Grupo fundamental

Dado un espacio topológico${\displaystyle X}$, un bucle basado en${\displaystyle x_{0}}$se define como una función continua (también conocida como aplicación continua)

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X}$

de tal manera que el punto de partida${\displaystyle \gamma (0)}$y el punto final${\displaystyle \gamma (1)}$ambos son iguales${\displaystyle x_{0}}$.

Una homotopía es una interpolación continua entre dos bucles. Más precisamente, una homotopía entre dos bucles${\displaystyle \gamma ,\gamma '\colon [0,1]\to X}$(basado en el mismo punto)${\displaystyle x_{0}}$) es un mapa continuo $${\displaystyle h\colon [0,1]\times [0,1]\to X,}$$ de tal manera que

• ${\displaystyle h(0,t)=x_{0}}$a pesar de${\displaystyle t\in [0,1]}$, es decir, el punto de partida de la homotopía es${\displaystyle x_{0}}$a pesar de${\displaystyle t}$(que a menudo se considera un parámetro de tiempo).
• ${\displaystyle h(1,t)=x_{0}}$a pesar de${\displaystyle t\in [0,1]}$, es decir, de manera similar el punto final permanece en${\displaystyle x_{0}}$a pesar de${\displaystyle t}$.
• ${\displaystyle h(r,0)=\gamma (r)}$,${\displaystyle h(r,1)=\gamma '(r)}$a pesar de${\displaystyle r\in [0,1]}$.

Si tal homotopía${\displaystyle h}$existe,${\displaystyle \gamma }$y${\displaystyle \gamma '}$Se dice que son homotópicos . La relación "${\displaystyle \gamma }$es homotópico a${\displaystyle \gamma '}$" es una relación de equivalencia de modo que se pueda considerar el conjunto de clases de equivalencia: $${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0}):=\{{\text{all loops }}\gamma {\text{ based at }}x_{0}\}/{\text{homotopy}}.}$$ Este conjunto (con la estructura de grupo que se describe a continuación) se denomina grupo fundamental del espacio topológico.${\displaystyle X}$en el punto base${\displaystyle x_{0}}$. El propósito de considerar las clases de equivalencia de bucles hasta homotopía, en contraposición al conjunto de todos los bucles (el llamado espacio de bucles de${\displaystyle X}$La desventaja es que este último, si bien resulta útil para diversos fines, es un objeto bastante grande y difícil de manejar. Por el contrario, el cociente anterior es, en muchos casos, más manejable y computable.

Según la definición anterior,${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$es simplemente un conjunto. Se convierte en un grupo (y por lo tanto merece el nombre de grupo fundamental ) mediante la concatenación de bucles. Más precisamente, dados dos bucles${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1}}$, su producto se define como el bucle

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \gamma _{1}\colon [0,1]\to X}$

${\displaystyle (\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})(t)={\begin{cases}\gamma _{0}(2t)&0\leq t\leq {\tfrac {1}{2}}\\\gamma _{1}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leq t\leq 1.\end{cases}}}$

Por lo tanto, el bucle${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \gamma _{1}}$primero sigue el bucle${\displaystyle \gamma _{0}}$con "el doble de velocidad" y luego sigue${\displaystyle \gamma _{1}}$con "el doble de velocidad".

El producto de dos clases homotópicas de bucles${\displaystyle [\gamma _{0}]}$y${\displaystyle [\gamma _{1}]}$entonces se define como${\displaystyle [\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}]}$Se puede demostrar que este producto no depende de la elección de representantes y, por lo tanto, proporciona una operación bien definida sobre el conjunto.${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$Esta operación convierte${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$en un grupo. Su elemento neutro es la clase de equivalencia (homotopía) del bucle constante, que permanece en${\displaystyle x_{0}}$para siempre${\displaystyle t}$(es decir, esta clase consta de todos los bucles que pueden deformarse continuamente en el bucle constante; intuitivamente hablando de todos los bucles que no "envuelven un agujero"). El inverso de un bucle (clase de homotopía de un) es el mismo bucle, pero recorrido en la dirección opuesta (que está en una clase de homotopía diferente). Más formalmente,

${\displaystyle \gamma ^{-1}(t):=\gamma (1-t).}$

Dados tres bucles base${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},}$el producto

${\displaystyle (\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})\cdot \gamma _{2}}$

es la concatenación de estos bucles, recorriendo${\displaystyle \gamma _{0}}$y luego${\displaystyle \gamma _{1}}$con velocidad cuádruple, y luego${\displaystyle \gamma _{2}}$con doble velocidad. En comparación,

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot (\gamma _{1}\cdot \gamma _{2})}$

recorre los mismos caminos (en el mismo orden), pero${\displaystyle \gamma _{0}}$con doble velocidad y${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$con velocidad cuádruple. Por lo tanto, debido a las diferentes velocidades, los dos caminos no son idénticos. El axioma de asociatividad

${\displaystyle [\gamma _{0}]\cdot \left([\gamma _{1}]\cdot [\gamma _{2}]\right)=\left([\gamma _{0}]\cdot [\gamma _{1}]\right)\cdot [\gamma _{2}]}$

Por lo tanto, depende crucialmente del hecho de que los caminos se consideran salvo homotopía. De hecho, ambos compuestos anteriores son homotópicos, por ejemplo, al bucle que recorre los tres bucles.${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2}}$con triple velocidad. El conjunto de bucles base hasta la homotopía, equipado con la operación anterior, por lo tanto, se convierte en${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$en un grupo.

Aunque el grupo fundamental en general depende de la elección del punto base, resulta que, salvo isomorfismo , esta elección no supone ninguna diferencia siempre que el espacio${\displaystyle X}$es conexo por caminos : más precisamente, se obtiene un isomorfismo mediante la pre- y post-concatenación con un camino entre los dos puntos base. Este isomorfismo, en general, no es único: depende de la elección del camino salvo homotopía. Sin embargo, cambiar el camino solo modifica el isomorfismo entre los dos grupos fundamentales mediante composición con un automorfismo interno . Por lo tanto, es habitual escribir${\displaystyle \pi _{1}(X)}$en lugar de${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$cuando la elección del punto de base no importa.

Un espacio conexo por caminos cuyo grupo fundamental es trivial se denomina simplemente conexo . Por ejemplo, la 2-esfera.${\displaystyle S^{2}=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}$Representadas a la derecha, así como todas las esferas de dimensiones superiores , son simplemente conexas. La figura ilustra una homotopía que contrae un bucle particular al bucle constante. Esta idea puede adaptarse a todos los bucles.${\displaystyle \gamma }$de tal manera que hay un punto${\displaystyle (x,y,z)\in S^{2}}$eso no está en la imagen de${\displaystyle \gamma .}$Sin embargo, dado que existen bucles tales que${\displaystyle \gamma ([0,1])=S^{2}}$(construida a partir de la curva de Peano , por ejemplo), una demostración completa requiere un análisis más cuidadoso con herramientas de la topología algebraica, como el teorema de Seifert-van Kampen o el teorema de aproximación celular .

El círculo (también conocido como la 1-esfera)

${\displaystyle S^{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$

no está simplemente conectado. En cambio, cada clase de homotopía consta de todos los bucles que se enrollan alrededor del círculo un número determinado de veces (que puede ser positivo o negativo, dependiendo de la dirección del enrollamiento). El producto de un bucle que se enrolla alrededor del círculo${\displaystyle m}$veces y otra que serpentea alrededor${\displaystyle n}$veces es un bucle que se enrosca alrededor${\displaystyle m+n}$veces. Por lo tanto, el grupo fundamental del círculo es isomorfo a${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+),}$el grupo aditivo de los enteros . Este hecho puede usarse para dar demostraciones del teorema del punto fijo de Brouwer ^{[ 2 ]} y del teorema de Borsuk-Ulam en dimensión 2. ^{[ 3 ]}

El grupo fundamental de la figura ocho es el grupo libre de dos letras. La idea para demostrar esto es la siguiente: eligiendo el punto base como el punto donde se encuentran los dos círculos (punteado en negro en la imagen de la derecha), cualquier bucle${\displaystyle \gamma }$puede descomponerse como $${\displaystyle \gamma =a^{n_{1}}b^{m_{1}}\cdots a^{n_{k}}b^{m_{k}}}$$ donde a y b son los dos bucles que se enrollan alrededor de cada mitad de la figura como se muestra, y los exponentes${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{k},m_{1},\dots ,m_{k}}$son números enteros. A diferencia de${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})}$, el grupo fundamental de la figura ocho no es abeliano : las dos formas de composición${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$no son homotópicos entre sí: $${\displaystyle [a]\cdot [b]\neq [b]\cdot [a]}$$

En términos más generales, el grupo fundamental de un ramo de${\displaystyle r}$Circles es el grupo gratuito en${\displaystyle r}$letras.

El grupo fundamental de una suma de cuña de dos espacios conectados por caminos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$se puede calcular como el producto libre de los grupos fundamentales individuales: $${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y)}$$ Esto generaliza las observaciones anteriores, ya que la figura del ocho es la suma de dos círculos en forma de cuña.

El grupo fundamental del avión perforado en${\displaystyle n}$los puntos también son el grupo gratuito con${\displaystyle n}$generadores. El${\displaystyle i}$El generador -ésimo es la clase del bucle que recorre el${\displaystyle i}$-el pinchazo sin rodear ningún otro pinchazo.

El grupo fundamental también puede definirse para estructuras discretas. En particular, consideremos un grafo conexo .${\displaystyle G=(V,E)}$, con un vértice designado${\displaystyle v_{0}}$en${\displaystyle V}$. Los bucles en${\displaystyle G}$son los ciclos que comienzan y terminan en${\displaystyle v_{0}}$. ^{[ 4 ]} Deje${\displaystyle T}$ser un árbol de expansión de${\displaystyle G}$Cada bucle simple en${\displaystyle G}$contiene exactamente una arista en${\displaystyle E\setminus T}$; cada bucle en${\displaystyle G}$es una concatenación de bucles tan simples. Por lo tanto, el grupo fundamental de un grafo es un grupo libre , en el que el número de generadores es exactamente el número de aristas en${\displaystyle E\setminus T}$Este número es igual a${\displaystyle |E|-|V|+1}$. ^{[ 5 ]}

Por ejemplo, supongamos que${\displaystyle G}$Tiene 16 vértices dispuestos en 4 filas de 4 vértices cada una, con aristas que conectan vértices adyacentes horizontal o verticalmente.${\displaystyle G}$tiene 24 aristas en total, y el número de aristas en cada árbol de expansión es 16 − 1 = 15 , por lo que el grupo fundamental de${\displaystyle G}$es el grupo libre con 9 generadores. ^{[ 6 ]} Nótese que${\displaystyle G}$tiene 9 "agujeros", de forma similar a un ramo de 9 círculos, que tiene el mismo grupo fundamental.

Los grupos de nudos son, por definición, el grupo fundamental del complemento de un nudo.${\displaystyle K}$incrustado en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$Por ejemplo, se sabe que el grupo de nudos del nudo de trébol es el grupo de trenzas .${\displaystyle B_{3}}$, lo que da otro ejemplo de un grupo fundamental no abeliano. La presentación de Wirtinger describe explícitamente los grupos de nudos en términos de generadores y relaciones basadas en un diagrama del nudo. Por lo tanto, los grupos de nudos tienen cierta utilidad en la teoría de nudos para distinguir entre nudos: si${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K)}$no es isomorfo a algún otro grupo de nudos${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K')}$de otro nudo${\displaystyle K'}$, entonces${\displaystyle K}$no puede transformarse en${\displaystyle K'}$Por lo tanto, el nudo de trébol no puede transformarse continuamente en el círculo (también conocido como nudo invertido ), ya que este último tiene un grupo de nudos.${\displaystyle \mathbb {Z} }$Sin embargo, existen nudos que no pueden transformarse entre sí, pero que tienen grupos de nudos isomorfos.

El grupo fundamental de una superficie orientable de género n se puede calcular en términos de generadores y relaciones como $${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1},\ldots ,A_{n},B_{n}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\right.\right\rangle .}$$

Esto incluye el toro , siendo el caso de género 1, cuyo grupo fundamental es $${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\right.\right\rangle \cong \mathbb {Z} ^{2}.}$$

El grupo fundamental de un grupo topológico${\displaystyle X}$(con respecto al punto base siendo el elemento neutro) es siempre conmutativo. En particular, el grupo fundamental de un grupo de Lie es conmutativo. De hecho, la estructura de grupo en${\displaystyle X}$dota${\displaystyle \pi _{1}(X)}$con otra estructura de grupo: dados dos bucles${\displaystyle \gamma }$y${\displaystyle \gamma '}$en${\displaystyle X}$, otro bucle${\displaystyle \gamma \star \gamma '}$se puede definir mediante el uso de la multiplicación de grupos en${\displaystyle X}$:

${\displaystyle (\gamma \star \gamma ')(x)=\gamma (x)\cdot \gamma '(x).}$

Esta operación binaria${\displaystyle \star }$El conjunto de todos los bucles es a priori independiente del descrito anteriormente. Sin embargo, el argumento de Eckmann-Hilton muestra que, de hecho, coincide con la concatenación de bucles anterior y, además, que la estructura de grupo resultante es abeliana. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Una inspección de la prueba muestra que, en términos más generales,${\displaystyle \pi _{1}(X)}$es abeliano para cualquier espacio H${\displaystyle X}$, es decir, la multiplicación no necesita tener un inverso, ni tiene que ser asociativa. Por ejemplo, esto muestra que el grupo fundamental de un espacio de lazos de otro espacio topológico${\displaystyle Y}$,${\displaystyle X=\Omega (Y),}$es abeliano. Ideas relacionadas llevaron al cálculo de Heinz Hopf de la cohomología de un grupo de Lie .

La abelianización del grupo fundamental puede identificarse con el primer grupo de homología del espacio.

Un caso especial del teorema de Hurewicz afirma que el primer grupo de homología singular${\displaystyle H_{1}(X)}$es, en términos coloquiales, la aproximación más cercana al grupo fundamental mediante un grupo abeliano. En más detalle, mapear la clase de homotopía de cada bucle a la clase de homología del bucle da como resultado un homomorfismo de grupo.

${\displaystyle \pi _{1}(X)\to H_{1}(X)}$

del grupo fundamental de un espacio topológico${\displaystyle X}$a su primer grupo de homología singular${\displaystyle H_{1}(X).}$Este homomorfismo no es en general un isomorfismo, ya que el grupo fundamental puede no ser abeliano, pero el grupo de homología es, por definición, siempre abeliano. Sin embargo, esta diferencia es la única: si${\displaystyle X}$es conexo por caminos, este homomorfismo es sobreyectivo y su núcleo es el subgrupo conmutador del grupo fundamental, de modo que${\displaystyle H_{1}(X)}$es isomorfo a la abelianización del grupo fundamental. ^{[ 9 ]}

Generalizando la afirmación anterior, para una familia de espacios conectados por caminos${\displaystyle X_{i},}$el grupo fundamental${\textstyle \pi _{1}\left(\bigvee _{i\in I}X_{i}\right)}$es el producto libre de los grupos fundamentales de la${\displaystyle X_{i}.}$^{[ 10 ]} Este hecho es un caso especial delteorema de Seifert-van Kampen, que permite calcular, de forma más general, grupos fundamentales de espacios que se forman a partir de otros espacios. Por ejemplo, la 2-esfera${\displaystyle S^{2}}$se puede obtener pegando dos copias de semiesferas ligeramente superpuestas a lo largo de una vecindad del ecuador . En este caso, el teorema produce${\displaystyle \pi _{1}(S^{2})}$Es trivial, ya que las dos semiesferas son contraíbles y, por lo tanto, tienen un grupo fundamental trivial. Los grupos fundamentales de las superficies, como se mencionó anteriormente, también se pueden calcular utilizando este teorema.

En el lenguaje de la teoría de categorías, el teorema se puede enunciar concisamente diciendo que el functor del grupo fundamental toma empujes (en la categoría de espacios topológicos) a lo largo de inclusiones a empujes (en la categoría de grupos). ^{[ 11 ]}

Dado un espacio topológico${\displaystyle B}$, un mapa continuo

${\displaystyle f:E\to B}$

se llama cubierta o${\displaystyle E}$se denomina espacio de cobertura de${\displaystyle B}$si cada punto${\displaystyle b}$en${\displaystyle B}$admite un vecindario abierto${\displaystyle U}$de tal manera que existe un homeomorfismo entre la preimagen de${\displaystyle U}$y una unión disjunta de copias de${\displaystyle U}$(indexado por algún conjunto${\displaystyle I}$),

${\displaystyle \varphi$ :\bigsqcup _{i\in I}U\to f^{-1}(U)}

de tal manera que${\displaystyle f\circ \varphi }$es el mapa de proyección estándar${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}U\to U.}$^{[ 12 ]}

Las fibraciones proporcionan un medio muy poderoso para calcular grupos de homotopía. Una fibración${\displaystyle f}$el llamado espacio total y el espacio base${\displaystyle B}$tiene, en particular, la propiedad de que todas sus fibras${\displaystyle f^{-1}(b)}$son homotópicamente equivalentes y, por lo tanto, no se pueden distinguir utilizando grupos fundamentales (y grupos homotópicos superiores), siempre que${\displaystyle B}$está conectado por caminos. ^{[ 16 ]} Por lo tanto, el espacio${\displaystyle E}$puede considerarse como un " producto retorcido " del espacio base.${\displaystyle B}$y la fibra${\displaystyle F=f^{-1}(b).}$La gran importancia de las fibraciones para el cálculo de grupos de homotopía proviene de una larga secuencia exacta.

${\displaystyle \dots \to \pi _{2}(B)\to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(E)}$

siempre que${\displaystyle B}$está conectado por caminos. ^{[ 17 ]} El término${\displaystyle \pi _{2}(B)}$es el segundo grupo de homotopía de${\displaystyle B}$, que se define como el conjunto de clases de homotopía de mapas de${\displaystyle S^{2}}$a${\displaystyle B}$, en analogía directa con la definición de${\displaystyle \pi _{1}.}$

Si${\displaystyle E}$Si resulta ser conexa por caminos y simplemente conexa, esta secuencia se reduce a un isomorfismo.

${\displaystyle \pi _{1}(B)\cong \pi _{0}(F)}$

lo cual generaliza el hecho anterior sobre el recubrimiento universal (lo que equivale al caso en el que la fibra${\displaystyle F}$también es discreto). Si en cambio${\displaystyle F}$sucede que está conectado y simplemente conectado, se reduce a un isomorfismo

${\displaystyle \pi _{1}(E)\cong \pi _{1}(B).}$

Es más, la secuencia puede continuarse a la izquierda con los grupos de homotopía superiores.${\displaystyle \pi _{n}}$de los tres espacios, lo que permite cierto acceso al cálculo de dichos grupos en la misma línea.

En términos generales, el grupo fundamental detecta la estructura de agujeros unidimensionales de un espacio, pero no agujeros de dimensiones superiores como los de la esfera bidimensional. Estos "agujeros de dimensiones superiores" pueden detectarse utilizando grupos de homotopía superiores.${\displaystyle \pi _{n}(X)}$, que se definen para consistir en clases de homotopía de mapas (que preservan el punto base) de${\displaystyle S^{n}}$a${\displaystyle X}$. Por ejemplo, el teorema de Hurewicz implica que para todo${\displaystyle n\geq 1}$el${\displaystyle n}$El -ésimo grupo de homotopía de la n -esfera es

${\displaystyle \pi _{n}(S^{n})=\mathbb {Z} .}$^{[ 27 ]}

Como se mencionó en el cálculo anterior de${\displaystyle \pi _{1}}$En comparación con los grupos de Lie clásicos, los grupos de homotopía superiores pueden ser relevantes incluso para el cálculo de grupos fundamentales.

El conjunto de bucles base (tal cual, es decir, no tomados hasta la homotopía) en un espacio apuntado${\displaystyle X}$, dotado de la topología abierta compacta , se conoce como el espacio de bucles , denotado${\displaystyle \Omega X.}$El grupo fundamental de${\displaystyle X}$está en biyección con el conjunto de componentes de camino de su espacio de bucles: ^{[ 28 ]}

${\displaystyle \pi _{1}(X)\cong \pi _{0}(\Omega X).}$

El grupoide fundamental es una variante del grupo fundamental que resulta útil en situaciones donde la elección de un punto base${\displaystyle x_{0}\in X}$es indeseable. Se define considerando primero la categoría de caminos en${\displaystyle X,}$es decir, funciones continuas

${\displaystyle \gamma \colon [0,r]\to X}$,

dónde${\displaystyle r}$es un número real no negativo arbitrario. Dado que la longitud${\displaystyle r}$es variable en este enfoque, tales caminos pueden concatenarse tal cual (es decir, no salvo homotopía) y por lo tanto producen una categoría. ^{[ 29 ]} Dos de tales caminos${\displaystyle \gamma ,\gamma '}$con los mismos puntos finales y longitud${\displaystyle r}$, respectivamente.${\displaystyle r}$' se consideran equivalentes si existen números reales${\displaystyle u,v\geqslant 0}$de tal manera que${\displaystyle r+u=r'+v}$y${\displaystyle \gamma _{u},\gamma '_{v}\colon [0,r+u]\to X}$son homotópicos en relación con sus puntos finales, donde${\displaystyle \gamma _{u}(t)={\begin{cases}\gamma (t),&t\in [0,r]\\\gamma (r),&t\in [r,r+u].\end{cases}}}$^{[ 30 ] [ 31 ]}

La categoría de caminos hasta esta relación de equivalencia se denota${\displaystyle \Pi (X).}$Cada morfismo en${\displaystyle \Pi (X)}$es un isomorfismo , cuyo inverso viene dado por el mismo camino recorrido en la dirección opuesta. Dicha categoría se llama grupoide . Reproduce el grupo fundamental ya que

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\mathrm {Hom} _{\Pi (X)}(x_{0},x_{0})}$.

De forma más general, se puede considerar el grupoide fundamental en un conjunto${\displaystyle A}$de puntos base, elegidos según la geometría de la situación; por ejemplo, en el caso del círculo, que puede representarse como la unión de dos conjuntos abiertos conexos cuya intersección tiene dos componentes, se puede elegir un punto base en cada componente. El teorema de van Kampen admite una versión para grupoides fundamentales que da, por ejemplo, otra forma de calcular el grupo(oide) fundamental de${\displaystyle S^{1}.}$^{[ 32 ]}

En términos generales, las representaciones pueden servir para mostrar características de un grupo mediante sus acciones sobre otros objetos matemáticos, a menudo espacios vectoriales . Las representaciones del grupo fundamental tienen un significado muy geométrico: cualquier sistema local (es decir, un haz)${\displaystyle {\mathcal {F}}}$en${\displaystyle X}$con la propiedad que localmente en un vecindario suficientemente pequeño${\displaystyle U}$de cualquier punto en${\displaystyle X}$, la restricción de${\displaystyle F}$es un haz constante de la forma${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}=\mathbb {Q} ^{n}}$) da lugar a la llamada representación de monodromía , una representación del grupo fundamental en un${\displaystyle n}$- dimensional${\displaystyle \mathbb {Q} }$-espacio vectorial. Recíprocamente , cualquier representación de este tipo en un espacio conectado por caminos${\displaystyle X}$surge de esta manera. ^{[ 33 ]} Esta equivalencia de categorías entre representaciones de${\displaystyle \pi _{1}(X)}$y los sistemas locales se utilizan, por ejemplo, en el estudio de ecuaciones diferenciales , como las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov .

En geometría algebraica , el llamado grupo fundamental étale se utiliza como reemplazo del grupo fundamental. ^{[ 34 ]} Dado que la topología de Zariski en una variedad o esquema algebraico${\displaystyle X}$es mucho más tosca que, por ejemplo, la topología de subconjuntos abiertos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$Ya no tiene sentido considerar mapas continuos de un intervalo a${\displaystyle X}$En cambio, el enfoque desarrollado por Grothendieck consiste en construir${\displaystyle \pi _{1}^{\text{et}}}$al considerar todas las cubiertas étale finitas de${\displaystyle X}$Estas sirven como un análogo algebraico-geométrico de recubrimientos con fibras finitas.

Esto da como resultado una teoría aplicable en situaciones donde no se dispone de ninguna intuición topológica clásica de gran generalidad, por ejemplo, para variedades definidas sobre un cuerpo finito . Además, el grupo fundamental étale de un cuerpo es su grupo de Galois ( absoluto ) . Por otro lado, para variedades lisas${\displaystyle X}$Sobre los números complejos, el grupo fundamental étale conserva gran parte de la información inherente al grupo fundamental clásico: el primero es la completación profinita del segundo. ^{[ 35 ]}

El grupo fundamental de un sistema de raíces se define de forma análoga al cálculo para grupos de Lie. ^{[ 36 ]} Esto permite definir y utilizar el grupo fundamental de un grupo algebraico lineal semisimple.${\displaystyle G}$, que es una herramienta básica útil en la clasificación de grupos algebraicos lineales. ^{[ 37 ]}

La relación de homotopía entre 1-símplices de un conjunto simplicial${\displaystyle X}$es una relación de equivalencia si${\displaystyle X}$es un complejo de Kan , pero no necesariamente en general. ^{[ 38 ]} Por lo tanto,${\displaystyle \pi _{1}}$de un complejo de Kan se puede definir como el conjunto de clases de homotopía de 1-símplices. El grupo fundamental de un conjunto simplicial arbitrario${\displaystyle X}$se definen como el grupo de homotopía de su realización topológica ,${\displaystyle |X|,}$es decir, el espacio topológico obtenido al pegar símplices topológicos según lo prescrito por la estructura de conjunto simplicial de${\displaystyle X}$. ^{[ 39 ]}