Grupo universal SQ

En matemáticas , dentro del ámbito de la teoría de grupos , se dice que un grupo numerable es SQ-universal si todo grupo numerable puede incrustarse en uno de sus grupos cociente . La SQ-universalidad puede considerarse una medida del tamaño o la complejidad de un grupo.

Muchos resultados clásicos de la teoría combinatoria de grupos, que se remontan a 1949, se interpretan ahora como afirmaciones de que un grupo o clase de grupos en particular es (son) SQ-universal. Sin embargo, el primer uso explícito del término parece estar en una ponencia pronunciada por Peter Neumann en el Coloquio de Álgebra de Londres, titulada "Grupos SQ-universales", el 23 de mayo de 1968.

En 1949, Graham Higman , Bernhard Neumann y Hanna Neumann demostraron que todo grupo numerable puede incrustarse en un grupo de dos generadores. ^{[ 1 ]} Utilizando el lenguaje contemporáneo de la SQ-universalidad, este resultado afirma que F ₂ , el grupo libre (no abeliano ) con dos generadores , es SQ-universal. Este es el primer ejemplo conocido de un grupo SQ-universal. Actualmente se conocen muchos más ejemplos:

• Agregar dos generadores y un relacionista arbitrario a un grupo no trivial sin torsión siempre resulta en un grupo SQ-universal. ^{[ 2 ]}
• Cualquier grupo no elemental que sea hiperbólico con respecto a una colección de subgrupos propios es SQ-universal. ^{[ 3 ]}
• Muchas extensiones de HNN , productos gratuitos y productos gratuitos con fusión . ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}
• El grupo Coxeter de cuatro generadores con presentación : ^{[ 7 ]}

${\displaystyle P=\left\langle a,b,c,d\,|\,a^{2}=b^{2}=c^{2}=d^{2}=(ab)^{3}=(bc)^{3}=(ac)^{3}=(ad)^{3}=(cd)^{3}=(bd)^{3}=1\right\rangle }$

• Ejemplo de Charles F. Miller III de un grupo SQ-universal finitamente presentado cuyos cocientes no triviales tienen problemas de palabras irresolubles . ^{[ 8 ]}

Además, ahora se conocen versiones mucho más fuertes del teorema de Higmann-Neumann-Neumann. El viejo Houcine demostró:

Para cada grupo numerable G existe un grupo SQ-universal H ^de 2 generadores tal que G puede incrustarse en cada cociente no trivial de H. ^{[ 9} ]

Un grupo libre sobre una cantidad numerable de generadores h ₁ , h ₂ , ..., h _n , ... , por ejemplo, debe ser incrustable en un cociente de un grupo SQ-universal G . Si${\displaystyle h_{1}^{*},h_{2}^{*},\dots ,h_{n}^{*}\dots \in G}$se eligen de tal manera que${\displaystyle h_{n}^{*}\mapsto h_{n}}$Para todo n , entonces deben generar libremente un subgrupo libre de G. Por lo tanto:

Cada grupo SQ-universal tiene como subgrupo un grupo libre en una cantidad numerable de generadores.

Dado que todo grupo numerable puede incrustarse en un grupo simple numerable , a menudo basta con considerar incrustaciones de grupos simples. Esta observación nos permite demostrar fácilmente algunos resultados elementales sobre grupos SQ-universales, por ejemplo:

Si G es un grupo SQ-universal y N es un subgrupo normal de G (es decir,${\displaystyle N\triangleleft G}$) entonces o N es SQ-universal o el grupo cociente G / N es SQ-universal.

Para demostrar esto, supongamos que N no es SQ-universal; entonces existe un grupo numerable K que no puede incrustarse en un grupo cociente de N. Sea H un grupo numerable cualquiera; entonces el producto directo H × K también es numerable y, por lo tanto, puede incrustarse en un grupo simple numerable S. Ahora bien, por hipótesis, G es SQ-universal, por lo que S puede incrustarse en un grupo cociente, G / M , digamos, de G. El segundo teorema de isomorfismo nos dice:

${\displaystyle MN/M\cong N/(M\cap N)}$

Ahora${\displaystyle MN/M\triangleleft G/M}$y S es un subgrupo simple de G / M , por lo que:

${\displaystyle MN/M\cap S\cong 1}$

o:

${\displaystyle S\subseteq MN/M\cong N/(M\cap N)}$.

Esto último no puede ser cierto porque implica K ⊆ H × K ⊆ S ⊆ N /( M ∩ N ) contrario a nuestra elección de K. De ello se deduce que S puede estar incrustado en ( G / M )/( MN / M ), que por el tercer teorema de isomorfismo es isomorfo a G / MN , que a su vez es isomorfo a ( G / N )/( MN / N ). Por lo tanto, S ha sido incrustado en un grupo cociente de G / N , y dado que H ⊆ S era un grupo numerable arbitrario, se deduce que G / N es SQ-universal.

Dado que todo subgrupo H de índice finito en un grupo G contiene un subgrupo normal N también de índice finito en G , ^{[ 10 ]} se deduce fácilmente que:

Si un grupo G es SQ-universal, entonces cualquier subgrupo de índice finito H de G también lo es . La recíproca de esta afirmación también es cierta. ^{[ 11 ]}

En la literatura se encuentran diversas variantes de la universalidad SQ. Se advierte al lector que la terminología en este ámbito aún no es del todo estable y que debe leer esta sección teniendo en cuenta esta salvedad.

Dejar${\displaystyle {\mathcal {P}}}$sea ​​una clase de grupos. (Para los fines de esta sección, los grupos se definen salvo isomorfismo ). Un grupo G se denomina SQ-universal en la clase.${\displaystyle {\mathcal {P}}}$si${\displaystyle G\in {\mathcal {P}}}$y cada grupo contable en${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es isomorfo a un subgrupo de un cociente de G. Se puede demostrar el siguiente resultado:

Sean n , m ∈ Z donde m es impar,${\displaystyle n>10^{78}}$y m > 1, y sea B ( m , n ) el grupo de Burnside m-generador libre , entonces todo subgrupo no cíclico de B ( m , n ) es SQ-universal en la clase de grupos de exponente n .

Dejar${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ser una clase de grupos. Un grupo G se llama SQ-universal para la clase${\displaystyle {\mathcal {P}}}$si cada grupo en${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es isomorfo a un subgrupo de un cociente de G. Nótese que no hay ningún requisito de que${\displaystyle G\in {\mathcal {P}}}$ni que ningún grupo sea contable.

La definición estándar de SQ-universalidad es equivalente a SQ-universalidad tanto en como para la clase de grupos contables.

Dado un grupo numerable G , se denomina G- estable a un grupo SQ-universal H si todo grupo cociente no trivial de H contiene una copia de G.${\displaystyle {\mathcal {G}}}$Sea la clase de grupos SQ-universales finitamente presentados que son G -estables para algún G , entonces la versión de Houcine del teorema HNN que se puede reformular como:

El grupo libre en dos generadores es SQ-universal para${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.

Sin embargo, existen infinitos grupos finitamente generados, y un grupo numerable solo puede tener un número numerable de subgrupos finitamente generados. De esto se deduce fácilmente que:

Ningún grupo puede ser universal en SQ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.

Una clase infinita${\displaystyle {\mathcal {P}}}$de grupos es envolvible si se le dan grupos${\displaystyle F,G\in {\mathcal {P}}}$existe un grupo simple S y un grupo${\displaystyle H\in {\mathcal {P}}}$De tal manera que F y G pueden incrustarse en S y S puede incrustarse en H. Es fácil demostrarlo:

Si${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es una clase de grupos envolvibles, G es un SQ-universal para${\displaystyle {\mathcal {P}}}$y${\displaystyle N\triangleleft G}$entonces N es SQ-universal para${\displaystyle {\mathcal {P}}}$o G / N es universal SQ para${\displaystyle {\mathcal {P}}}$.

Si${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es una clase de grupos envolvible y H tiene un índice finito en G , entonces G es SQ-universal para la clase${\displaystyle {\mathcal {P}}}$si y solo si H es SQ-universal para${\displaystyle {\mathcal {P}}}$.

La motivación para la definición de clase envolvible proviene de resultados como el teorema de Boone-Higman , que establece que un grupo numerable G tiene un problema de palabras soluble si y solo si puede incrustarse en un grupo simple S que puede incrustarse en un grupo finitamente presentado F. Houcine ha demostrado que el grupo F puede construirse de manera que también tenga un problema de palabras soluble. Esto, junto con el hecho de que tomar el producto directo de dos grupos preserva la solubilidad del problema de palabras, demuestra que:

La clase de todos los grupos finitamente presentados con problema de palabras soluble es envolvible.

Otros ejemplos de clases de grupos que se pueden envolver son:

• La clase de grupos finitos .
• La clase de grupos libres de torsión.
• La clase de grupos libres de torsión contables.
• La clase de todos los grupos de una cardinalidad infinita dada .

El hecho de que una clase${\displaystyle {\mathcal {P}}}$que sea envolvible no implica que ningún grupo sea universalmente SQ para${\displaystyle {\mathcal {P}}}$. Está claro, por ejemplo, que algún tipo de restricción de cardinalidad para los miembros de${\displaystyle {\mathcal {P}}}$se requiere.

Si reemplazamos la frase "isomorfo a un subgrupo de un cociente de" por "isomorfo a un subgrupo de" en la definición de "SQ-universal", obtenemos el concepto más fuerte de S-universal (respectivamente S-universal para/en${\displaystyle {\mathcal {P}}}$). El teorema de incrustación de Higman se puede utilizar para demostrar que existe un grupo finitamente presentado que contiene una copia de cada grupo finitamente presentado. Si${\displaystyle {\mathcal {W}}}$es la clase de todos los grupos finitamente presentados con problema de palabras soluble, entonces se sabe que no existe un algoritmo uniforme para resolver el problema de palabras para grupos en${\displaystyle {\mathcal {W}}}$De ello se deduce, aunque la demostración no es tan sencilla como cabría esperar, que ningún grupo en${\displaystyle {\mathcal {W}}}$puede contener una copia de cada grupo en${\displaystyle {\mathcal {W}}}$. Pero está claro que cualquier grupo SQ-universal es un SQ-universal fortiori para${\displaystyle {\mathcal {W}}}$Si dejamos${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Sea F la clase de grupos finitamente presentados, y F ₂ el grupo libre sobre dos generadores, podemos resumirlo como:

• F ₂ es SQ-universal en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$y${\displaystyle {\mathcal {W}}}$.
• Existe un grupo que es S-universal en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.
• Ningún grupo es S-universal en${\displaystyle {\mathcal {W}}}$.

Las siguientes preguntas están abiertas (la segunda implica la primera):

• ¿Existe un grupo contable que no sea SQ-universal pero sí SQ-universal para${\displaystyle {\mathcal {W}}}$¿
• ¿Existe un grupo contable que no sea SQ-universal pero sí SQ-universal en${\displaystyle {\mathcal {W}}}$¿

Si bien es bastante difícil demostrar que F ₂ es SQ-universal, el hecho de que sea SQ-universal para la clase de grupos finitos se deduce fácilmente de estos dos hechos:

• Todo grupo simétrico en un conjunto finito puede ser generado por dos elementos.
• Todo grupo finito puede incrustarse dentro de un grupo simétrico; el ejemplo natural es el grupo de Cayley , que es el grupo simétrico que actúa sobre este grupo como el conjunto finito.

Si${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es una categoría y${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es una clase de objetos de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, entonces la definición de SQ-universal para${\displaystyle {\mathcal {P}}}$Tiene sentido claramente. Si${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es una categoría concreta , entonces la definición de SQ-universal en${\displaystyle {\mathcal {P}}}$también tiene sentido. Como en el caso de la teoría de grupos, usamos el término SQ-universal para un objeto que es SQ-universal tanto para como en la clase de objetos contables de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Muchos teoremas de incrustación pueden reformularse en términos de SQ-universalidad. El teorema de Shirshov, que establece que un álgebra de Lie de dimensión finita o numerable puede incrustarse en un álgebra de Lie con 2 generadores, es equivalente a la afirmación de que el álgebra de Lie libre con 2 generadores es SQ-universal (en la categoría de álgebras de Lie). Esto puede demostrarse probando una versión del teorema de Higman, Neumann, Neumann para álgebras de Lie. ^{[ 12 ]} Sin embargo, pueden demostrarse versiones del teorema HNN para categorías donde no existe una idea clara de un objeto libre . Por ejemplo, puede demostrarse que todo grupo topológico separable es isomorfo a un subgrupo topológico de un grupo que tiene dos generadores topológicos (es decir, que tiene un subgrupo denso con 2 generadores). ^{[ 13 ]}

Un concepto similar se aplica a las retículas libres . La retícula libre en tres generadores es infinitamente numerable. Tiene como subretícula la retícula libre en cuatro generadores y, por inducción, como subretícula la retícula libre en un número numerable de generadores. ^{[ 14 ]}

• Lawson, MV (1998). Semigrupos inversos: la teoría de las simetrías parciales . World Scientific. ISBN 978-981-02-3316-7.