Número propio

En teoría de números , un número propio o número Devlali en una base numérica dada es un número natural que no se puede escribir como la suma de ningún otro número natural y los dígitos individuales de . 20 es un número propio (en base 10), porque no se puede encontrar tal combinación (todos dan un resultado menor que 20; todos los demás dan un resultado mayor que 20). 21 no lo es, porque se puede escribir como 15 + 1 + 5 usando n = 15. Estos números fueron descritos por primera vez en 1949 por el matemático indio D. R. Kaprekar . ^[1]${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n<15}$${\estilo de visualización n}$

Sea un número natural. Definimos la función - propia para la base como la siguiente: ${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización b}$${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle F_{b}(n)=n+\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}.}$

¿Dónde está el número de dígitos del número en base , y ${\displaystyle k=\lpiso \log _{b}{n}\rpiso +1}$${\estilo de visualización b}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

es el valor de cada dígito del número. Un número natural es un número propio si la preimagen de for es el conjunto vacío . ${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización n}$$Estilo de visualización F_{b}$

En general, para bases pares, todos los números impares por debajo del número base son números propios, ya que cualquier número por debajo de un número impar de este tipo tendría que ser también un número de 1 dígito que, al sumarse a su dígito, daría como resultado un número par. Para bases impares, todos los números impares son números propios. ^[2]

El conjunto de números propios en una base dada es infinito y tiene una densidad asintótica positiva : cuando es impar, esta densidad es 1/2. ^[3]${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización b}$

Para números propios en base 2 , consulte OEIS : A010061 . (escrito en base 10)

Los primeros números propios de base 10 son:

1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 20 , 31 , 42 , 53 , 64 , 75 , 86 , 97 , 108 , 110 , 121 , 132 , 143 , 154 , 165 , 176 , 187 , 209. , 211 , 222 , 233 , 244 , 255 , 266 , 277 , 288, 299, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 400 , 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 490, ... (secuencia A003052 en la OEIS )

Un autoprimo es un número propio que es primo .

Los primeros primos propios en base 10 son

3, 5, 7, 31, 53, 97, 211, 233, 277, 367, 389, 457, 479, 547, 569, 613, 659, 727, 839, 883, 929, 1021, 1087, 1109, 1223, 1289, 1447, 1559, 1627, 1693, 1783, 1873, ... (secuencia A006378 en la OEIS )

• Kaprekar, DR Las matemáticas de los nuevos números propios Devaiali (1963): 19 - 20.
• RB Patel (1991). "Algunas pruebas para los números k -self". Matemáticas. Estudiantes . 56 : 206–210.
• B. Recaman (1974). "Problema E2408". Amer. Math. Monthly . 81 (4): 407. doi :10.2307/2319017. JSTOR  2319017.
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Manual de teoría de números II . Dordrecht: Académico Kluwer. págs. 32–36. ISBN 1-4020-2546-7.Zbl 1079.11001  .
• Weisstein, Eric W. "Número propio". MathWorld .