Historia de las matemáticas

La historia de las matemáticas trata sobre el origen de los descubrimientos matemáticos y los métodos y notación matemáticos del pasado . Antes de la era moderna y la difusión mundial del conocimiento, los ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemáticos solo han salido a la luz en unos pocos lugares. Desde el año 3000 a. C., los estados mesopotámicos de Sumeria , Akkad y Asiria , seguidos de cerca por el Antiguo Egipto y el estado levantino de Ebla, comenzaron a utilizar la aritmética , el álgebra y la geometría para la tributación , el comercio y, en astronomía , para registrar el tiempo y formular calendarios .

Los textos matemáticos más antiguos disponibles provienen de Mesopotamia y Egipto : Plimpton 322 ( babilonio , c. 2000-1900 a. C.), ^{[ 2 ]} el Papiro Matemático de Rhind ( egipcio , c. 1800 a. C.) ^{[ 3 ]} y el Papiro Matemático de Moscú (egipcio , c. 1890 a. C.). Todos estos textos mencionan las llamadas ternas pitagóricas , por lo que, por inferencia, el teorema de Pitágoras parece ser el desarrollo matemático más antiguo y extendido, después de la aritmética y la geometría básicas.

El estudio de las matemáticas como una "disciplina demostrativa" comenzó en el siglo VI a. C. con los pitagóricos , quienes acuñaron el término "matemáticas" del griego antiguo μάθημα ( mathema ), que significa "materia de instrucción". ^{[ 4 ]} Las matemáticas griegas refinaron enormemente los métodos (especialmente a través de la introducción del razonamiento deductivo y el rigor matemático en las demostraciones ) y ampliaron el objeto de estudio de las matemáticas. ^{[ 5 ]} Los antiguos romanos utilizaron las matemáticas aplicadas en la topografía , la ingeniería estructural , la ingeniería mecánica , la contabilidad , la creación de calendarios lunares y solares , e incluso las artes y la artesanía . Las matemáticas chinas hicieron contribuciones tempranas, incluyendo un sistema de valor posicional y el primer uso de números negativos . ^{[ 6 ] [ 7 ]} El sistema de numeración indoarábigo y las reglas para el uso de sus operaciones, en uso en todo el mundo hoy en día, evolucionaron a lo largo del primer milenio d. C. en la India y fueron transmitidos al mundo occidental a través de las matemáticas islámicas a través del trabajo de Khwārizmī . ^{[ 8 ] [ 9 ]} Las matemáticas islámicas, a su vez, desarrollaron y expandieron las matemáticas conocidas por estas civilizaciones. ^{[ 10 ]} Contemporáneas pero independientes de estas tradiciones fueron las matemáticas desarrolladas por la civilización maya de México y Centroamérica , donde el concepto de cero recibió un símbolo estándar en los numerales mayas . Muchos textos griegos y árabes sobre matemáticas fueron traducidos al latín a partir del siglo XII, lo que condujo a un mayor desarrollo de las matemáticas en la Europa medieval . Desde la antigüedad hasta la Edad Media , los períodos de descubrimiento matemático a menudo fueron seguidos por siglos de estancamiento. ^{[ 11 ]} A partir del Renacimiento italiano en el siglo XV, se realizaron nuevos desarrollos matemáticos, interactuando con nuevos descubrimientos científicos, a un ritmo acelerado.un ritmo cada vez mayor que continúa hasta nuestros días. Esto incluye el trabajo pionero de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz en el desarrollo del cálculo infinitesimal durante el siglo XVII y los descubrimientos posteriores de matemáticos alemanes como Carl Friedrich Gauss y David Hilbert .

Los orígenes del pensamiento matemático radican en los conceptos de número , patrones en la naturaleza , magnitud y forma . ^{[ 12 ]} Estudios modernos sobre la cognición animal han demostrado que estos conceptos no son exclusivos de los humanos. Dichos conceptos habrían formado parte de la vida cotidiana en las sociedades de cazadores-recolectores . La idea de que el concepto de "número" evolucionó gradualmente con el tiempo se ve respaldada por la existencia de lenguas que conservan la distinción entre "uno", "dos" y "muchos", pero no entre números mayores que dos. ^{[ 12 ]}

El uso de hilo por parte de los neandertales hace unos 40.000 años en un yacimiento en Abri du Maras en el sur de Francia sugiere que conocían conceptos básicos de matemáticas. ^{[ 13 ] [ 14 ]} El hueso de Ishango , encontrado cerca de las cabeceras del río Nilo (noreste del Congo ), puede tener más de 20.000 años y consiste en una serie de marcas talladas en tres columnas que recorren el hueso. Las interpretaciones comunes son que el hueso de Ishango muestra o bien un recuento de la demostración más antigua conocida de secuencias de números primos ^{[ 15 ]} o un calendario lunar de seis meses. ^{[ 16 ] [ 17 ]} Peter Rudman argumenta que el desarrollo del concepto de números primos solo pudo haber surgido después del concepto de división, que él fecha después del 10.000 a. C., y que los números primos probablemente no se comprendieron hasta alrededor del 500 a. C. También escribe que «no se ha intentado explicar por qué un recuento de algo debería mostrar múltiplos de dos, números primos entre 10 y 20, y algunos números que son casi múltiplos de 10». ^{[ 18 ]} El hueso de Ishango, según el erudito Alexander Marshack , pudo haber influido en el desarrollo posterior de las matemáticas en Egipto, ya que, al igual que algunas entradas en el hueso de Ishango, la aritmética egipcia también utilizaba la multiplicación por 2; sin embargo, esto es discutido. ^{[ 19 ]}

Los egipcios predinásticos del V milenio a. C. representaban pictóricamente diseños geométricos. Se ha afirmado que los monumentos megalíticos de Inglaterra y Escocia , que datan del III milenio a. C., incorporan ideas geométricas como círculos , elipses y ternas pitagóricas en su diseño. ^{[ 20 ]} Sin embargo, todo lo anterior es objeto de controversia, y los documentos matemáticos más antiguos que aún no se han discutido provienen de fuentes babilónicas y egipcias dinásticas. ^{[ 21 ]}

Las matemáticas babilónicas se refieren a todas las matemáticas de los pueblos de Mesopotamia (actual Irak ) desde la época de los primeros sumerios hasta el período helenístico , casi hasta los albores del cristianismo . ^{[ 22 ]} La mayor parte del trabajo matemático babilónico proviene de dos períodos muy separados: los primeros siglos del segundo milenio a. C. (período paleobabilónico) y los últimos siglos del primer milenio a. C. ( período seléucida ). ^{[ 23 ]} Se denominan matemáticas babilónicas debido al papel central de Babilonia como centro de estudio.

A diferencia de la escasez de fuentes en matemáticas egipcias , el conocimiento de las matemáticas babilónicas se deriva de más de 400 tablillas de arcilla desenterradas desde la década de 1850. ^{[ 24 ]} Escritas en escritura cuneiforme , las tablillas se inscribían mientras la arcilla estaba húmeda y se endurecían al horno o al sol. Algunas de ellas parecen ser tareas escolares calificadas. ^{[ 25 ]}

La evidencia más antigua de matemáticas escritas se remonta a los antiguos sumerios , quienes construyeron la civilización más antigua de Mesopotamia. Desarrollaron un complejo sistema de metrología a partir del 3000 a. C. que se ocupaba principalmente del conteo administrativo y financiero, como la distribución de granos, trabajadores, pesos de plata o incluso líquidos, entre otras cosas. ^{[ 26 ]} Desde alrededor del 2500 a. C. en adelante, los sumerios escribieron tablas de multiplicar en tablillas de arcilla y resolvieron ejercicios geométricos y problemas de división . Los primeros vestigios de los numerales babilónicos también datan de este período. ^{[ 27 ]}

Las matemáticas babilónicas se escribían utilizando un sistema numérico sexagesimal (base 60) . ^{[ 24 ]} De esto se deriva el uso actual de 60 segundos en un minuto, 60 minutos en una hora y 360 (60 × 6) grados en un círculo, así como el uso de segundos y minutos de arco para denotar fracciones de un grado. Se cree que el sistema sexagesimal fue utilizado inicialmente por los escribas sumerios porque 60 se puede dividir exactamente por 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 y 30, ^{[ 24 ]} y para los escribas (que repartían las mencionadas asignaciones de grano, registraban pesos de plata, etc.) poder calcular fácilmente a mano era esencial, y por lo tanto un sistema sexagesimal es pragmáticamente más fácil de calcular a mano; Sin embargo, existe la posibilidad de que el uso de un sistema sexagesimal fuera un fenómeno etnolingüístico (que tal vez nunca se conozca), y no una decisión matemática/práctica. ^{[ 28 ]} Además, a diferencia de los egipcios, griegos y romanos, los babilonios tenían un sistema de valor posicional, donde los dígitos escritos en la columna izquierda representaban valores mayores, muy parecido al sistema decimal . El poder del sistema de notación babilónico radicaba en que podía usarse para representar fracciones con la misma facilidad que números enteros; por lo tanto, multiplicar dos números que contenían fracciones no era diferente de multiplicar enteros, similar a la notación moderna. El sistema de notación de los babilonios fue el mejor de cualquier civilización hasta el Renacimiento , y su poder le permitió alcanzar una notable precisión computacional; por ejemplo, la tablilla babilónica YBC 7289 da una aproximación de √ 2 con una precisión de cinco decimales. ^{[ 29 ]} Sin embargo, los babilonios carecían de un equivalente al punto decimal, por lo que el valor posicional de un símbolo a menudo tenía que inferirse del contexto. ^{[ 23 ]} Para el período seléucida, los babilonios habían desarrollado un símbolo de cero como marcador de posición para las posiciones vacías; sin embargo, solo se usaba para posiciones intermedias. ^{[ 23 ]} Este signo de cero no aparece en las posiciones terminales; por lo tanto, los babilonios estuvieron cerca de desarrollar, pero no llegaron a desarrollar, un verdadero sistema de valor posicional. ^{[ 23 ]}

Otros temas que abarcan las matemáticas babilónicas incluyen fracciones, álgebra, ecuaciones cuadráticas y cúbicas, y el cálculo de números regulares y sus pares recíprocos . ^{[ 30 ]} Las tablillas también incluyen tablas de multiplicar y métodos para resolver ecuaciones lineales , cuadráticas y cúbicas , un logro notable para la época. ^{[ 31 ]} Las tablillas del período paleobabilónico también contienen la primera formulación conocida del teorema de Pitágoras . ^{[ 32 ]} Sin embargo, al igual que las matemáticas egipcias, las matemáticas babilónicas no muestran conciencia de la diferencia entre soluciones exactas y aproximadas, ni de la resolubilidad de un problema, y ​​lo que es más importante, no hay una declaración explícita de la necesidad de demostraciones o principios lógicos. ^{[ 25 ]}

Las matemáticas egipcias se refieren a las matemáticas escritas en lengua egipcia . Desde el período helenístico , el griego reemplazó al egipcio como lengua escrita de los eruditos egipcios . La evidencia arqueológica sugiere que el antiguo sistema de numeración egipcio tuvo su origen en el África subsahariana . ^{[ 33 ]} Asimismo, los diseños de geometría fractal, muy extendidos entre las culturas del África subsahariana, también se encuentran en la arquitectura egipcia y en símbolos cosmológicos. ^{[ 34 ]} Las estructuras megalíticas ubicadas en Nabta Playa , Alto Egipto, presentaban sistemas astronómicos y calendarios alineados con la salida helíaca de Sirio , y servían para calibrar el calendario anual según la crecida del Nilo. ^{[ 35 ]}

El texto matemático egipcio más extenso es el papiro de Rhind (a veces también llamado papiro de Ahmes por su autor), datado alrededor del 1650 a . C. , pero probablemente una copia de un documento más antiguo del Reino Medio , de aproximadamente 2000-1800 a. C. ^{[ 36 ]} Es un manual de instrucción para estudiantes de aritmética y geometría. Además de proporcionar fórmulas de área y métodos para la multiplicación, la división y el trabajo con fracciones unitarias, también contiene evidencia de otros conocimientos matemáticos, ^{[ 37 ]} incluyendo números compuestos y primos ; medias aritméticas , geométricas y armónicas ; y comprensiones simplificadas tanto de la criba de Eratóstenes como de la teoría de números perfectos (en particular, la del número 6). ^{[ 38 ]} También muestra cómo resolver ecuaciones lineales de primer orden ^{[ 39 ]} así como series aritméticas y geométricas . ^{[ 40 ]}

Otro texto matemático egipcio significativo es el papiro de Moscú , también del período del Reino Medio , datado alrededor del 1890 a. C. [ ^{41 ] Consiste} en lo que hoy se denomina problemas verbales o problemas de enunciado , que aparentemente tenían como objetivo el entretenimiento. Un problema se considera de particular importancia porque proporciona un método para calcular el volumen de un tronco de pirámide truncada.

Finalmente, el Papiro de Berlín 6619 ( c. 1800 a. C.) muestra que los antiguos egipcios podían resolver una ecuación algebraica de segundo orden . ^{[ 42 ]}

Las matemáticas griegas se refieren a las matemáticas escritas en lengua griega desde la época de Tales de Mileto (aproximadamente 600 a. C.) hasta el cierre de la Academia de Atenas en el 529 d. C. ^{[ 43 ]} Los matemáticos griegos vivieron en ciudades repartidas por todo el Mediterráneo oriental, desde Italia hasta el norte de África, pero estaban unidos por la cultura y el idioma. Las matemáticas griegas del período posterior a Alejandro Magno a veces se denominan matemáticas helenísticas . ^{[ 44 ]}

Las matemáticas griegas eran mucho más sofisticadas que las desarrolladas por culturas anteriores. Todos los registros que se conservan de las matemáticas pregriegas muestran el uso del razonamiento inductivo , es decir, observaciones repetidas para establecer reglas empíricas. Los matemáticos griegos, en cambio, utilizaban el razonamiento deductivo . Los griegos empleaban la lógica para derivar conclusiones a partir de definiciones y axiomas, y el rigor matemático para demostrarlas. ^{[ 45 ]}

Se cree que las matemáticas griegas se originaron con Tales de Mileto ( c. 624 – c. 546 a. C.) y Pitágoras de Samos ( c. 582 – c. 507 a. C.). Si bien se discute el alcance de su influencia, probablemente se inspiraron en las matemáticas egipcias y babilónicas . Según la leyenda, Pitágoras viajó a Egipto para aprender matemáticas, geometría y astronomía de los sacerdotes egipcios.  

Tales utilizó la geometría para resolver problemas como el cálculo de la altura de las pirámides y la distancia de los barcos a la costa. Se le atribuye el primer uso del razonamiento deductivo aplicado a la geometría, al derivar cuatro corolarios del Teorema de Tales . Como resultado, ha sido aclamado como el primer matemático verdadero y el primer individuo conocido al que se le ha atribuido un descubrimiento matemático. ^{[ 46 ]} Pitágoras fundó la Escuela Pitagórica , cuya doctrina era que las matemáticas gobernaban el universo y cuyo lema era "Todo es número". ^{[ 47 ]} Fueron los pitagóricos quienes acuñaron el término "matemáticas", y con quienes comienza el estudio de las matemáticas por sí mismas. A los pitagóricos se les atribuye la primera demostración del teorema de Pitágoras , ^{[ 48 ]} aunque el enunciado del teorema tiene una larga historia, y con la demostración de la existencia de números irracionales . ^{[ 49 ] [ 50 ]} Aunque fue precedido por los babilonios , los indios y los chinos , ^{[ 51 ]} el matemático neopitagórico Nicómaco (60-120 d. C.) proporcionó una de las primeras tablas de multiplicar grecorromanas , mientras que la tabla de multiplicar griega más antigua que se conserva se encuentra en una tablilla de cera que data del siglo I d. C. (actualmente en el Museo Británico ). ^{[ 52 ]} La asociación de los neopitagóricos con la invención occidental de la tabla de multiplicar es evidente en su nombre medieval posterior : la mensa Pythagorica . ^{[ 53 ]}

Platón (428/427 a. C. – 348/347 a. C.) es importante en la historia de las matemáticas por inspirar y guiar a otros. ^{[ 54 ]} Su Academia Platónica , en Atenas , se convirtió en el centro matemático del mundo en el siglo IV a. C., y de esta escuela surgieron los principales matemáticos de la época, como Eudoxo de Cnido ( c. 390 – c. 340 a. C.). ^{[ 55 ]} Platón también abordó los fundamentos de las matemáticas, ^{[ 56 ]} y aclaró algunas definiciones (por ejemplo, la de una línea como "longitud sin anchura"). 

Eudoxo desarrolló el método de agotamiento , precursor de la integración moderna ^{[ 57 ]} , y una teoría de las razones que evitaba el problema de las magnitudes inconmensurables ^{[ 58 ]} . El primero permitió calcular áreas y volúmenes de figuras curvilíneas ^{[ 59 ]} , mientras que el segundo posibilitó que los geómetras posteriores realizaran avances significativos en geometría. Aunque no realizó descubrimientos matemáticos técnicos específicos, Aristóteles (384- c. 322 a. C. ) contribuyó significativamente al desarrollo de las matemáticas al sentar las bases de la lógica ^{[ 60 ]} .

En el siglo III a. C., el principal centro de enseñanza e investigación matemática era el Museo de Alejandría . ^{[ 62 ]} Fue allí donde Euclides ( c. 300 a. C. ) enseñó y escribió los Elementos , considerados por muchos el libro de texto más exitoso e influyente de todos los tiempos. ^{[ 1 ]} Los Elementos introdujeron el rigor matemático mediante el método axiomático y constituyen el primer ejemplo del formato que aún se utiliza en matemáticas hoy en día: definición, axioma, teorema y demostración. Si bien la mayor parte del contenido de los Elementos ya era conocido, Euclides lo organizó en un marco lógico único y coherente. ^{[ 63 ]} Los Elementos fueron conocidos por todas las personas instruidas en Occidente hasta mediados del siglo XX y su contenido todavía se enseña en las clases de geometría. ^{[ 64 ]} Además de los conocidos teoremas de la geometría euclidiana , los Elementos fueron concebidos como un libro de texto introductorio a todas las materias matemáticas de la época, como la teoría de números , el álgebra y la geometría sólida , ^{[ 63 ]} incluyendo demostraciones de que la raíz cuadrada de dos es irracional y que existen infinitos números primos. Euclides también escribió extensamente sobre otros temas, como secciones cónicas , óptica , geometría esférica y mecánica, pero solo se conserva la mitad de sus escritos. ^{[ 65 ]}

Arquímedes ( c. 287-212 a. C.) de Siracusa , ampliamente considerado el mayor matemático de la antigüedad, ^{[ 66 ]} utilizó el método de agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola con la suma de una serie infinita , de una manera no muy diferente al cálculo moderno. ^{[ 67 ] También demostró} que se podía utilizar el método de agotamiento para calcular el valor de π con tanta precisión como se deseara, y obtuvo el valor más exacto de π conocido hasta entonces, 3 + 10/71 < π < 3 + 10/70 . [ 68 ] También estudió la espiral que ^{lleva su nombre} , obtuvo fórmulas para los volúmenes de superficies de revolución (paraboloide, elipsoide, hiperboloide), [ ^{67 ] y} un ingenioso método de exponenciación para expresar números muy grandes. ^{[ 69 ]} Si bien también es conocido por sus contribuciones a la física y varios dispositivos mecánicos avanzados, el propio Arquímedes otorgaba mucho mayor valor a los productos de su pensamiento y a los principios matemáticos generales. ^{[ 70 ]} Consideraba su mayor logro el hallazgo del área de la superficie y el volumen de una esfera, que obtuvo al demostrar que estos son 2/3 del área de la superficie y el volumen de un cilindro que circunscribe la esfera. ^{[ 71 ]}

Apolonio de Perga ( c. 262-190 a. C.) realizó avances significativos en el estudio de las secciones cónicas , demostrando que se pueden obtener las tres variedades de sección cónica variando el ángulo del plano que corta un cono de doble capa. ^{[ 72 ]} También acuñó la terminología que se usa hoy para las secciones cónicas, a saber, parábola ("lugar al lado" o "comparación"), "elipse" ("deficiencia") e "hipérbola" ("un lanzamiento más allá"). ^{[ 73 ]} Su obra Cónicas es una de las obras matemáticas de la Antigüedad mejor conocidas y conservadas, y en ella deduce muchos teoremas sobre secciones cónicas que resultarían invaluables para matemáticos y astrónomos posteriores que estudiaban el movimiento planetario, como Isaac Newton. ^{[ 74 ]} Si bien ni Apolonio ni ningún otro matemático griego dieron el salto a la geometría de coordenadas, el tratamiento que Apolonio da a las curvas es en algunos aspectos similar al tratamiento moderno, y parte de su trabajo parece anticipar el desarrollo de la geometría analítica por Descartes unos 1800 años después. ^{[ 75 ]}

Aproximadamente al mismo tiempo, Eratóstenes de Cirene ( c. 276-194 a. C.) ideó la Criba de Eratóstenes para encontrar números primos . ^{[ 76 ]} El siglo III a. C. se considera generalmente como la "Edad de Oro" de las matemáticas griegas, con avances en matemáticas puras en relativo declive a partir de entonces. ^{[ 77 ]} Sin embargo, en los siglos que siguieron se hicieron avances significativos en matemáticas aplicadas, sobre todo en trigonometría , en gran medida para atender las necesidades de los astrónomos. ^{[ 77 ]} Hiparco de Nicea ( c. 190-120 a. C.) es considerado el fundador de la trigonometría por compilar la primera tabla trigonométrica conocida, y a él también se le debe el uso sistemático del círculo de 360 ​​grados. ^{[ 78 ]} A Herón de Alejandría ( c. 10-70 d. C.) se le atribuye la fórmula de Herón para encontrar el área de un triángulo escaleno y ser el primero en reconocer la posibilidad de que los números negativos posean raíces cuadradas. ^{[ 79 ]} Menelao de Alejandría ( c. 100 d. C. ) fue pionero de la trigonometría esférica mediante el teorema de Menelao . ^{[ 80 ]} La obra trigonométrica más completa e influyente de la antigüedad es el Almagesto de Ptolomeo ( c. 90-168 d . C. ), un tratado astronómico fundamental cuyas tablas trigonométricas serían utilizadas por los astrónomos durante los siguientes mil años. ^{[ 81 ]} A Ptolomeo también se le atribuye el teorema de Ptolomeo para derivar cantidades trigonométricas y el valor más preciso de π fuera de China hasta el período medieval, 3,1416. ^{[ 82 ]}

Tras un periodo de estancamiento después de Ptolomeo, el periodo entre 250 y 350 d. C. se conoce a veces como la «Edad de Plata» de las matemáticas griegas. ^{[ 83 ]} Durante este periodo, Diofanto realizó avances significativos en álgebra, en particular en el análisis indeterminado , también conocido como «análisis diofántico». ^{[ 84 ]} El estudio de las ecuaciones diofánticas y las aproximaciones diofánticas sigue siendo un área de investigación importante hasta el día de hoy. Su obra principal fue la Aritmética , una colección de 150 problemas algebraicos que tratan sobre soluciones exactas de ecuaciones determinadas e indeterminadas . ^{[ 85 ]} La Aritmética tuvo una influencia significativa en matemáticos posteriores, como Pierre de Fermat , quien llegó a su famoso Último Teorema después de intentar generalizar un problema que había leído en la Aritmética (el de dividir un cuadrado en dos cuadrados). ^{[ 86 ]} Diofanto también realizó avances significativos en la notación, siendo la Aritmética el primer ejemplo de simbolismo algebraico y síncopa. ^{[ 85 ]}

Entre los últimos grandes matemáticos griegos se encuentra Pappus de Alejandría (siglo IV d. C.). Es conocido por su teorema del hexágono y su teorema del centroide , así como por la configuración de Pappus y el grafo de Pappus . Su Colección es una fuente fundamental de conocimiento sobre las matemáticas griegas, ya que la mayor parte de ella se ha conservado. ^{[ 87 ]} Pappus es considerado el último gran innovador de las matemáticas griegas, y su obra posterior consistió principalmente en comentarios sobre trabajos anteriores.

La primera mujer matemática registrada fue Hipatia de Alejandría (350-415 d. C.), quien escribió numerosas obras sobre matemáticas aplicadas. Debido a una disputa política, la comunidad cristiana de Alejandría la despojó públicamente de sus vestiduras y la ejecutó. ^{[ 88 ]} Su muerte se considera a veces el fin de la era de las matemáticas griegas alejandrinas, aunque el trabajo continuó en Atenas durante otro siglo con figuras como Proclo , Simplicio y Eutocio . ^{[ 89 ]} Si bien Proclo y Simplicio fueron más filósofos que matemáticos, sus comentarios sobre obras anteriores son valiosas fuentes sobre las matemáticas griegas. El cierre de la Academia neoplatónica de Atenas por el emperador Justiniano en el 529 d. C. se considera tradicionalmente el fin de la era de las matemáticas griegas, aunque la tradición griega continuó ininterrumpida en el Imperio bizantino con matemáticos como Antemio de Tralles e Isidoro de Mileto , los arquitectos de Santa Sofía . ^{[ 90 ]} Sin embargo, las matemáticas bizantinas consistían principalmente en comentarios, con poca innovación, y los centros de innovación matemática se encontraban en otros lugares para entonces. ^{[ 91 ]}

Aunque los matemáticos griegos continuaron existiendo bajo el dominio de la República Romana tardía y el posterior Imperio Romano , no hubo matemáticos latinos nativos destacables en comparación. ^{[ 92 ] [ 93 ]} Romanos antiguos como Cicerón (106-43 a. C.), un influyente estadista romano que estudió matemáticas en Grecia, creían que los agrimensores y calculadores romanos estaban mucho más interesados ​​en las matemáticas aplicadas que en las matemáticas teóricas y la geometría que los griegos valoraban. ^{[ 94 ]} No está claro si los romanos derivaron su sistema numérico directamente del precedente griego o de los numerales etruscos utilizados por la civilización etrusca centrada en lo que hoy es Toscana , Italia central . ^{[ 95 ]}

Mediante el cálculo, los romanos eran expertos tanto en instigar como en detectar fraudes financieros , así como en administrar los impuestos del tesoro . ^{[ 96 ]} Siculus Flaccus , uno de los gromatici romanos (es decir, agrimensores), escribió las Categorías de Campos , que ayudaron a los agrimensores romanos a medir las superficies de las tierras y territorios asignados. ^{[ 97 ]} Además de administrar el comercio y los impuestos, los romanos también aplicaban regularmente las matemáticas para resolver problemas de ingeniería , incluyendo la construcción de arquitectura como puentes , la construcción de carreteras y la preparación para campañas militares . ^{[ 98 ]} Las artes y artesanías como los mosaicos romanos , inspirados en diseños griegos anteriores , creaban patrones geométricos ilusionistas y escenas ricas y detalladas que requerían medidas precisas para cada tesela ; las piezas del opus tessellatum medían en promedio ocho milímetros cuadrados y las piezas más finas del opus vermiculatum tenían una superficie promedio de cuatro milímetros cuadrados. ^{[ 99 ] [ 100 ]}

La creación del calendario romano también requirió matemáticas básicas. El primer calendario supuestamente data del siglo VIII a. C. durante el Imperio Romano e incluía 356 días más un año bisiesto cada dos años. ^{[ 101 ]} En contraste, el calendario lunar de la era republicana contenía 355 días, aproximadamente diez días y cuarto menos que el año solar , una discrepancia que se resolvió agregando un mes extra al calendario después del 23 de febrero. ^{[ 102 ]} Este calendario fue reemplazado por el calendario juliano , un calendario solar organizado por Julio César (100-44 a. C.) y diseñado por Sosígenes de Alejandría para incluir un día bisiesto cada cuatro años en un ciclo de 365 días. ^{[ 103 ]} Este calendario, que contenía un error de 11 minutos y 14 segundos, fue corregido posteriormente por el calendario gregoriano organizado por el Papa Gregorio XIII ( r. 1572–1585 ), prácticamente el mismo calendario solar utilizado en la actualidad como calendario estándar internacional. ^{[ 104 ]}

Aproximadamente al mismo tiempo, tanto los chinos Han como los romanos inventaron el odómetro con ruedas para medir las distancias recorridas, cuyo modelo romano fue descrito por primera vez por el ingeniero civil y arquitecto romano Vitruvio ( c. 80 a. C. – c. 15 a. C. ). ^{[ 105 ]} El dispositivo se utilizó al menos hasta el reinado del emperador Cómodo ( r. 177 – 192 d. C. ), pero su diseño parece haberse perdido hasta que se realizaron experimentos durante el siglo XV en Europa Occidental. ^{[ 106 ]} Tal vez basándose en un mecanismo de engranajes y tecnología similares a los del mecanismo de Anticitera , el odómetro de Vitruvio presentaba ruedas de carro de 1,2 m (4 pies ) de diámetro que giraban cuatrocientas veces en una milla romana (aproximadamente 1400 m /4590 pies). Con cada revolución, un mecanismo de pasador y eje engranaba con una rueda dentada de 400 dientes que hacía girar un segundo engranaje responsable de dejar caer guijarros en una caja, cada guijarro representando una milla recorrida. ^{[ 107 ]}      

Un análisis de las primeras matemáticas chinas ha demostrado su desarrollo único en comparación con otras partes del mundo, lo que ha llevado a los estudiosos a suponer un desarrollo completamente independiente. ^{[ 108 ]} El texto matemático más antiguo que se conserva de China es el Zhoubi Suanjing (周髀算經), cuya fecha se sitúa entre el 1200 a. C. y el 100 a. C., aunque una fecha de alrededor del 300 a. C. durante el Período de los Reinos Combatientes parece razonable. ^{[ 109 ]} Sin embargo, los Tsinghua Bamboo Slips , que contienen la tabla de multiplicar decimal más antigua conocida (aunque los antiguos babilonios tenían tablas con base 60), se datan alrededor del 305 a. C. y son quizás el texto matemático más antiguo que se conserva de China. ^{[ 51 ]}

Es particularmente notable el uso en las matemáticas chinas de un sistema de notación posicional decimal, los llamados "números de varilla" en los que se usaban cifrados distintos para los números entre 1 y 10, y cifrados adicionales para las potencias de diez. ^{[ 110 ]} Así, el número 123 se escribiría usando el símbolo para "1", seguido del símbolo para "100", luego el símbolo para "2" seguido del símbolo para "10", seguido del símbolo para "3". Este era el sistema numérico más avanzado del mundo en ese momento, aparentemente en uso varios siglos antes de la era común y mucho antes del desarrollo del sistema numérico indio. ^{[ 111 ]} Los números de varilla permitían la representación de números tan grandes como se deseara y permitían realizar cálculos en el suan pan , o ábaco chino. La fecha de la invención del suan pan no es segura, pero la mención escrita más antigua data del año 190 d. C., en las Notas suplementarias sobre el arte de las figuras de Xu Yue .

La obra más antigua que se conserva sobre geometría en China proviene del canon filosófico mohista , alrededor del año 330 a. C. , compilado por los seguidores de Mozi (470-390 a. C.). El Mo Jing describía diversos aspectos de muchos campos relacionados con la ciencia física y también proporcionaba algunos teoremas geométricos. ^{[ 112 ]} Asimismo, definía los conceptos de circunferencia , diámetro , radio y volumen . ^{[ 113 ]}

En el año 212 a. C., el emperador Qin Shi Huang ordenó quemar todos los libros del Imperio Qin, excepto los oficialmente autorizados. Este decreto no fue obedecido universalmente, pero como consecuencia de esta orden, se sabe poco sobre las matemáticas chinas antiguas anteriores a esta fecha. Después de la quema de libros del 212 a. C., la dinastía Han (202 a. C.-220 d. C.) produjo obras de matemáticas que presumiblemente ampliaron obras que ahora se han perdido. La más importante de ellas es Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático , cuyo título completo apareció hacia el año 179 d. C., pero existía parcialmente con otros títulos con anterioridad. Consta de 246 problemas de palabras relacionados con la agricultura, los negocios, el uso de la geometría para calcular luces y proporciones de dimensiones para torres de pagodas chinas , ingeniería, topografía , e incluye material sobre triángulos rectángulos . ^{[ 109 ]} Creó una demostración matemática para el teorema de Pitágoras , ^{[ 114 ]} y una fórmula matemática para la eliminación gaussiana . ^{[ 115 ]} El tratado también proporciona valores de π , ^{[ 109 ]} que los matemáticos chinos originalmente aproximaron como 3 hasta que Liu Xin (m. 23 d. C.) proporcionó una cifra de 3,1457 y posteriormente Zhang Heng (78-139) aproximó pi como 3,1724, ^{[ 116 ]} así como 3,162 tomando la raíz cuadrada de 10. ^{[ 117 ] [ 118 ]} Liu Hui comentó sobre los Nueve Capítulos en el siglo III d. C. y dio un valor de π con una precisión de 5 decimales (es decir, 3,14159). ^{[ 119 ] [ 120 ]} Aunque más que una cuestión de perspicacia teórica, en el siglo V d. C. Zu Chongzhi calculó el valor de π con siete decimales (entre 3,1415926 y 3,1415927), que siguió siendo el valor más preciso de π durante casi los siguientes 1000 años. ^{[ 119 ] [ 121 ]} También estableció un método que más tarde se llamaría principio de Cavalieri para hallar el volumen de una esfera . ^{[ 122 ]}

El apogeo de las matemáticas chinas se produjo en el siglo XIII, durante la segunda mitad de la dinastía Song (960-1279), con el desarrollo del álgebra china. El texto más importante de ese período es el Espejo Precioso de los Cuatro Elementos de Zhu Shijie (1249-1314), que trata sobre la solución de ecuaciones algebraicas simultáneas de orden superior mediante un método similar al de Horner . ^{[ 119 ]} El Espejo Precioso también contiene un diagrama del triángulo de Pascal con coeficientes de expansiones binomiales hasta la octava potencia, aunque ambos aparecen en obras chinas ya en el año 1100. ^{[ 123 ]} Los chinos también utilizaron el complejo diagrama combinatorio conocido como cuadrado mágico y círculos mágicos , descrito en la antigüedad y perfeccionado por Yang Hui (1238-1298 d. C.). ^{[ 123 ]}

Incluso después de que las matemáticas europeas comenzaran a florecer durante el Renacimiento , las matemáticas europeas y chinas fueron tradiciones separadas, y la producción matemática china significativa disminuyó a partir del siglo XIII. Misioneros jesuitas como Matteo Ricci llevaron ideas matemáticas de un lado a otro entre las dos culturas desde el siglo XVI hasta el XVIII, aunque en ese momento entraban muchas más ideas matemáticas en China de las que salían. ^{[ 123 ]}

Las matemáticas japonesas , coreanas y vietnamitas se consideran tradicionalmente derivadas de las matemáticas chinas y pertenecientes a la esfera cultural de Asia Oriental basada en el confucianismo . ^{[ 124 ]} Las matemáticas coreanas y japonesas estuvieron fuertemente influenciadas por las obras algebraicas producidas durante la dinastía Song de China, mientras que las matemáticas vietnamitas tuvieron una gran deuda con las obras populares de la dinastía Ming de China (1368-1644). ^{[ 125 ]} Por ejemplo, aunque los tratados matemáticos vietnamitas se escribieron en chino o en la escritura nativa vietnamita Chữ Nôm , todos ellos siguieron el formato chino de presentar una colección de problemas con algoritmos para resolverlos, seguidos de respuestas numéricas. ^{[ 126 ]} Las matemáticas en Vietnam y Corea se asociaron principalmente con la burocracia cortesana profesional de matemáticos y astrónomos , mientras que en Japón prevalecieron más en el ámbito de las escuelas privadas . ^{[ 127 ]}

Numerales indios en inscripciones de piedra y cobre ^{[ 128 ]}

Numerales Brahmi antiguos en una parte de la India

La civilización más antigua del subcontinente indio es la civilización del valle del Indo (segunda fase madura: 2600 a 1900 a. C.), que floreció en la cuenca del río Indo . Sus ciudades estaban dispuestas con regularidad geométrica, pero no se conservan documentos matemáticos conocidos de esta civilización. ^{[ 129 ]}

Los registros matemáticos más antiguos que se conservan de la India son los Sulba Sutras (fechados en diferentes fechas entre el siglo VIII a. C. y el siglo II d. C.), ^{[ 130 ]} apéndices de textos religiosos que dan reglas simples para construir altares de diversas formas, como cuadrados, rectángulos, paralelogramos y otros. ^{[ 131 ]} Al igual que en Egipto, la preocupación por las funciones del templo apunta a un origen de las matemáticas en el ritual religioso. ^{[ 130 ]} Los Sulba Sutras dan métodos para construir un círculo con aproximadamente la misma área que un cuadrado dado , lo que implica varias aproximaciones diferentes del valor de π. ^{[ 132 ] [ 133 ] [ a ]} ​​Además, calculan la raíz cuadrada de 2 con varias cifras decimales, enumeran ternas pitagóricas y dan un enunciado del teorema de Pitágoras . ^{[ 133 ]} Todos estos resultados están presentes en las matemáticas babilónicas, lo que indica influencia mesopotámica. ^{[ 130 ]} Se desconoce hasta qué punto los Sulba Sutras influyeron en los matemáticos indios posteriores. Al igual que en China, existe una falta de continuidad en las matemáticas indias; los avances significativos están separados por largos períodos de inactividad. ^{[ 130 ]}

Pāṇini ( c. siglo V a. C.) formuló las reglas de la gramática sánscrita . ^{[ 134 ]} Su notación era similar a la notación matemática moderna y utilizaba metarreglas, transformaciones y recursión . ^{[ 135 ]} Pingala (aproximadamente siglos III-I a. C.) en su tratado de prosodia utiliza un dispositivo que corresponde a un sistema de numeración binario . ^{[ 136 ] [ 137 ]} Su análisis de la combinatoria de los metros corresponde a una versión elemental del teorema del binomio . La obra de Pingala también contiene las ideas básicas de los números de Fibonacci (llamados mātrāmeru ). ^{[ 138 ]}

Los siguientes documentos matemáticos significativos de la India después de los Sulba Sutras son los Siddhantas , tratados astronómicos de los siglos IV y V d. C. ( período Gupta ) que muestran una fuerte influencia helenística. ^{[ 139 ]} Son significativos porque contienen la primera instancia de relaciones trigonométricas basadas en la semicuerda, como es el caso en la trigonometría moderna, en lugar de la cuerda completa, como era el caso en la trigonometría ptolemaica. ^{[ 140 ]} Debido a una serie de errores de traducción, las palabras "seno" y "coseno" derivan del sánscrito "jiya" y "kojiya". ^{[ 140 ]}

Hacia el año 500 d. C., Aryabhata escribió el Aryabhatiya , un volumen breve, escrito en verso, destinado a complementar las reglas de cálculo utilizadas en astronomía y medición matemática, aunque sin ningún sentido de la lógica ni de la metodología deductiva. ^{[ 141 ]} Es en el Aryabhatiya donde aparece por primera vez el sistema de numeración decimal posicional. Varios siglos después, el matemático musulmán Abu Rayhan Biruni describió el Aryabhatiya como una «mezcla de guijarros comunes y cristales costosos». ^{[ 142 ]}

En el siglo VII, Brahmagupta identificó el teorema de Brahmagupta , la identidad de Brahmagupta y la fórmula de Brahmagupta , y por primera vez, en Brahma-sphuta-siddhanta , explicó lúcidamente el uso del cero como marcador de posición y dígito decimal , y explicó el sistema de numeración indoarábigo . ^{[ 143 ]} Fue a partir de una traducción de este texto indio sobre matemáticas ( c. 770 ) que los matemáticos islámicos conocieron este sistema de numeración, que adaptaron como numeración arábiga . Los eruditos islámicos llevaron el conocimiento de este sistema de numeración a Europa en el siglo XII, y ahora ha desplazado a todos los sistemas de numeración anteriores en todo el mundo. Se utilizan varios conjuntos de símbolos para representar números en el sistema de numeración indoarábigo, todos los cuales evolucionaron a partir de los numerales Brahmi . Cada una de las aproximadamente doce escrituras principales de la India tiene sus propios glifos numéricos. En el siglo X, el comentario de Halayudha sobre la obra de Pingala contiene un estudio de la secuencia de Fibonacci ^{[ 144 ]} y del triángulo de Pascal . ^{[ 145 ]}

En el siglo XII, Bhāskara II , quien vivió en el sur de la India, escribió extensamente sobre el conocimiento matemático de su época. En su obra astronómica, describió resultados que han sido interpretados por estudiosos posteriores como similares a los primeros métodos infinitesimales. Sus escritos incluyen ideas aproximadamente equivalentes a los infinitesimales y un caso especial del teorema del valor medio en la interpolación inversa del seno. También hizo contribuciones significativas al álgebra, incluyendo métodos para resolver ecuaciones indeterminadas del tipo posteriormente conocido como ecuaciones de Pell, que trató utilizando procedimientos cíclicos como el método chakravāla. ^{[ 146 ] [ 147 ]} En el siglo XIV, Narayana Pandita completó su Ganita Kaumudi . ^{[ 148 ]}

También en el siglo XIV, Madhava de Sangamagrama , fundador de la Escuela de Matemáticas de Kerala , encontró la serie de Madhava-Leibniz y obtuvo de ella una serie transformada , cuyos primeros 21 términos utilizó para calcular el valor de π como 3.14159265359. Madhava también encontró la serie de Madhava-Gregory para determinar la arcotangente, la serie de potencias de Madhava-Newton para determinar el seno y el coseno y la aproximación de Taylor para las funciones seno y coseno. ^{[ 149 ]} En el siglo XVI, Jyesthadeva consolidó muchos de los desarrollos y teoremas de la Escuela de Kerala en el Yukti-bhāṣā . ^{[ 150 ] [ 151 ]} Se ha argumentado que ciertas ideas del cálculo, como las series infinitas y las series de Taylor de algunas funciones trigonométricas, se transmitieron a Europa en el siglo XVI ^{[ 6 ]} a través de misioneros jesuitas y comerciantes que estaban activos alrededor del antiguo puerto de Muziris en ese momento y, como resultado, influyeron directamente en desarrollos europeos posteriores en análisis y cálculo. ^{[ 152 ]} Sin embargo, otros estudiosos argumentan que la Escuela de Kerala no formuló una teoría sistemática de diferenciación e integración , y que no hay ninguna evidencia directa de que sus resultados se hayan transmitido fuera de Kerala. ^{[ 153 ] [ 154 ] [ 155 ] [ 156 ]}

El Imperio Islámico, establecido en Oriente Medio , Asia Central , el norte de África , Iberia y partes de la India en el siglo VIII, realizó importantes contribuciones a las matemáticas. Si bien la mayoría de los textos islámicos sobre matemáticas se escribieron en árabe , no todos fueron escritos por árabes , ya que, al igual que el griego en el mundo helenístico, el árabe se utilizaba como lengua escrita por eruditos no árabes en todo el mundo islámico de la época. ^{[ 157 ]}

En el siglo IX, el matemático persa Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī escribió un libro importante sobre los numerales indoarábigos y otro sobre métodos para resolver ecuaciones. Su libro Sobre el cálculo con numerales indoarábigos , escrito alrededor del año 825, junto con la obra de Al-Kindi , fueron fundamentales para la difusión de las matemáticas y los numerales indios en Occidente. La palabra algoritmo deriva de la latinización de su nombre, Algoritmi, y la palabra álgebra del título de una de sus obras, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa'l-muqābala ( El libro compendioso sobre el cálculo por compleción y equilibrio ). Dio una explicación exhaustiva de la solución algebraica de ecuaciones cuadráticas con raíces positivas, ^{[ 158 ]} y fue el primero en enseñar álgebra de forma elemental y por sí misma. ^{[ 159 ]} También analizó el método fundamental de « reducción » y «balanceo», refiriéndose a la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos semejantes en lados opuestos de la ecuación. Esta es la operación que al-Khwārizmī describió originalmente como al-jabr . ^{[ 160 ]} Su álgebra ya no se ocupaba «de una serie de problemas a resolver, sino de una exposición que comienza con términos primitivos en los que las combinaciones deben dar todos los prototipos posibles para ecuaciones, que de ahora en adelante constituyen explícitamente el verdadero objeto de estudio». También estudió una ecuación por sí misma y «de manera genérica, en la medida en que no surge simplemente al resolver un problema, sino que se la llama específicamente para definir una clase infinita de problemas». ^{[ 161 ]}

En Egipto, Abu Kamil extendió el álgebra al conjunto de los números irracionales , aceptando raíces cuadradas y cuartas como soluciones y coeficientes de ecuaciones cuadráticas. También desarrolló técnicas para resolver sistemas de tres ecuaciones no lineales con tres incógnitas. Una característica singular de su trabajo fue su empeño en encontrar todas las soluciones posibles para algunos de sus problemas, incluyendo uno en el que halló 2676 soluciones. ^{[ 162 ]} Sus obras sentaron una base importante para el desarrollo del álgebra e influyeron en matemáticos posteriores, como al-Karaji y Fibonacci.

Al-Karaji realizó nuevos desarrollos en álgebra en su tratado al-Fakhri , donde extendió la metodología para incorporar potencias enteras y raíces enteras de cantidades desconocidas. Algo cercano a una demostración por inducción matemática aparece en un libro escrito por Al-Karaji alrededor del año 1000 d. C., quien la utilizó para demostrar el teorema del binomio , el triángulo de Pascal y la suma de cubos enteros . ^{[ 163 ]} El historiador de las matemáticas, F. Woepcke, ^{[ 164 ]} elogió a Al-Karaji por ser "el primero en introducir la teoría del cálculo algebraico ". También en el siglo X, Abul Wafa tradujo las obras de Diofanto al árabe. Ibn al-Haytham fue el primer matemático en derivar la fórmula para la suma de las cuartas potencias, utilizando un método fácilmente generalizable para determinar la fórmula general para la suma de cualquier potencia entera. Realizó una integración para hallar el volumen de un paraboloide y pudo generalizar su resultado para las integrales de polinomios hasta el cuarto grado . De este modo, estuvo cerca de encontrar una fórmula general para las integrales de polinomios, pero no se interesó por polinomios de grado superior al cuarto. ^{[ 165 ]}

A finales del siglo XI, Omar Khayyam escribió Discusiones sobre las dificultades en Euclides , un libro sobre lo que él consideraba fallos en los Elementos de Euclides , especialmente el postulado de las paralelas . También fue el primero en hallar la solución geométrica general a las ecuaciones cúbicas . Asimismo, tuvo una gran influencia en la reforma del calendario . ^{[ 166 ]}

En el siglo XIII, Nasir al-Din Tusi (Nasireddin) realizó avances en trigonometría esférica . También escribió una obra influyente sobre el postulado de las paralelas de Euclides . En el siglo XV, Ghiyath al-Kashi calculó el valor de π con una precisión de 16 decimales. Kashi también desarrolló un algoritmo para calcular raíces enésimas , un caso particular de los métodos presentados siglos después por Ruffini y Horner .

Otros logros de los matemáticos musulmanes durante este período incluyen la adición de la notación decimal a los números arábigos, ^{[ 167 ]} el descubrimiento de todas las funciones trigonométricas modernas excepto el seno, la introducción del criptoanálisis y el análisis de frecuencia por al-Kindi, ^{[ 168 ]} el desarrollo de la geometría analítica por Ibn al-Haytham, ^{[ 169 ]} el comienzo de la geometría algebraica por Omar Khayyam, ^{[ 170 ]} y el desarrollo de una notación algebraica por al-Qalasādī. ^{[ 171 ] [ 172 ]}

Durante la época del Imperio Otomano y el Imperio Safávida, a partir del siglo XV, el desarrollo de las matemáticas islámicas se estancó. ^{[ 173 ]}

En la América precolombina , la civilización maya que floreció en México y Centroamérica durante el primer milenio d. C. desarrolló una tradición matemática única que, debido a su aislamiento geográfico, era completamente independiente de las matemáticas europeas, egipcias y asiáticas existentes. ^{[ 174 ]} Los numerales mayas utilizaban una base de veinte, el sistema vigesimal , en lugar de una base de diez que constituye la base del sistema decimal utilizado por la mayoría de las culturas modernas. ^{[ 174 ]} Los mayas utilizaron las matemáticas para crear el calendario maya , así como para predecir fenómenos astronómicos en su astronomía maya nativa . ^{[ 174 ]} Mientras que el concepto de cero debía inferirse en las matemáticas de muchas culturas contemporáneas, los mayas desarrollaron un símbolo estándar para él. ^{[ 174 ]}

El interés de la Europa medieval por las matemáticas se debía a preocupaciones muy diferentes a las de los matemáticos modernos. Un elemento determinante era la creencia de que las matemáticas proporcionaban la clave para comprender el orden creado de la naturaleza, justificada frecuentemente por el Timeo de Platón y el pasaje bíblico (del Libro de la Sabiduría ) que afirma que Dios había ordenado todas las cosas con medida, número y peso . ^{[ 175 ]}

Boecio incorporó las matemáticas al currículo en el siglo VI al acuñar el término quadrivium para describir el estudio de la aritmética, la geometría, la astronomía y la música. Escribió De institutione arithmetica , una traducción libre del griego de la Introducción a la aritmética de Nicómaco ; De institutione musica , también derivada de fuentes griegas; y una serie de extractos de los Elementos de Euclides . Sus obras eran teóricas, más que prácticas, y constituyeron la base del estudio de las matemáticas hasta la recuperación de obras matemáticas griegas y árabes. ^{[ 176 ] [ 177 ]}

En el siglo XII, los eruditos europeos viajaron a España y Sicilia en busca de textos científicos árabes , entre ellos el Compendioso libro sobre cálculo por compleción y equilibrio de al-Juarismi , traducido al latín por Roberto de Chester , y el texto completo de los Elementos de Euclides , traducido en varias versiones por Adelardo de Bath , Herman de Carintia y Gerardo de Cremona . ^{[ 178 ] [ 179 ]} Estas y otras nuevas fuentes impulsaron una renovación de las matemáticas.

Leonardo de Pisa, ahora conocido como Fibonacci , descubrió fortuitamente los números indoarábigos durante un viaje a lo que hoy es Béjaïa , Argelia , con su padre, comerciante. (En Europa todavía se usaban los números romanos ). Allí observó un sistema aritmético (específicamente el algorismo ) que, gracias a la notación posicional de los números indoarábigos, era mucho más eficiente y facilitaba enormemente el comercio. Leonardo escribió Liber Abaci en 1202 (actualizado en 1254), introduciendo la técnica en Europa e iniciando un largo período de popularización de la misma. El libro también introdujo en Europa lo que hoy se conoce como la sucesión de Fibonacci (conocida por los matemáticos indios cientos de años antes) ^{[ 180 ],} que Fibonacci utilizó como un ejemplo común.

El siglo XIV vio el desarrollo de nuevos conceptos matemáticos para investigar una amplia gama de problemas. ^{[ 181 ]} Una contribución importante fue el desarrollo de las matemáticas del movimiento local. Thomas Bradwardine propuso que la velocidad (V) aumenta en proporción aritmética a medida que la relación entre la fuerza (F) y la resistencia (R) aumenta en proporción geométrica. Bradwardine expresó esto mediante una serie de ejemplos específicos, pero aunque el logaritmo aún no se había concebido, podemos expresar su conclusión de forma anacrónica escribiendo: V = log (F/R). ^{[ 182 ]} El análisis de Bradwardine es un ejemplo de transferencia de una técnica matemática utilizada por al-Kindi y Arnald de Villanova para cuantificar la naturaleza de los medicamentos compuestos a un problema físico diferente. ^{[ 183 ]}

Uno de los Calculadores de Oxford del siglo XIV , William de Heytesbury , carente de cálculo diferencial y del concepto de límites , propuso medir la velocidad instantánea "por la trayectoria que describiría [un cuerpo] si ... se moviera uniformemente al mismo grado de velocidad con que se mueve en ese instante dado". ^{[ 185 ]}

Heytesbury y otros determinaron matemáticamente la distancia recorrida por un cuerpo sometido a un movimiento uniformemente acelerado (hoy resuelto mediante integración), afirmando que "un cuerpo en movimiento que adquiere o pierde uniformemente ese incremento [de velocidad] recorrerá en un tiempo dado una [distancia] completamente igual a la que recorrería si se moviera continuamente durante el mismo tiempo con el grado medio [de velocidad]". ^{[ 186 ]}

Nicole Oresme, de la Universidad de París , y el italiano Giovanni di Casali proporcionaron, de forma independiente, demostraciones gráficas de esta relación, afirmando que el área bajo la línea que representa la aceleración constante representa la distancia total recorrida. ^{[ 187 ]} En un comentario matemático posterior sobre los Elementos de Euclides , Oresme realizó un análisis general más detallado en el que demostró que un cuerpo adquiere en cada incremento sucesivo de tiempo un incremento de cualquier cualidad que aumenta con los números impares. Dado que Euclides había demostrado que la suma de los números impares son los números cuadrados, la cualidad total adquirida por el cuerpo aumenta con el cuadrado del tiempo. ^{[ 188 ]}

Durante el Renacimiento , el desarrollo de las matemáticas y la contabilidad estuvieron estrechamente ligados. ^{[ 189 ]} Si bien no existe una relación directa entre el álgebra y la contabilidad, la enseñanza de estas materias y los libros publicados a menudo estaban dirigidos a los hijos de los comerciantes, quienes eran enviados a escuelas de cálculo (en Flandes y Alemania ) o a escuelas de ábaco (conocidas como abbaco en Italia), donde aprendían las habilidades útiles para el comercio. Probablemente no se necesita álgebra para realizar operaciones contables , pero para operaciones de trueque complejas o el cálculo del interés compuesto , un conocimiento básico de aritmética era indispensable y el conocimiento de álgebra resultaba muy útil.

Piero della Francesca ( c. 1415 – c. 1492 ) escribió libros sobre geometría sólida y perspectiva lineal , entre ellos De Prospectiva Pingendi (Sobre la perspectiva de la pintura) , Trattato d'Abaco (Tratado del ábaco) y De quinque corporibus regularibus (Sobre los cinco sólidos regulares) . ^{[ 190 ] [ 191 ] [ 192 ]} 

La Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità (en italiano: «Revisión de aritmética , geometría , razón y proporción ») de Luca Pacioli se imprimió y publicó por primera vez en Venecia en 1494. Incluía un tratado de 27 páginas sobre contabilidad, «Particularis de Computis et Scripturis» (en italiano: «Detalles de cálculo y registro»). Fue escrita principalmente para comerciantes, a quienes también se les vendió principalmente, ya que utilizaban el libro como texto de referencia, como fuente de entretenimiento gracias a los acertijos matemáticos que contenía y para ayudar en la educación de sus hijos. ^{[ 193 ]} En la Summa Arithmetica , Pacioli introdujo por primera vez en un libro impreso los símbolos de suma y resta , símbolos que se convirtieron en notación estándar en las matemáticas del Renacimiento italiano. La Summa Arithmetica fue también el primer libro impreso conocido en Italia que contenía álgebra. Pacioli obtuvo muchas de sus ideas de Piero Della Francesca, a quien plagió.

En Italia, durante la primera mitad del siglo XVI, Scipione del Ferro y Niccolò Fontana Tartaglia descubrieron soluciones para ecuaciones cúbicas . Gerolamo Cardano las publicó en su libro Ars Magna de 1545 , junto con una solución para las ecuaciones cuárticas , descubierta por su alumno Lodovico Ferrari . En 1572, Rafael Bombelli publicó su L'Algebra, en la que mostró cómo tratar las cantidades imaginarias que podían aparecer en la fórmula de Cardano para resolver ecuaciones cúbicas.

La obra de Simon Stevin , De Thiende («El arte de las décimas»), publicada por primera vez en neerlandés en 1585, contenía el primer tratamiento sistemático de la notación decimal en Europa, que influyó en todos los trabajos posteriores sobre el sistema de números reales . ^{[ 194 ] [ 195 ]}

Impulsada por las exigencias de la navegación y la creciente necesidad de mapas precisos de grandes áreas, la trigonometría se convirtió en una rama importante de las matemáticas. Bartholomaeus Pitiscus fue el primero en usar el término, publicando su Trigonometria en 1595. La tabla de senos y cosenos de Regiomontanus se publicó en 1533. ^{[ 196 ]}

Durante el Renacimiento, el deseo de los artistas de representar el mundo natural de forma realista, junto con el redescubrimiento de la filosofía griega, los impulsó a estudiar matemáticas. Además, eran los ingenieros y arquitectos de la época, por lo que, en cualquier caso, necesitaban las matemáticas. El arte de la pintura en perspectiva y los avances geométricos que conllevaba fueron objeto de un intenso estudio. ^{[ 197 ]}

Se prevé que la trayectoria futura de las matemáticas se vea significativamente influenciada por la integración de metodologías computacionales avanzadas, aunque las consecuencias epistemológicas exactas siguen siendo objeto de debate académico. ^{[ 271 ]} La utilización de inteligencia artificial (IA) y demostradores automáticos de teoremas, como Coq y Lean , es cada vez más prominente en la verificación formal de teoremas complejos. Si bien sus defensores sugieren que esta integración puede mejorar el rigor lógico, algunos académicos argumentan que podría oscurecer la comprensión humana fundamental si las demostraciones se vuelven demasiado densas computacionalmente para la verificación humana independiente. ^{[ 272 ]} Además, se plantea la hipótesis de que la aplicación de algoritmos de aprendizaje automático para identificar patrones heurísticos en campos como la teoría de nudos acelera el descubrimiento matemático; sin embargo, la dependencia de procesos algorítmicos requiere un escrutinio epistemológico cauteloso con respecto a la verificabilidad. ^{[ 273 ]}

En el ámbito de las matemáticas aplicadas, se prevé que el desarrollo teórico de la computación cuántica requiera un cambio de paradigma en la criptografía . Algoritmos como el de Shor poseen la capacidad teórica de factorizar eficientemente números primos grandes, lo que aparentemente comprometería sistemas criptográficos de clave pública ampliamente utilizados, como RSA . ^{[ 274 ]} En consecuencia, los investigadores están desarrollando activamente la criptografía postcuántica , un área que depende en gran medida de la geometría algebraica y las estructuras basadas en retículos. Sin embargo, el cronograma para la ingeniería práctica de computadoras cuánticas escalables y tolerantes a fallos sigue siendo muy incierto, lo que convierte la urgencia inmediata de esta transición criptográfica en un tema de especulación teórica. ^{[ 275 ]}

Además, la creciente disponibilidad de conjuntos de datos empíricos masivos, comúnmente denominados macrodatos , ha impulsado el desarrollo del análisis topológico de datos (ATD). Este campo interdisciplinario busca aplicar conceptos geométricos y topológicos abstractos para identificar características estructurales en datos ruidosos y de alta dimensionalidad. ^{[ 276 ]} A pesar de su potencial, la aplicación de modelos matemáticos deterministas a sistemas biológicos o sociológicos inherentemente estocásticos debe abordarse con cautela crítica para evitar confundir anomalías estadísticas con mecanismos causales reales.