La paradoja de Russell

En lógica matemática , la paradoja de Russell (también conocida como antinomia de Russell ) es una paradoja de la teoría de conjuntos publicada por el filósofo y matemático británico Bertrand Russell en 1901. ^{[ 1 ] [ 2 ]} La paradoja de Russell muestra que toda teoría de conjuntos que contiene un principio de comprensión irrestricta conduce a contradicciones. ^{[ 3 ]}

Según el principio de comprensión irrestricta, para cualquier propiedad suficientemente bien definida , existe el conjunto de todos y solo los objetos que poseen dicha propiedad. Sea R el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos (a veces llamado "conjunto de Russell"). Si R no es miembro de sí mismo, entonces su definición implica que sí lo es; sin embargo, si es miembro de sí mismo, entonces no lo es, puesto que es el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. La contradicción resultante es la paradoja de Russell. En símbolos:

Dejar${\displaystyle R=\{x\mid x\not \in x\}.}$Entonces${\displaystyle R\in R\iff R\not \in R.}$

Russell también demostró que una versión de la paradoja podía derivarse del sistema axiomático construido por el filósofo y matemático alemán Gottlob Frege , socavando así el intento de Frege de reducir las matemáticas a la lógica y poniendo en tela de juicio el programa logicista . En 1908 se propusieron dos formas influyentes de evitar la paradoja: la teoría de tipos del propio Russell y la teoría de conjuntos de Zermelo . En particular, los axiomas de Zermelo restringían el principio de comprensión ilimitada. Con las contribuciones adicionales de Abraham Fraenkel , la teoría de conjuntos de Zermelo se desarrolló hasta convertirse en la teoría de conjuntos estándar de Zermelo-Fraenkel (conocida comúnmente como ZFC cuando incluye el axioma de elección ). La principal diferencia entre la solución de Russell y la de Zermelo a la paradoja es que Zermelo modificó los axiomas de la teoría de conjuntos manteniendo un lenguaje lógico estándar, mientras que Russell modificó el lenguaje lógico en sí. El lenguaje de ZFC, con la ayuda de Thoralf Skolem , resultó ser el de la lógica de primer orden . ^{[ 4 ]}

La paradoja ya había sido descubierta independientemente por el matemático alemán Ernst Zermelo en 1902, y posiblemente ya en 1899. ^{[ 5 ]} Sin embargo, Zermelo no publicó la idea, que permaneció conocida solo por David Hilbert , Edmund Husserl y otros académicos de la Universidad de Göttingen . Además, Zermelo no consideró la aparición de las paradojas como una crisis, ya que creía que podían evitarse si los matemáticos se limitaban a un número reducido de principios establecidos (axiomas). ^{[ 6 ] [ 7 ]} A finales de la década de 1890, Georg Cantor —considerado el fundador de la teoría moderna de conjuntos— ya se había dado cuenta de que su teoría conduciría a una contradicción (con el teorema de Cantor ) ^{[ 8 ]} , como les comunicó a Hilbert y Richard Dedekind por carta. ^{[ 9 ]} Hilbert también formuló su propia paradoja, que se basaba en un razonamiento similar al argumento diagonal de Cantor. Según Hilbert, incluso dio origen a la versión de Ernst Zermelo de la paradoja de Russell. ^{[ 10 ]}

La mayoría de los conjuntos que encontramos habitualmente no son miembros de sí mismos. Un conjunto se denomina "normal" si no es miembro de sí mismo, y "anormal" si lo es. Evidentemente, todo conjunto debe ser normal o anormal. Por ejemplo, consideremos el conjunto de todos los cuadrados en un plano . Este conjunto no es un cuadrado en el plano, por lo que no es miembro de sí mismo y, por lo tanto, es normal. En cambio, el conjunto complementario, que contiene todo lo que no es un cuadrado en el plano, tampoco es un cuadrado en el plano, por lo que es uno de sus propios miembros y, por lo tanto, es anormal.

Consideremos el conjunto de todos los conjuntos normales, R , e intentemos determinar si R es normal o anormal. Si R fuera normal, estaría contenido en el conjunto de todos los conjuntos normales (él mismo) y, por lo tanto, sería anormal; por otro lado, si R fuera anormal, no estaría contenido en el conjunto de todos los conjuntos normales (él mismo) y, por lo tanto, sería normal. Esto nos lleva a la conclusión de que R no es ni normal ni anormal: la paradoja de Russell.

El término " teoría ingenua de conjuntos " se utiliza de diversas maneras. En un uso, la teoría ingenua de conjuntos es una teoría formal, que se formula en un lenguaje de primer orden con un predicado binario no lógico.${\displaystyle \in }$y eso incluye el axioma de extensionalidad :

y el esquema axiomático de comprensión irrestricta :

${\displaystyle \exists y\forall x(x\in y\iff \varphi (x))}$

para cualquier predicado${\displaystyle \varphi }$con x como variable libre dentro${\displaystyle \varphi }$. Sustituto${\displaystyle x\notin x}$para${\displaystyle \varphi (x)}$Llegar

${\displaystyle \exists y\forall x(x\in y\iff x\notin x)}$

Luego, mediante instanciación existencial (reutilizando el símbolo)${\displaystyle y}$) y la instanciación universal que tenemos

${\displaystyle y\in y\iff y\notin y,}$

una contradicción. Por lo tanto, esta teoría ingenua de conjuntos es inconsistente . ^{[ 11 ]}

Antes de la paradoja de Russell (y de otras paradojas similares descubiertas en ese momento, como la paradoja de Burali-Forti ), una concepción común de la idea de conjunto era el "concepto extensional de conjunto", como lo relataron von Neumann y Morgenstern: ^{[ 12 ]}

Un conjunto es una colección arbitraria de objetos, sin ninguna restricción sobre la naturaleza ni la cantidad de estos objetos, los elementos del conjunto en cuestión. Los elementos constituyen y determinan el conjunto como tal, sin ningún orden ni relación de ningún tipo entre ellos.

En particular, no se distinguía entre conjuntos y clases propias como colecciones de objetos. Además, se consideraba que la existencia de cada uno de los elementos de una colección era suficiente para la existencia del conjunto de dichos elementos. Sin embargo, paradojas como las de Russell y Burali-Forti demostraron la imposibilidad de esta concepción de conjunto, mediante ejemplos de colecciones de objetos que no forman conjuntos, a pesar de que todos dichos objetos existan.

Según el principio de explosión de la lógica clásica , cualquier proposición puede demostrarse a partir de una contradicción . Por lo tanto, la presencia de contradicciones como la paradoja de Russell en una teoría de conjuntos axiomática resulta desastrosa, ya que si se puede demostrar la veracidad de una fórmula, se destruye el significado convencional de verdad y falsedad. Además, dado que la teoría de conjuntos se consideraba la base del desarrollo axiomático de todas las demás ramas de las matemáticas, la paradoja de Russell amenazaba los fundamentos de las matemáticas en su conjunto. Esto impulsó una intensa investigación a principios del siglo XX para desarrollar una teoría de conjuntos consistente (libre de contradicciones).

En 1908, Ernst Zermelo propuso una axiomatización de la teoría de conjuntos que evitaba las paradojas de la teoría de conjuntos ingenua al reemplazar la comprensión arbitraria de conjuntos con axiomas de existencia más débiles, como su axioma de separación ( Aussonderung ). (Evitar la paradoja no era la intención original de Zermelo, sino documentar las suposiciones que utilizó para demostrar el teorema del buen orden ). ^{[ 13 ]} Las modificaciones a esta teoría axiomática propuestas en la década de 1920 por Abraham Fraenkel , Thoralf Skolem y el propio Zermelo dieron como resultado la teoría axiomática de conjuntos llamada ZFC . Esta teoría fue ampliamente aceptada una vez que el axioma de elección de Zermelo dejó de ser controvertido, y ZFC ha permanecido como la teoría axiomática de conjuntos canónica hasta nuestros días.

ZFC no presupone que, para cada propiedad, exista un conjunto de todas las cosas que la satisfacen. Más bien, afirma que, dado cualquier conjunto X , existe cualquier subconjunto de X definible mediante lógica de primer orden . El objeto R definido por la paradoja de Russell mencionada anteriormente no puede construirse como un subconjunto de ningún conjunto X y, por lo tanto, no es un conjunto en ZFC. En algunas extensiones de ZFC, como la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel , los objetos como R se denominan clases propias .

ZFC guarda silencio sobre los tipos, aunque la jerarquía acumulativa tiene una noción de capas que se asemejan a los tipos. El propio Zermelo nunca aceptó la formulación de Skolem de ZFC utilizando el lenguaje de la lógica de primer orden. Como señala José Ferreirós, Zermelo insistió en cambio en que "las funciones proposicionales (condiciones o predicados) utilizadas para separar subconjuntos, así como las funciones de reemplazo, pueden ser 'completamente arbitrarias ' [ganz beliebig ]"; la interpretación moderna de esta afirmación es que Zermelo quería incluir la cuantificación de orden superior para evitar la paradoja de Skolem . Alrededor de 1930, Zermelo también introdujo (aparentemente independientemente de von Neumann) el axioma de fundación , de modo que —como observa Ferreirós— "al prohibir los conjuntos 'circulares' y 'sin fundamento', [ZFC] incorporó una de las motivaciones cruciales de la TT [teoría de tipos]: el principio de los tipos de argumentos". Este ZFC de segundo orden, preferido por Zermelo, que incluye el axioma de fundación, permitió una rica jerarquía acumulativa. Ferreirós escribe que «las "capas" de Zermelo son esencialmente las mismas que los tipos en las versiones contemporáneas de la teoría de tipos simple (TT) ofrecidas por Gödel y Tarski. La jerarquía acumulativa en la que Zermelo desarrolló sus modelos puede describirse como el universo de una TT acumulativa en la que se permiten tipos transfinitos. (Una vez que se adopta un punto de vista impredicativo, abandonando la idea de que las clases se construyen, es natural aceptar los tipos transfinitos). Así, la TT simple y la ZFC podrían considerarse sistemas que "hablan" esencialmente sobre los mismos objetos previstos. La principal diferencia es que la TT se basa en una lógica de orden superior fuerte, mientras que Zermelo empleó lógica de segundo orden, y a la ZFC también se le puede dar una formulación de primer orden. La "descripción" de primer orden de la jerarquía acumulativa es mucho más débil, como lo demuestra la existencia de modelos numerables (paradoja de Skolem), pero goza de algunas ventajas importantes». ^{[ 14 ]}

En ZFC, dado un conjunto A , es posible definir un conjunto B que consta exactamente de los conjuntos de A que no son miembros de sí mismos. B no puede pertenecer a A por el mismo razonamiento que en la paradoja de Russell. Esta variación de la paradoja de Russell demuestra que ningún conjunto contiene todo.

Gracias al trabajo de Zermelo y otros, especialmente John von Neumann , la estructura de lo que algunos consideran los objetos "naturales" descritos por ZFC finalmente se hizo clara: son los elementos del universo de von Neumann , V , construidos a partir del conjunto vacío mediante la iteración transfinita de la operación de conjunto potencia . De este modo, es posible razonar sobre conjuntos de forma no axiomática sin incurrir en la paradoja de Russell, es decir, razonando sobre los elementos de V. Si es apropiado pensar en los conjuntos de esta manera es un punto de controversia entre las diferentes posturas en la filosofía de las matemáticas .

Otras soluciones a la paradoja de Russell, con una estrategia subyacente más cercana a la de la teoría de tipos , incluyen las Nuevas Fundaciones de Quine y la teoría de conjuntos de Scott-Potter . Otro enfoque consiste en definir relaciones de pertenencia múltiple con un esquema de comprensión modificado adecuadamente, como en la teoría de conjuntos de doble extensión .

Russell descubrió la paradoja en mayo ^{[ 15 ]} 1901 y la paradoja estaba contenida en el borrador de mayo de 1901 de la Parte I de Principios de Matemáticas . ^{[ 16 ]} Según su propio relato en su Introducción a la Filosofía Matemática de 1919 , "intentó descubrir algún fallo en la prueba de Cantor de que no existe un cardinal mayor". ^{[ 17 ]} En una carta de 1902, ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]} anunció el descubrimiento a Gottlob Frege de la paradoja en el Begriffsschrift de Frege de 1879 y planteó el problema en términos tanto de lógica como de teoría de conjuntos, y en particular en términos de la definición de función de Frege : ^{[ a ] ​​[ b ]}

Solo hay un punto en el que he encontrado una dificultad. Usted afirma (pág. 17 [pág. 23 arriba]) que una función también puede actuar como elemento indeterminado. Esto lo creía anteriormente, pero ahora esta opinión me parece dudosa debido a la siguiente contradicción. Sea w el predicado: ser un predicado que no puede predicarse de sí mismo. ¿Puede predicarse w de sí mismo? De cada respuesta se deduce su opuesto. Por lo tanto, debemos concluir que w no es un predicado. Del mismo modo, no existe una clase (como totalidad) de aquellas clases que, cada una considerada como una totalidad, no se pertenezca a sí misma. De esto concluyo que, bajo ciertas circunstancias, una colección definible [Menge] no forma una totalidad.

Russell lo trataría extensamente en su obra de 1903, Los principios de las matemáticas , donde repitió su primer encuentro con la paradoja: ^{[ 21 ]}

Antes de abandonar las cuestiones fundamentales, es necesario examinar con más detalle la singular contradicción, ya mencionada, respecto a los predicados que no son predicables por sí mismos. ... Cabe mencionar que llegué a esta conclusión al intentar conciliar la demostración de Cantor....

Russell escribió a Frege sobre la paradoja justo cuando Frege preparaba el segundo volumen de sus Grundgesetze der Arithmetik . ^{[ 22 ]} Frege respondió a Russell muy rápidamente; su carta, fechada el 22 de junio de 1902, apareció con el comentario de van Heijenoort en Heijenoort 1967:126–127. Frege escribió entonces un apéndice admitiendo la paradoja, ^{[ 23 ]} y propuso una solución que Russell respaldaría en sus Principles of Mathematics , ^{[ 24 ]} pero que posteriormente algunos consideraron insatisfactoria. ^{[ 25 ]} Por su parte, Russell mandó imprimir su obra y añadió un apéndice sobre la doctrina de los tipos . ^{[ 26 ]}

Ernst Zermelo, en su obra de 1908, « Una nueva prueba de la posibilidad de un buen ordenamiento» (publicada al mismo tiempo que «la primera teoría axiomática de conjuntos») ^{[ 27 ],} reivindicó el descubrimiento previo de la antinomia en la ingenua teoría de conjuntos de Cantor. Afirma: «Y, sin embargo, incluso la forma elemental que Russell ^[9] dio a las antinomias de la teoría de conjuntos podría haberlos persuadido [a J. König, Jourdain, F. Bernstein] de que la solución a estas dificultades no debe buscarse en la renuncia al buen ordenamiento, sino solo en una restricción adecuada de la noción de conjunto». ^{[ 28 ]} En la nota al pie 9 es donde fundamenta su afirmación:

⁹ 1903 , págs. 366–368. Sin embargo, yo mismo había descubierto esta antinomia, independientemente de Russell, y se la había comunicado antes de 1903 al profesor Hilbert, entre otros. ^{[ 29 ]}

Frege envió una copia de sus Grundgesetze der Arithmetik a Hilbert; como se mencionó anteriormente, el último volumen de Frege mencionaba la paradoja que Russell le había comunicado. Tras recibir el último volumen de Frege, el 7 de noviembre de 1903, Hilbert le escribió una carta en la que, refiriéndose a la paradoja de Russell, decía: «Creo que el Dr. Zermelo la descubrió hace tres o cuatro años». Se encontró un relato escrito del argumento de Zermelo en el legado de Edmund Husserl . ^{[ 30 ]}

En 1923, Ludwig Wittgenstein propuso "resolver" la paradoja de Russell de la siguiente manera:

La razón por la que una función no puede ser su propio argumento es que el signo de una función ya contiene el prototipo de su argumento, y no puede contenerse a sí mismo. Supongamos que la función F(fx) pudiera ser su propio argumento: en ese caso existiría una proposición F(F(fx)) , en la que la función externa F y la función interna F deben tener significados diferentes, puesto que la interna tiene la forma O(fx) y la externa la forma Y(O(fx)) . Solo la letra 'F' es común a ambas funciones, pero la letra por sí sola no significa nada. Esto se hace evidente inmediatamente si en lugar de F(Fu) escribimos (hacemos)  : F(Ou). Ou = Fu . Esto resuelve la paradoja de Russell. ( Tractatus Logico-Philosophicus , 3.333)

Russell y Alfred North Whitehead escribieron sus Principia Mathematica en tres volúmenes con la esperanza de lograr lo que Frege no había podido. Buscaban desterrar las paradojas de la teoría ingenua de conjuntos empleando una teoría de tipos que idearon para tal fin. Si bien lograron fundamentar la aritmética en cierta medida, no es en absoluto evidente que lo hicieran por medios puramente lógicos. Aunque Principia Mathematica evitó las paradojas conocidas y permite la derivación de gran parte de las matemáticas, su sistema dio lugar a nuevos problemas.

En cualquier caso, Kurt Gödel demostró entre 1930 y 1931 que, si bien la lógica de gran parte de Principia Mathematica , posteriormente conocida como lógica de primer orden, es completa , la aritmética de Peano es necesariamente incompleta si es consistente . Esto se considera ampliamente —aunque no universalmente— como una prueba de que el programa logicista de Frege es imposible de completar.

En 2001, se celebró en Múnich una Conferencia Internacional del Centenario que conmemoraba los primeros cien años de la paradoja de Russell, y sus actas se han publicado. ^{[ 31 ]}

Algunas versiones de esta paradoja se acercan más a la vida real y pueden ser más fáciles de entender para quienes no son lógicos. Por ejemplo, la paradoja del barbero supone que un barbero afeita a todos los hombres que no se afeitan y solo a los hombres que no se afeitan. Al pensar si el barbero se afeita o no, surge una paradoja similar. ^{[ 32 ]}

Una excepción podría ser la paradoja de Grelling-Nelson , en la que las palabras y el significado son los elementos del escenario, en lugar de las personas y el acto de cortar el pelo. Si bien es fácil refutar la paradoja del barbero diciendo que tal barbero no existe (ni puede existir), es imposible decir algo similar sobre una palabra definida con significado.

Una forma de dramatizar la paradoja es la siguiente: supongamos que cada biblioteca pública debe compilar un catálogo de todos sus libros. Dado que el catálogo es en sí mismo uno de los libros de la biblioteca, algunos bibliotecarios lo incluyen para mayor exhaustividad; mientras que otros lo omiten, ya que es evidente que forma parte de los libros de la biblioteca. A continuación, imaginemos que todos estos catálogos se envían a la biblioteca nacional. Algunos se incluyen a sí mismos en sus listados, otros no. El bibliotecario nacional compila dos catálogos maestros: uno con todos los catálogos que se incluyen a sí mismos y otro con todos los que no. ^{[ 33 ]}

La pregunta es: ¿deberían estos catálogos maestros incluirse a sí mismos? El «catálogo de todos los catálogos que se incluyen a sí mismos» no presenta ningún problema. Si el bibliotecario no lo incluye en su propia lista, sigue siendo un catálogo verdadero de aquellos catálogos que sí se incluyen. Si lo incluye, sigue siendo un catálogo verdadero de aquellos que se incluyen a sí mismos. Sin embargo, así como el bibliotecario no puede equivocarse con el primer catálogo maestro, está condenado al fracaso con el segundo. En cuanto al «catálogo de todos los catálogos que no se incluyen a sí mismos», el bibliotecario no puede incluirlo en su propia lista, porque entonces se incluiría a sí mismo y, por lo tanto, pertenecería al otro catálogo, el de los catálogos que sí se incluyen. Sin embargo, si el bibliotecario lo omite, el catálogo está incompleto. En cualquier caso, nunca podrá ser un verdadero catálogo maestro de catálogos que no se incluyen a sí mismos. ^{[ 33 ]}

• La paradoja de Burali-Forti , sobre el tipo de orden de todos los buenos ordenamientos.
• La paradoja de Curry (llamada así por Haskell Curry ), que no requiere negación.
• La paradoja de Girard en la teoría de tipos.
• La paradoja de Kleene-Rosser , que demuestra que el cálculo lambda original es inconsistente, mediante una afirmación autonegativa.
• La paradoja del entero más pequeño y poco interesante

• Ley Fundamental V
• El argumento diagonal de Cantor : demostración en teoría de conjuntos. 
• Teoremas de incompletitud de Gödel : resultados limitativos en lógica matemática. 
• El primer problema de Hilbert : una proposición en lógica matemática. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 
• Lista de paradojas autorreferenciales
• " Sobre la denotación "
• Paradojas de la teoría de conjuntos
• La paradoja de Quine
• Autorreferencia
• Bucle extraño : ciclos que recorren una jerarquía. 
• Conjunto universal : conjunto matemático que contiene todos los objetos. 

• Kaplan, Jeffrey (2022). "La paradoja de Russell: una explicación sencilla de un problema profundo" . YouTube . Consultado el 25 de noviembre de 2023 .

• Fieser, James; Dowden, Bradley (eds.). "La paradoja de Russell" . Internet Encyclopedia of Philosophy . ISSN 2161-0002 . OCLC 37741658 .  
• Irvine, Andrew David (2016). "La paradoja de Russell" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de filosofía de Stanford . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  
• Weisstein, Eric W. "La antinomia de Russell" . MathWorld .
• "La paradoja de Russell" . Cut-the-Knot . Consultado el 25 de noviembre de 2023 .