Modelo de volatilidad SABR

En finanzas matemáticas , el modelo SABR es un modelo de volatilidad estocástica que intenta capturar la sonrisa de volatilidad en los mercados de derivados. Su nombre significa " alfa , beta y rho estocásticos ", en referencia a los parámetros del modelo. El modelo SABR es ampliamente utilizado por profesionales del sector financiero, especialmente en los mercados de derivados de tipos de interés . Fue desarrollado por Patrick S. Hagan, Deep Kumar, Andrew Lesniewski y Diana Woodward. ^{[ 1 ]}

El modelo SABR describe un único avance${\displaystyle F}$como una tasa a plazo LIBOR , una tasa de swap a plazo o un precio de acciones a plazo. Este es uno de los estándares del mercado utilizados por los participantes del mercado para cotizar volatilidades. La volatilidad del contrato a plazo${\displaystyle F}$se describe mediante un parámetro${\displaystyle \sigma }$. SABR es un modelo dinámico en el que ambos${\displaystyle F}$y${\displaystyle \sigma }$están representadas por variables de estado estocásticas cuya evolución temporal viene dada por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales estocásticas :

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}\left(F_{t}\right)^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}^{}\,dZ_{t},}$

con los valores prescritos del tiempo cero (actualmente observados)${\displaystyle F_{0}}$y${\displaystyle \sigma _{0}}$. Aquí,${\displaystyle W_{t}}$y${\displaystyle Z_{t}}$son dos procesos de Wiener correlacionados con coeficiente de correlación${\displaystyle -1<\rho <1}$:

${\displaystyle dW_{t}\,dZ_{t}=\rho \,dt}$

Los parámetros constantes${\displaystyle \beta ,\;\alpha }$cumplir las condiciones${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1,\;\alpha \geq 0}$. ${\displaystyle \alpha }$es un parámetro similar a la volatilidad para la volatilidad.${\displaystyle \rho }$es la correlación instantánea entre el activo subyacente y su volatilidad. La volatilidad inicial${\displaystyle \sigma _{0}}$controla la altura del nivel de volatilidad implícita ATM . Tanto la correlación${\displaystyle \rho }$y${\displaystyle \beta }$controla la pendiente de la asimetría implícita. La volatilidad de la volatilidad${\displaystyle \alpha }$controla su curvatura.

La dinámica anterior es una versión estocástica del modelo CEV con el parámetro de asimetría .${\displaystyle \beta }$: de hecho, se reduce al modelo CEV si${\displaystyle \alpha =0}$El parámetro${\displaystyle \alpha }$A menudo se le denomina volvol , y su significado es el de la volatilidad lognormal del parámetro de volatilidad.${\displaystyle \sigma }$.

Consideramos una opción europea (por ejemplo, una opción de compra) sobre el contrato a plazo.${\displaystyle F}$golpeado en${\displaystyle K}$, que expira${\displaystyle T}$dentro de años. El valor de esta opción es igual al valor esperado del pago, debidamente descontado.${\displaystyle \max(F_{T}-K,\;0)}$bajo la distribución de probabilidad del proceso${\displaystyle F_{t}}$.

Excepto en los casos especiales de${\displaystyle \beta =0}$y${\displaystyle \beta =1}$No se conoce ninguna expresión analítica para esta distribución de probabilidad. El caso general puede resolverse aproximadamente mediante un desarrollo asintótico en el parámetro.${\displaystyle \varepsilon =T\alpha ^{2}}$En condiciones típicas de mercado, este parámetro es pequeño y la solución aproximada resulta bastante precisa. Además, cabe destacar que esta solución tiene una forma funcional bastante simple, es muy fácil de implementar en código informático y se presta bien a la gestión de riesgos de grandes carteras de opciones en tiempo real.

Es conveniente expresar la solución en términos de la volatilidad implícita.${\displaystyle \sigma _{\textrm {impl}}}$de la opción. Es decir, forzamos el precio de la opción del modelo SABR a la forma de la fórmula de valoración del modelo Black . Entonces, la volatilidad implícita, que es el valor del parámetro de volatilidad lognormal en el modelo de Black que lo obliga a coincidir con el precio SABR, viene dada aproximadamente por:

${\displaystyle \sigma _{\text{impl}}=\alpha \;{\frac {\log(F_{0}/K)}{D(\zeta )}}\;\left\{1+\left[{\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}+1/\left(F_{\text{mid}}\right)^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}\right]\varepsilon \right\},}$

donde, para mayor claridad, hemos establecido${\displaystyle C\left(F\right)=F^{\beta }}$La fórmula no está definida cuando${\displaystyle K=F_{0}}$, por lo que lo reemplazamos por su límite como${\displaystyle K\to F_{0}}$, que se obtiene reemplazando el factor${\displaystyle {\frac {\log(F_{0}/K)}{D(\zeta )}}}$por 1. El valor${\displaystyle F_{\text{medio}}}$denota un punto medio convenientemente elegido entre${\displaystyle F_{0}}$y${\displaystyle K}$(como la media geométrica${\displaystyle {\sqrt {F_{0}K}}}$o el promedio aritmético${\displaystyle \left(F_{0}+K\right)/2}$). También hemos establecido

${\displaystyle \zeta ={\frac {\alpha }{\sigma _{0}}}\;\int _{K}^{F_{0}}{\frac {dx}{C(x)}}={\frac {\alpha }{\sigma _{0}(1-\beta )}}\;\left(F_{0}{}^{1-\beta }-K^{1-\beta }\right),}$

y

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {C'(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}}={\frac {\beta }{F_{\text{mid}}}}\;,}$

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {C''(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}}=-{\frac {\beta (1-\beta )}{\left(F_{\text{mid}}\right)^{2}}}\;,}$

La función${\displaystyle D\left(\zeta \right)}$Al introducir la fórmula anterior se obtiene

${\displaystyle D(\zeta )=\log \left({\frac {{\sqrt {1-2\rho \zeta +\zeta ^{2}}}+\zeta -\rho }{1-\rho }}\right).}$

Alternativamente, se puede expresar el precio SABR en términos del modelo de Bachelier . Entonces, la volatilidad normal implícita se puede calcular asintóticamente mediante la siguiente expresión:

${\displaystyle \sigma _{\text{impl}}^{\text{n}}=\alpha \;{\frac {F_{0}-K}{D(\zeta )}}\;\left\{1+\left[{\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}\right]\varepsilon \right\}.}$

Cabe destacar que la volatilidad implícita SABR normal suele ser algo más precisa que la volatilidad implícita lognormal.

La precisión de la aproximación y el grado de arbitraje se pueden mejorar aún más si la volatilidad equivalente bajo el modelo CEV con el mismo${\displaystyle \beta }$se utiliza para opciones de precios. ^{[ 2 ]}

Una extensión del modelo SABR para tipos de interés negativos que ha ganado popularidad en los últimos años es el modelo SABR desplazado, donde se supone que el tipo forward desplazado sigue un proceso SABR.

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}(F_{t}+s)^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}$

para algún cambio positivo${\displaystyle s}$Dado que los cambios se incluyen en las cotizaciones del mercado y existe un límite flexible e intuitivo sobre cuán negativas pueden llegar a ser las tasas, el SABR con cambios se ha convertido en la mejor práctica del mercado para adaptarse a las tasas negativas.

El modelo SABR también puede modificarse para cubrir tipos de interés negativos mediante:

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}|F_{t}|^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}$

para ${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1/2}$y una condición de contorno libre para${\displaystyle F=0}$. Su solución exacta para la correlación cero, así como una aproximación eficiente para un caso general, están disponibles. ^{[ 3 ]} Una desventaja obvia de este enfoque es la suposición a priori de tasas de interés potencialmente muy negativas a través del límite libre.

Aunque la solución asintótica es muy fácil de implementar, la densidad implícita en la aproximación no siempre está libre de arbitraje, especialmente para precios de ejercicio muy bajos (se vuelve negativa o la densidad no se integra a uno).

Una posibilidad para "corregir" la fórmula es utilizar el método de colocación estocástica y proyectar el modelo implícito correspondiente, mal condicionado, sobre un polinomio de variables libres de arbitraje, por ejemplo, la distribución normal. Esto garantizará la igualdad de probabilidad en los puntos de colocación, mientras que la densidad generada estará libre de arbitraje. ^{[ 4 ]} Mediante el método de proyección, se dispone de precios analíticos para opciones europeas y las volatilidades implícitas se mantienen muy cerca de las obtenidas inicialmente por la fórmula asintótica.

Otra posibilidad es recurrir a un solucionador de EDP rápido y robusto basado en una expansión equivalente de la EDP directa, que conserva numéricamente el momento cero y el primer momento, garantizando así la ausencia de arbitraje. ^{[ 5 ]}

El modelo SABR puede extenderse asumiendo que sus parámetros dependen del tiempo. Sin embargo, esto complica el procedimiento de calibración. Un método de calibración avanzado del modelo SABR dependiente del tiempo se basa en los denominados "parámetros efectivos". ^{[ 6 ]}

Alternativamente, Guerrero y Orlando ^{[ 7 ]} demuestran que un modelo de volatilidad estocástica local (SLV) dependiente del tiempo puede reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales parciales autónomas que pueden resolverse utilizando el núcleo de calor, mediante el método de factorización de Wei-Norman y técnicas algebraicas de Lie. Las soluciones explícitas obtenidas con dichas técnicas son comparables a las simulaciones tradicionales de Monte Carlo, lo que permite reducir el tiempo de cálculo numérico.

Como el proceso de volatilidad estocástica sigue un movimiento browniano geométrico , su simulación exacta es sencilla. Sin embargo, la simulación del proceso de activos a plazo no es una tarea trivial. Normalmente se consideran esquemas de simulación basados ​​en Taylor, como Euler-Maruyama o Milstein . Recientemente, se han propuesto nuevos métodos para la simulación de Monte Carlo casi exacta del modelo SABR. ^{[ 8 ]} Recientemente se han considerado estudios extensos para el modelo SABR. ^{[ 9 ]} Para el modelo SABR normal (${\displaystyle \beta =0}$sin condición de contorno en${\displaystyle F=0}$), se conoce un método de simulación de forma cerrada. ^{[ 10 ]}

• Volatilidad (finanzas)
• volatilidad estocástica
• medida neutral al riesgo

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