Grupo unitario especial

En la literatura de física, es común identificar el álgebra de Lie con el espacio de matrices hermíticas de traza cero (en lugar de antihermíticas). Es decir, el álgebra de Lie de los físicos difiere por un factor de${\displaystyle i}$de los matemáticos. Con esta convención, se pueden elegir generadores T _a que sean matrices hermíticas complejas n × n sin traza , donde: $${\displaystyle T_{a}\,T_{b}={\tfrac {1}{\,2n\,}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+{\tfrac {1}{2}}\,\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)\,T_{c}}$$ donde las f son las constantes de estructura y son antisimétricas en todos los índices, mientras que los coeficientes d son simétricos en todos los índices.

En consecuencia, el conmutador es: $${\displaystyle ~\left[T_{a},\,T_{b}\right]~=~i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\,f_{abc}\,T_{c}\;,}$$ y el anticonmutador correspondiente es: $${\displaystyle \left\{T_{a},\,T_{b}\right\}~=~{\tfrac {1}{n}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}\,T_{c}}~.}$$

El factor i en la relación de conmutación surge de la convención física y no está presente cuando se utiliza la convención de los matemáticos.

La condición de normalización convencional es $${\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}\,d_{bce}={\frac {\,n^{2}-4\,}{n}}\,\delta _{ab}~.}$$

Los generadores satisfacen la identidad de Jacobi: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle [T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{a},T_{b}]]=0.}$$

Por convención, en la literatura física los generadores${\displaystyle T_{a}}$se definen como matrices complejas hermíticas sin traza con un factor 1/2 : para SU(2) , los generadores se eligen como${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sigma _{1}}$,​​${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sigma _{2}}$⁠ ,${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sigma _{3}}$dónde${\displaystyle \sigma _{a}}$son las matrices de Pauli , mientras que para el caso de SU(3) se define${\displaystyle T_{a}={\tfrac {1}{2}}\lambda _{a}}$dónde${\displaystyle \lambda _{a}}$son las matrices de Gell-Mann . ^{[ 6 ]} Con estas definiciones, los generadores satisfacen la siguiente condición de normalización: $${\displaystyle Tr(T_{a}T_{b})={\frac {1}{2}}\delta _{ab}.}$$

En la representación adjunta de ^{(n² - 1) dimensiones, los generadores están representados por matrices de (n² - 1) × (n²} - 1 ⁾ , cuyos elementos ^están definidos por las constantes de estructura mismas: $${\displaystyle \left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.}$$

Si consideramos${\displaystyle \alpha,\beta}$como pareja en${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$dónde${\displaystyle \alpha =a+bi}$y​${\displaystyle \beta =c+di}$⁠ , entonces la ecuación${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$se convierte $${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}$$

Esta es la ecuación de la 3-esfera S ³ . Esto también se puede ver usando una incrustación: el mapa $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\to {}&\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )={}&{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$denota el conjunto de matrices complejas de 2 por 2, es una aplicación lineal real inyectiva (considerando${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$difeomorfo a${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$y${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$difeomorfo a ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$⁠ ). Por lo tanto, la restricción de φ a la 3-esfera (ya que el módulo es 1 ), denotada S ³ , es una incrustación de la 3-esfera en una subvariedad compacta de ⁠${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$⁠ , es decir, φ ( S ³ ) = SU(2) .

Por lo tanto, como variedad, S ³ es difeomorfo a SU(2) , lo que muestra que SU(2) es simplemente conexo y que S ³ puede ser dotado con la estructura de un grupo de Lie compacto y conexo .

Los cuaterniones de norma 1 se denominan versores ya que generan el grupo de rotación SO(3) : La matriz SU(2) :$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )}$$ se puede mapear al cuaternión $${\displaystyle a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}}$$

Este mapa es, de hecho, un isomorfismo de grupo . Además, el determinante de la matriz es la norma al cuadrado del cuaternión correspondiente. Claramente, cualquier matriz en SU(2) tiene esta forma y, dado que su determinante es 1 , el cuaternión correspondiente tiene norma 1. Por lo tanto, SU(2) es isomorfo al grupo de versores. ^{[ 8 ]} 

Cada versor está asociado naturalmente a una rotación espacial en 3 dimensiones, y el producto de versores está asociado a la composición de las rotaciones asociadas. Además, cada rotación surge de exactamente dos versores de esta manera. En resumen: hay un homomorfismo sobreyectivo 2:1 de SU(2) a SO(3) ; por consiguiente, SO(3) es isomorfo al grupo cociente SU(2)/{±I} , la variedad subyacente a SO(3) se obtiene identificando puntos antipodales de la 3-esfera S ³ , y SU(2) es el recubrimiento universal de SO(3) .

El álgebra de Lie de SU(2) consta de matrices antihermíticas de 2 × 2 con traza cero. ^{[ 9 ]} Explícitamente, esto significa $${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}:\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.}$$

El álgebra de Lie se genera entonces mediante las siguientes matrices: $${\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,}$$ que tienen la forma del elemento general especificado anteriormente.

Esto también se puede escribir como${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{i\sigma _{1},i\sigma _{2},i\sigma _{3}\right\}}$utilizando las matrices de Pauli .

Estas satisfacen las relaciones de cuaterniones .${\displaystyle u_{2}u_{3}=-u_{3}u_{2}=u_{1}}$,​​${\displaystyle u_{3}u_{1}=-u_{1}u_{3}=u_{2}}$y​​${\displaystyle u_{1}u_{2}=-u_{2}u_{1}=u_{3}}$⁠ . Por lo tanto, el corchete del conmutador se especifica mediante $${\displaystyle \left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.}$$

Los generadores anteriores están relacionados con las matrices de Pauli mediante${\displaystyle u_{1}=i\ \sigma _{1},u_{2}=-i\ \sigma _{2}}$y​${\displaystyle mu_{3}=+i\ \sigma _{3}}$Esta representación se utiliza habitualmente en mecánica cuántica para representar el espín de partículas fundamentales como los electrones . También sirven como vectores unitarios para la descripción de nuestras 3 dimensiones  espaciales en la gravedad cuántica de bucles . Asimismo, corresponden a las compuertas X, Y y Z de Pauli , que son generadores estándar para las compuertas de un solo cúbit, correspondientes a rotaciones 3D alrededor de los ejes de la esfera de Bloch .

El álgebra de Lie sirve para elaborar las representaciones de SU(2) .

El grupo SU(3) es un grupo de Lie compacto y simplemente conexo. ^{[ 10 ]} Su estructura topológica puede entenderse al observar que SU(3) actúa transitivamente sobre la esfera unitaria.${\displaystyle S^{5}}$en​${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}}$El estabilizador de un punto arbitrario en la esfera es isomorfo a SU(2) , que topológicamente es una 3-esfera. De ello se deduce que SU (3) es un fibrado sobre la base ^S₅ con fibra S₃ . Dado que las fibras ^y la base son simplemente conexas, la conexidad simple de SU(3) se deduce mediante un resultado topológico estándar (la sucesión exacta larga de grupos de homotopía para fibrados). ^{[ 11 ]}

Los haces SU(2) sobre S ⁵ se clasifican por${\displaystyle \pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}=\mathbb {Z} _{2}}$puesto que cualquier fibrado de este tipo puede construirse observando fibrados triviales en los dos hemisferios${\displaystyle S_{\text{N}}^{5},S_{\text{S}}^{5}}$y observando la función de transición en su intersección, que es una copia de S ⁴ , entonces $${\displaystyle S_{\text{N}}^{5}\cap S_{\text{S}}^{5}\simeq S^{4}}$$

Luego, todas esas funciones de transición se clasifican mediante clases de homotopía de mapas. $${\displaystyle \left[S^{4},\mathrm {SU} (2)\right]\cong \left[S^{4},S^{3}\right]=\pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}\cong \mathbb {Z} /2}$$ y como${\displaystyle \pi _{4}(\mathrm {SU} (3))=\{0\}}$en lugar de${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$⁠ , SU(3) no puede ser el fibrado trivial SU(2) × S ⁵ ≅ S ³ × S ⁵ , y por lo tanto debe ser el único fibrado no trivial (retorcido). Esto se puede demostrar observando la sucesión exacta larga inducida en los grupos de homotopía.

La teoría de representación de SU(3) se comprende bien. ^{[ 12 ]} Descripciones de estas representaciones, desde el punto de vista de su álgebra de Lie complejizada ⁠${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}$⁠ , se pueden encontrar en los artículos sobre representaciones de álgebra de Lie o los coeficientes de Clebsch-Gordan para SU(3) .

Los generadores, T , del álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$de SU(3) en la representación definitoria (física de partículas, hermitiana), son $${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,}$$ donde λ _a , las matrices de Gell-Mann , son el análogo SU(3) de las matrices de Pauli para SU(2) : $${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Estos λ _a abarcan todas las matrices hermíticas sin traza H del álgebra de Lie , como se requiere. Nótese que λ ₂ , λ ₅ , λ ₇ son antisimétricos.

Obedecen a las relaciones $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}}$$ o, equivalentemente, $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}.\end{aligned}}}$$

Las f son las constantes de estructura del álgebra de Lie, dadas por $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}}$$ mientras que todos los demás f _abc no relacionados con estos por permutación son cero. En general, se desvanecen a menos que contengan un número impar de índices del conjunto {2, 5, 7} . ^{[ c ]}

Los coeficientes simétricos d toman los valores $${\displaystyle {\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{aligned}}}$$

Desaparecen si el número de índices del conjunto {2, 5, 7} es impar.

Un elemento genérico del grupo SU(3) generado por una matriz hermitiana sin traza de 3 × 3 H , normalizada como tr( H ² ) = 2 , puede expresarse como un polinomio matricial de segundo orden en H : ^{[ 13 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}}$$ dónde $${\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].}$$

Un ejemplo importante de este tipo de grupo es el grupo modular Picard.${\displaystyle \operatorname {SU} (2,1;\mathbb {Z} [i])}$que actúa (proyectivamente) sobre el espacio hiperbólico complejo de dimensión dos, de la misma manera que${\displaystyle \operatorname {SL} (2,9;\mathbb {Z} )}$actúa (proyectivamente) sobre el espacio hiperbólico real de dimensión dos. En 2005, Gábor Francsics y Peter Lax calcularon un dominio fundamental explícito para la acción de este grupo sobre HC ² . ^{[ 18 ]}

Otro ejemplo es :${\displaystyle \operatorname {SU} (1,1;\mathbb {C} )}$⁠ , que es isomorfo a ⁠${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$.​