derivación equivalente del cuaternión que se muestra a continuación. Construya un cuaternión asociado a una rotación espacial R como: $${\displaystyle S=\cos {\frac {\phi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} .}$$ Entonces, la composición de la rotación R _B con R _A es la rotación R _C = R _B R _A , con eje de rotación y ángulo definidos por el producto de los cuaterniones, $${\displaystyle A=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \quad {\text{and}}\quad B=\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} ,}$$ eso es $${\displaystyle C=\cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} \right)\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \right).}$$

Expanda este producto de cuaternión a $${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} +\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\mathbf {A} +\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {A} \right).}$$

Divide ambos lados de esta ecuación por la identidad resultante de la anterior, $${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}=\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} ,}$$ y evaluar

Esta es la fórmula de Rodrigues para el eje de una rotación compuesta definida en términos de los ejes de las dos rotaciones componentes. Derivó esta fórmula en 1840 (véase la página 408). ^{[ 3 ]} Los tres ejes de rotación A , B y C forman un triángulo esférico y los ángulos diedros entre los planos formados por los lados de este triángulo están definidos por los ángulos de rotación.

La proyección estereográfica de un cuaternión unitario sobre el hiperplano puramente imaginario se denomina vector de rotación conforme , cuyas coordenadas a veces se denominan parámetros de Rodrigues modificados (MRP).

El vector de rotación conforme se puede expresar en términos del eje y el ángulo de Euler mediante $${\displaystyle \mathbf {p} ={\hat {\mathbf {e} }}\tan {\frac {\theta }{4}}\,.}$$ Los MRP se pueden expresar en términos de los componentes de un cuaternión unitario que representa la misma rotación que $${\displaystyle p_{x,y,z}={\frac {q_{i,j,k}}{1+q_{r}}}\,.}$$

La proyección estereográfica del cuaternión opuesto − q da como resultado un vector de rotación conforme p ^s diferente al de la proyección del cuaternión original q . Comparando componentes se obtiene que $${\displaystyle p_{x,y,z}^{s}={\frac {-q_{i,j,k}}{1-q_{r}}}={\frac {-p_{x,y,z}}{\mathbf {p} ^{2}}}\,.}$$ Cabe destacar que, si uno de estos vectores se encuentra dentro de la esfera unitaria tridimensional, el otro estará fuera.

Utilizando la misma notación que la anterior, se obtiene un cuaternión unitario con:

${\displaystyle s={\frac {2}{1+\lVert \mathbf {p} \rVert ^{2}}},\qquad {\begin{cases}q_{r}&=s-1,\\q_{i}&=s\,p_{x},\\q_{j}&=s\,p_{y},\\q_{k}&=s\,p_{z}.\end{cases}}}$

Consulte la definición en Wolfram Mathworld .

Las rotaciones activas de un vector 3D p en el espacio euclidiano alrededor de un eje n sobre un ángulo η se pueden escribir fácilmente en términos de productos escalares y vectoriales de la siguiente manera:

$${\displaystyle \mathbf {p} '=p_{\parallel }\mathbf {n} +\cos {\eta }\,\mathbf {p} _{\perp }+\sin {\eta }\,\mathbf {p} \wedge \mathbf {n} }$$ donde $${\displaystyle p_{\parallel }=\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} }$$ es la componente longitudinal de p a lo largo de n , dada por el producto escalar , $${\displaystyle \mathbf {p} _{\perp }=\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$$ es la componente transversal de p con respecto a n , y $${\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {n} }$$

es el producto vectorial de p con n .

La fórmula anterior muestra que la componente longitudinal de p permanece inalterada, mientras que la porción transversal de p gira en el plano perpendicular a n . Este plano está definido por la porción transversal de p y una dirección perpendicular tanto a p como a n . La rotación se identifica directamente en la ecuación como una rotación bidimensional sobre un ángulo η .

Las rotaciones pasivas se pueden describir mediante la misma fórmula, pero con el signo inverso de η o n .

Los ángulos de Euler ( φ , θ , ψ ) se pueden extraer de la matriz de rotación A inspeccionando la matriz de rotación en forma analítica.

Si el ángulo de Euler θ no es un múltiplo de π , el eje de Euler ê y el ángulo θ se pueden calcular a partir de los elementos de la matriz de rotación A de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=\arccos {\frac {A_{11}+A_{22}+A_{33}-1}{2}}\\e_{1}&={\frac {A_{32}-A_{23}}{2\sin \theta }}\\e_{2}&={\frac {A_{13}-A_{31}}{2\sin \theta }}\\e_{3}&={\frac {A_{21}-A_{12}}{2\sin \theta }}\end{aligned}}}$$

Como alternativa, se puede utilizar el siguiente método:

La descomposición en valores propios de la matriz de rotación produce los valores propios 1 y cos θ ± i sin θ . El eje de Euler es el vector propio correspondiente al valor propio 1, y θ se puede calcular a partir de los valores propios restantes.

El eje de Euler también se puede encontrar utilizando la descomposición en valores singulares , ya que es el vector normalizado que abarca el espacio nulo de la matriz I − A.

Para realizar la conversión en sentido contrario, la matriz de rotación correspondiente a un eje de Euler ê y un ángulo θ se puede calcular según la fórmula de rotación de Rodrigues (con la modificación apropiada ) de la siguiente manera: $${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I} _{3}\cos \theta +(1-\cos \theta ){\hat {\mathbf {e} }}{\hat {\mathbf {e} }}^{\mathsf {T}}+\left[{\hat {\mathbf {e} }}\right]_{\times }\sin \theta }$$

con I ₃ la matriz identidad de 3 × 3 y $${\displaystyle \left[{\hat {\mathbf {e} }}\right]_{\times }={\begin{bmatrix}0&-e_{3}&e_{2}\\e_{3}&0&-e_{1}\\-e_{2}&e_{1}&0\end{bmatrix}}}$$

es la matriz de producto cruzado .

Esto se amplía a: $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{11}&=(1-\cos \theta )e_{1}^{2}+\cos \theta \\A_{12}&=(1-\cos \theta )e_{1}e_{2}-e_{3}\sin \theta \\A_{13}&=(1-\cos \theta )e_{1}e_{3}+e_{2}\sin \theta \\A_{21}&=(1-\cos \theta )e_{2}e_{1}+e_{3}\sin \theta \\A_{22}&=(1-\cos \theta )e_{2}^{2}+\cos \theta \\A_{23}&=(1-\cos \theta )e_{2}e_{3}-e_{1}\sin \theta \\A_{31}&=(1-\cos \theta )e_{3}e_{1}-e_{2}\sin \theta \\A_{32}&=(1-\cos \theta )e_{3}e_{2}+e_{1}\sin \theta \\A_{33}&=(1-\cos \theta )e_{3}^{2}+\cos \theta \end{aligned}}}$$

Al calcular un cuaternión a partir de la matriz de rotación, existe una ambigüedad de signo, ya que q y − q representan la misma rotación.

Una forma de calcular el cuaternión $${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}}$$ La matriz de rotación A es la siguiente: $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{r}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {1+A_{11}+A_{22}+A_{33}}}\\q_{i}&={\frac {1}{4q_{r}}}\left(A_{32}-A_{23}\right)\\q_{j}&={\frac {1}{4q_{r}}}\left(A_{13}-A_{31}\right)\\q_{k}&={\frac {1}{4q_{r}}}\left(A_{21}-A_{12}\right)\end{aligned}}}$$

Existen otras tres formas matemáticamente equivalentes de calcular q . La imprecisión numérica puede reducirse evitando situaciones en las que el denominador esté cerca de cero. Uno de los otros tres métodos se ve así: ^{[ 6 ] [ 7 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {1+A_{11}-A_{22}-A_{33}}}\\q_{j}&={\frac {1}{4q_{i}}}\left(A_{12}+A_{21}\right)\\q_{k}&={\frac {1}{4q_{i}}}\left(A_{13}+A_{31}\right)\\q_{r}&={\frac {1}{4q_{i}}}\left(A_{32}-A_{23}\right)\end{aligned}}}$$

La matriz de rotación correspondiente al cuaternión q se puede calcular de la siguiente manera: $${\displaystyle \mathbf {A} =\left(q_{r}^{2}-{\check {\mathbf {q} }}^{\mathsf {T}}{\check {\mathbf {q} }}\right)\mathbf {I} _{3}+2{\check {\mathbf {q} }}{\check {\mathbf {q} }}^{\mathsf {T}}+2q_{r}\mathbf {\mathcal {Q}} }$$ dónde $${\displaystyle {\check {\mathbf {q} }}={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\end{bmatrix}}\,,\quad \mathbf {\mathcal {Q}} ={\begin{bmatrix}0&-q_{k}&q_{j}\\q_{k}&0&-q_{i}\\-q_{j}&q_{i}&0\end{bmatrix}}}$$ lo cual da $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2q_{j}^{2}-2q_{k}^{2}&2\left(q_{i}q_{j}-q_{k}q_{r}\right)&2\left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{j}+q_{k}q_{r}\right)&1-2q_{i}^{2}-2q_{k}^{2}&2\left(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r}\right)&2\left(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r}\right)&1-2q_{i}^{2}-2q_{j}^{2}\end{bmatrix}}}$$

o equivalentemente $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1+2q_{i}^{2}+2q_{r}^{2}&2\left(q_{i}q_{j}-q_{k}q_{r}\right)&2\left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{j}+q_{k}q_{r}\right)&-1+2q_{j}^{2}+2q_{r}^{2}&2\left(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r}\right)&2\left(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r}\right)&-1+2q_{k}^{2}+2q_{r}^{2}\end{bmatrix}}}$$

Esta se denomina fórmula de Euler-Rodrigues para la matriz de transformación.${\displaystyle \mathbf {A} }$

Dado el eje de Euler ê y el ángulo θ , el cuaternión $${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}\,,}$$

puede calcularse mediante $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}&={\hat {e}}_{1}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{j}&={\hat {e}}_{2}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{k}&={\hat {e}}_{3}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}}$$

Dado el cuaternión de rotación q , definimos $${\displaystyle {\check {\mathbf {q} }}={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\end{bmatrix}}\,.}$$ Entonces, el eje de Euler ê y el ángulo θ se pueden calcular mediante $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {e} }}&={\frac {\check {\mathbf {q} }}{\left\|{\check {\mathbf {q} }}\right\|}}\\\theta &=2\arccos q_{r}\end{aligned}}}$$

El vector de velocidad angular $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\begin{bmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}}$$ se puede extraer de la derivada temporal de la matriz de rotación ⁠ d A / d t ⁠ mediante la siguiente relación: $${\displaystyle [{\boldsymbol {\omega }}]_{\times }={\begin{bmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{bmatrix}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}}$$

La derivación se adapta de Ioffe ^{[ 8 ]} de la siguiente manera:

Para cualquier vector r ₀ , considere r ( t ) = A ( t ) r ₀ y derrótelo: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {r} _{0}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}(t)\mathrm {r} (t)}$$

La derivada de un vector es la velocidad lineal de su extremo. Dado que A es una matriz _de rotación, por definición la longitud de r ( t ) siempre es igual a la longitud de r₀ , y por lo tanto no cambia con el tiempo. Así, cuando r ( t ) rota, su extremo se mueve a lo largo de un círculo, y la velocidad lineal de su extremo es tangente al círculo; es decir, siempre perpendicular a r ( t ) . En este caso específico, la relación entre el vector de velocidad lineal y el vector de velocidad angular es $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {r} (t)=[{\boldsymbol {\omega }}]_{\times }\mathbf {r} (t)}$$ (véase movimiento circular y producto vectorial ).

Por la transitividad de las ecuaciones mencionadas anteriormente, $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}(t)\mathbf {r} (t)=[{\boldsymbol {\omega }}]_{\times }\mathbf {r} (t)}$$

lo cual implica $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}(t)=[{\boldsymbol {\omega }}]_{\times }}$$

El vector de velocidad angular $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\begin{bmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}}$$ se puede obtener a partir de la derivada del cuaternión ⁠ d q / d t ⁠ de la siguiente manera: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}=2{\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathrm {d} t}}{\tilde {\mathbf {q} }}}$$ donde q̃ es el conjugado (inverso) de q .

Por el contrario, la derivada del cuaternión es $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0\\\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}\mathbf {q} \,.}$$