Velocidad angular

En el caso más simple de movimiento circular a radio ⁠${\displaystyle r}$, con la posición dada por el desplazamiento angular${\displaystyle \phi (t)}$Desde el eje x, la velocidad angular orbital es la tasa de cambio del ángulo con respecto al tiempo :${\displaystyle \textstyle \omega ={\frac {d\phi }{dt}}}$⁠ . Si${\displaystyle \phi }$se mide en radianes , la longitud de arco desde el eje x positivo alrededor del círculo hasta la partícula es${\displaystyle \ell =r\phi }$, y la velocidad lineal es${\displaystyle \textstyle v(t)={\frac {d\ell }{dt}}=r\omega (t)}$⁠ , de modo que ⁠${\displaystyle \textstyle \omega ={\frac {v}{r}}}$.​

En el caso general de una partícula que se mueve en el plano, la velocidad angular orbital es la tasa a la que el vector de posición relativo a un origen elegido "barre" un ángulo. El diagrama muestra el vector de posición.${\displaystyle \mathbf {r} }$desde el origen${\displaystyle O}$a una partícula${\displaystyle P}$⁠ , con sus coordenadas polares ⁠${\displaystyle (r,\phi )}$⁠ . (Todas las variables son funciones del tiempo ⁠${\displaystyle t}$⁠ .) La partícula tiene división de velocidad lineal como ⁠${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{\Vert }+\mathbf {v} _{\perp }}$, con el componente radial${\displaystyle \mathbf {v} _{\|}}$paralela al radio y la componente transversal al radio (o tangencial).${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$Perpendicular al radio. Cuando no hay componente radial, la partícula se mueve alrededor del origen describiendo un círculo; pero cuando no hay componente transversal al radio, se mueve en línea recta desde el origen. Dado que el movimiento radial mantiene el ángulo constante, solo la componente transversal al radio de la velocidad lineal contribuye a la velocidad angular.

La velocidad angular ω es la tasa de cambio de la posición angular con respecto al tiempo, que se puede calcular a partir de la velocidad radial transversal como: $${\displaystyle \omega ={\frac {d\phi }{dt}}={\frac {v_{\perp }}{r}}.}$$

Aquí la velocidad transversal radial${\displaystyle v_{\perp }}$es la magnitud con signo de ⁠${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$⁠ , positivo para el movimiento en sentido antihorario, negativo para el movimiento en sentido horario. Tomando coordenadas polares para la velocidad lineal${\displaystyle \mathbf {v} }$da magnitud${\displaystyle v}$(velocidad lineal) y ángulo${\displaystyle \theta }$en relación con el vector de radio; en estos términos ,${\displaystyle v_{\perp }=v\sin(\theta )}$⁠ , para que $${\displaystyle \omega ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}.}$$

Estas fórmulas se pueden derivar haciendo ⁠${\displaystyle \mathbf {r} =(r\cos(\varphi ),r\sin(\varphi ))}$⁠ , siendo${\displaystyle r}$una función de la distancia al origen con respecto al tiempo, y${\displaystyle \varphi }$una función del ángulo entre el vector y el eje x. Entonces: $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=({\dot {r}}\cos(\varphi )-r{\dot {\varphi }}\sin(\varphi ),{\dot {r}}\sin(\varphi )+r{\dot {\varphi }}\cos(\varphi )),}$$ lo cual es igual a: $${\displaystyle {\dot {r}}(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))+r{\dot {\varphi }}(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}}$$ (Véase Vector unitario en coordenadas cilíndricas).

Saber​${\displaystyle \textstyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {v} }$⁠ , concluimos que la componente radial de la velocidad viene dada por ⁠${\displaystyle {\dot {r}}}$⁠ , porque${\displaystyle {\hat {r}}}$es un vector unitario radial; y la componente perpendicular viene dada por${\displaystyle r{\dot {\varphi }}}$porque${\displaystyle {\hat {\varphi }}}$es un vector unitario perpendicular.

En dos dimensiones, la velocidad angular es un número con signo positivo o negativo que indica orientación, pero no una dirección específica. Por convención, el signo se considera positivo si el vector de radio gira en sentido antihorario y negativo si gira en sentido horario. La velocidad angular puede denominarse entonces pseudoescalar , una magnitud numérica que cambia de signo al invertir la paridad , como al invertir un eje o intercambiar los dos ejes.

En el espacio tridimensional , nuevamente tenemos el vector de posición r de una partícula en movimiento. Aquí, la velocidad angular orbital es un pseudovector cuya magnitud es la tasa a la que r barre el ángulo (en radianes por unidad de tiempo), y cuya dirección es perpendicular al plano instantáneo en el que r barre el ángulo (es decir, el plano generado por r y v ). Sin embargo, como existen dos direcciones perpendiculares a cualquier plano, se requiere una condición adicional para especificar de forma unívoca la dirección de la velocidad angular; convencionalmente, se utiliza la regla de la mano derecha .

Sea el pseudovector${\displaystyle \mathbf {u} }$Sea el vector unitario perpendicular al plano generado por r y v , de modo que se cumpla la regla de la mano derecha (es decir, la dirección instantánea del desplazamiento angular es en sentido contrario a las agujas del reloj vista desde la parte superior de ⁠${\displaystyle \mathbf {u} }$) . Tomando coordenadas polares${\displaystyle (r,\phi )}$En este plano, al igual que en el caso bidimensional anterior, se puede definir el vector de velocidad angular orbital como:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\omega \mathbf {u} ={\frac {d\phi }{dt}}\mathbf {u} ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}\mathbf {u} ,}$

donde​${\displaystyle \theta }$⁠ es el ángulo entre ⁠${\displaystyle \mathbf {r} }$y​​${\displaystyle \mathbf {v} }$En términos del producto cruzado, esto es :

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}.}$^{[ 4 ]}

A partir de la ecuación anterior, se puede recuperar la velocidad tangencial como:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$

Consideremos un cuerpo rígido que gira alrededor de un punto fijo O. Construyamos un sistema de referencia en el cuerpo que consista en un conjunto ortonormal de vectores.${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$fijos al cuerpo y con su origen común en O. El vector de velocidad angular de giro tanto del sistema de referencia como del cuerpo alrededor de O es entonces

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left({\dot {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\right)\mathbf {e} _{3}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\right)\mathbf {e} _{1}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\right)\mathbf {e} _{2},}$

dónde${\displaystyle {\dot {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {d\mathbf {e} _{i}}{dt}}}$es la tasa de cambio temporal del vector de marco${\displaystyle \mathbf {e} _{i},i=1,2,3}$⁠ , debido a la rotación.

Esta fórmula es incompatible con la expresión para la velocidad angular orbital.

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}}{r^{2}}},}$

ya que esa fórmula define la velocidad angular para un solo punto alrededor de O, mientras que la fórmula en esta sección se aplica a un sistema de referencia o cuerpo rígido. En el caso de un cuerpo rígido, un solo${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$tiene que tener en cuenta el movimiento de todas las partículas del cuerpo.

Los componentes del pseudovector de velocidad angular de giro fueron calculados por primera vez por Leonhard Euler utilizando sus ángulos de Euler y el uso de un sistema de referencia intermedio:

• Un eje del sistema de referencia (el eje de precesión)
• La línea de nodos del sistema de referencia móvil con respecto al sistema de referencia (eje de nutación).
• Un eje del sistema de referencia móvil (el eje de rotación intrínseco)

Euler demostró que las proyecciones del pseudovector de velocidad angular sobre cada uno de estos tres ejes son la derivada de su ángulo asociado (lo cual es equivalente a descomponer la rotación instantánea en tres rotaciones instantáneas de Euler ). Por lo tanto: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\alpha }}\mathbf {u} _{1}+{\dot {\beta }}\mathbf {u} _{2}+{\dot {\gamma }}\mathbf {u} _{3}}$

Esta base no es ortonormal y es difícil de usar, pero ahora el vector de velocidad se puede cambiar al sistema de referencia fijo o al sistema de referencia móvil con solo cambiar de base. Por ejemplo, cambiando al sistema de referencia móvil:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\dot {\alpha }}\sin \beta \sin \gamma +{\dot {\beta }}\cos \gamma ){\hat {\mathbf {i} }}+({\dot {\alpha }}\sin \beta \cos \gamma -{\dot {\beta }}\sin \gamma ){\hat {\mathbf {j} }}+({\dot {\alpha }}\cos \beta +{\dot {\gamma }}){\hat {\mathbf {k} }}}$

dónde${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}$son vectores unitarios para el sistema de referencia fijo en el cuerpo en movimiento. Este ejemplo se ha realizado utilizando la convención ZXZ para los ángulos de Euler.