Módulo serie

En álgebra abstracta , un módulo uniserial M es un módulo sobre un anillo R , cuyos submódulos están totalmente ordenados por inclusión . Esto significa simplemente que para cualesquiera dos submódulos N ₁ y N ₂ de M , o bien${\displaystyle N_{1}\subsetequ N_{2}}$o${\displaystyle N_{2}\subsetequ N_{1}}$Un módulo se denomina módulo serial si es la suma directa de módulos uniseriales. Un anillo R se denomina anillo uniserial derecho si es uniserial como módulo derecho sobre sí mismo, y de igual modo se denomina anillo serial derecho si es un módulo serial derecho sobre sí mismo. Los anillos uniseriales izquierdos y los anillos seriales izquierdos se definen de forma similar y, en general, se distinguen de sus contrapartes derechas.

Un ejemplo motivador sencillo es el anillo cociente.${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$para cualquier número entero${\displaystyle n>1}$Este anillo es siempre serial y es uniserial cuando n es una potencia prima .

El término uniserial se ha utilizado de forma diferente a la definición anterior: para mayor claridad, véase más abajo .

Una lista alfabética parcial de contribuyentes importantes a la teoría de los anillos seriales incluye a los matemáticos Keizo Asano, IS Cohen, PM Cohn , Yu. Drozd, D. Eisenbud , A. Facchini, AW Goldie , Phillip Griffith, I. Kaplansky , VV Kirichenko, G. Köthe , H. Kuppisch, I. Murase, T. Nakayama , P. Příhoda, G. Puninski y R. Warfield. ^{[ 1 ]}

Siguiendo la convención común de la teoría de anillos, si se da una condición dependiente izquierda/derecha sin mencionar un lado (por ejemplo, uniserial, serial, artiniano , noetheriano ), entonces se asume que la condición se cumple tanto en la izquierda como en la derecha. A menos que se especifique lo contrario, cada anillo en este artículo es un anillo con unidad , y cada módulo es unitario .

Es evidente que en un R -módulo uniserial M , todos los submódulos, excepto M y 0, son simultáneamente esenciales y superfluos . Si M tiene un submódulo maximal , entonces M es un módulo local . M es también claramente un módulo uniforme y, por lo tanto, es directamente indescomponible. Además, es fácil ver que todo submódulo finitamente generado de M puede ser generado por un solo elemento, por lo que M es un módulo de Bézout .

Se sabe que el anillo de endomorfismos End _R M es un anillo semilocal que se aproxima mucho a un anillo local en el sentido de que End _R M tiene como máximo dos ideales derechos maximales . Si se supone que M es artiniano o noetheriano, entonces End _R M es un anillo local.

Dado que los anillos con unidad siempre tienen un ideal derecho maximal, un anillo uniserial derecho es necesariamente local. Como se mencionó anteriormente, un ideal derecho finitamente generado puede ser generado por un solo elemento, por lo que los anillos uniseriales derechos son anillos de Bézout derechos . Un anillo serial derecho R necesariamente se factoriza en la forma${\displaystyle R=\oplus _{i=1}^{n}e_{i}R}$donde cada e _i es un elemento idempotente y e _i R es un módulo local y uniserial. Esto indica que R también es un anillo semiperfecto , lo cual es una condición más fuerte que ser un anillo semilocal.

Köthe demostró que los módulos de los anillos de ideales principales artinianos (que son un caso especial de anillos seriales) son sumas directas de submódulos cíclicos . Posteriormente, Cohen y Kaplansky determinaron que un anillo conmutativo R tiene esta propiedad para sus módulos si y solo si R es un anillo de ideales principales artinianos. Nakayama demostró que los anillos seriales artinianos tienen esta propiedad en sus módulos, y que lo contrario no es cierto.

El resultado más general, quizás, sobre los módulos de un anillo serial se atribuye a Drozd y Warfield: afirma que todo módulo finitamente presentado sobre un anillo serial es una suma directa de submódulos cíclicos uniseriales (y, por lo tanto, es serial). Si además se supone que el anillo es noetheriano, los módulos finitamente presentados y finitamente generados coinciden, por lo que todos los módulos finitamente generados son seriales.

La serialidad derecha se conserva bajo productos directos de anillos y módulos, y bajo cocientes de anillos . La uniserialidad se conserva para cocientes de anillos y módulos, pero nunca para productos. Un sumando directo de un módulo serial no es necesariamente serial, como demostró Puninski, pero los sumandos directos de sumas directas finitas de módulos uniseriales son módulos seriales. ^{[ 2 ]}

Se ha verificado que la conjetura de Jacobson se cumple en los anillos seriales noetherianos. ^{[ 3 ]}

Cualquier módulo simple es trivialmente uniserial, y del mismo modo, los módulos semisimples son módulos seriales.

Se pueden extraer muchos ejemplos de anillos seriales de las secciones de estructura anteriores. Todo anillo de valuación es un anillo uniserial, y todos los anillos de ideales principales artinianos son anillos seriales, como lo ilustran los anillos semisimples .

Entre los ejemplos más exóticos se incluyen las matrices triangulares superiores sobre un anillo de división T _n D y el anillo de grupo .${\displaystyle \mathbb {F} [G]}$para algún cuerpo finito de característica prima p y grupo G que tiene un subgrupo p - Sylow normal cíclico .

Esta sección tratará principalmente sobre anillos seriales noetherianos y su subclase, los anillos seriales artinianos. En general, los anillos se descomponen primero en anillos indescomponibles. Una vez que se conoce la estructura de estos anillos, los anillos descomponibles son productos directos de los indescomponibles. Además, para anillos semiperfectos como los anillos seriales, el anillo básico es Morita equivalente al anillo original. Por lo tanto, si R es un anillo serial con anillo básico B , y se conoce la estructura de B , la teoría de la equivalencia de Morita establece que${\displaystyle R\cong \mathrm {Fin} _ {B}(P)}$donde P es algún progenerador B finitamente generado . Por eso los resultados se formulan en términos de anillos básicos indescomponibles.

En 1975, Kirichenko y Warfield publicaron de forma independiente y simultánea análisis de la estructura de los anillos seriales noetherianos no artinianos. Los resultados fueron los mismos, pero los métodos que emplearon fueron muy diferentes entre sí. El estudio de los anillos primos hereditarios noetherianos , así como de los carcajes definidos en anillos seriales, fueron herramientas importantes. El resultado central establece que un anillo serial básico noetheriano no artiniano derecho e indescomponible puede describirse como un tipo de anillo matricial sobre un dominio noetheriano uniserial V , cuyo radical de Jacobson J( V ) es distinto de cero. Este anillo matricial es un subanillo de M _n ( V ) para algún n , y consta de matrices con entradas de V sobre la diagonal y por encima de ella, y entradas de J( V ) por debajo.

La estructura del anillo serial artiniano se clasifica en casos según la estructura del carcaj. Resulta que la estructura del carcaj para un anillo serial artiniano básico e indescomponible es siempre un círculo o una línea. En el caso del carcaj de línea, el anillo es isomorfo a las matrices triangulares superiores sobre un anillo de división (nótese la similitud con la estructura de los anillos seriales noetherianos en el párrafo anterior). Una descripción completa de la estructura en el caso de un carcaj de círculo está fuera del alcance de este artículo, pero se puede encontrar en ( Puninski 2002 ) . Parafraseando el resultado tal como aparece allí: Un anillo serial artiniano básico cuyo carcaj es un círculo es una imagen homomórfica de una "explosión" de un anillo cuasi-Frobenius serial básico e indescomponible .

Se dice que dos módulos U y V tienen la misma clase de monogenia , denotada${\displaystyle [U]_{m}=[V]_{m}}$, si existe un monomorfismo${\displaystyle U\rightarrow V}$y un monomorfismo${\displaystyle V\rightarrow U}$. La noción dual se puede definir: se dice que los módulos tienen la misma clase de epigenia , denotada${\displaystyle [U]_{e}=[V]_{e}}$, si existe un epimorfismo${\displaystyle U\rightarrow V}$y un epimorfismo${\displaystyle V\rightarrow U}$.

Se cumple la siguiente forma débil del teorema de Krull-Schmidt . Sean U ₁ , ..., U _n , V ₁ , ..., V _t n + t módulos derechos uniseriales no nulos sobre un anillo R . Entonces las sumas directas${\displaystyle U_{1}\oplus \dots \oplus U_{n}}$y${\displaystyle V_{1}\oplus \dots \oplus V_{t}}$son R -módulos isomorfos si y solo si n = t y existen dos permutaciones${\displaystyle \sigma }$y${\displaystyle \tau }$de 1, 2, ..., n tal que${\displaystyle [U_{i}]_{m}=[V_{\sigma (i)}]_{m}}$y${\displaystyle [U_{i}]_{e}=[V_{\tau (i)}]_{e}}$para cada i = 1, 2, ..., n .

Este resultado, debido a Facchini, fue extendido a sumas directas infinitas de módulos uniseriales por Příhoda en 2006. Esta extensión involucra los llamados módulos uniseriales cuasipequeños. Estos módulos fueron definidos por Nguyen Viet Dung y Facchini, y su existencia fue demostrada por Puninski. La forma débil del teorema de Krull-Schmidt se cumple no solo para módulos uniseriales, sino también para varias otras clases de módulos (módulos biuniformes, módulos presentados cíclicamente sobre anillos seriales, núcleos de morfismos entre módulos inyectivos indescomponibles , módulos presentados couniformemente).

Los anillos uniseriales derechos también pueden denominarse anillos de cadena derechos ^{[ 4 ]} o anillos de valuación derechos . Este último término alude a los anillos de valuación , que por definición son dominios conmutativos y uniseriales . Del mismo modo, los módulos uniseriales se han llamado módulos de cadena , y los módulos seriales, módulos semicadena . La noción de anillo catenario tiene como origen el término "cadena", pero en general no guarda relación con los anillos de cadena.

En la década de 1930, Gottfried Köthe y Keizo Asano introdujeron el término Einreihig (literalmente "serie única") durante investigaciones sobre anillos en los que todos los módulos son sumas directas de submódulos cíclicos. ^{[ 5 ]} Por esta razón, el término uniserial se utilizó para referirse a un "anillo ideal principal artiniano" incluso hasta la década de 1970. El artículo de Köthe también requería que un anillo uniserial tuviera una serie de composición única , lo que no solo obliga a que los ideales derecho e izquierdo estén ordenados linealmente, sino que también requiere que haya solo un número finito de ideales en las cadenas de ideales izquierdo y derecho. Debido a este precedente histórico, algunos autores incluyen la condición artiniana o la condición de longitud de composición finita en sus definiciones de módulos y anillos uniseriales.

Ampliando el trabajo de Köthe, Tadashi Nakayama utilizó el término anillo uniserial generalizado ^{[ 6 ]} para referirse a un anillo serial artiniano. Nakayama demostró que todos los módulos sobre dichos anillos son seriales. Los anillos seriales artinianos a veces se denominan álgebras de Nakayama y poseen una teoría de módulos bien desarrollada.

Warfield utilizó el término módulo serial homogéneo para un módulo serial con la propiedad adicional de que para cualesquiera dos submódulos finitamente generados A y B ,${\displaystyle A/J(A)\cong B/J(B)}$donde J (−) denota el radical de Jacobson del módulo. ^{[ 7 ]} En un módulo con longitud de composición finita, esto tiene el efecto de forzar que los factores de composición sean isomorfos, de ahí el adjetivo "homogéneo". Resulta que un anillo serial R es una suma directa finita de ideales derechos seriales homogéneos si y solo si R es isomorfo a un anillo de matrices n × n completo sobre un anillo serial local. Dichos anillos también se conocen como anillos seriales descomponibles primarios . ^{[ 8 ] [ 9 ]}

• Frank W. Anderson; Kent R. Fuller (1992), Anillos y categorías de módulos , Springer, págs. 347–349 , ISBN  0-387-97845-3
• Chatters, AW; Hajarnavis, CR (1980), Anillos con condiciones de cadena , Notas de investigación en matemáticas, vol.  44, Pitman, ISBN 978-0-273-08446-4
• Facchini, Alberto (1998), Anillos de endomorfismo y descomposiciones de suma directa en algunas clases de módulos , Birkhäuser Verlag, ISBN 3-7643-5908-0
• Faith, Carl (1976), Álgebra. II. Teoría del anillo. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, n° 191. Springer-Verlag
• Faith, Carl (1999), Anillos y cosas y una excelente selección de álgebra asociativa del siglo XX , Mathematical Surveys and Monographs, 65. American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0993-8
• Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, VV (2004), Álgebras, anillos y módulos. vol. 1. , Editorial académica Kluwer, ISBN 1-4020-2690-0
• Puninski, Gennadi (2001a), Anillos seriales , Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-7187-9

• Eisenbud, David; Griffith, Phillip (1971), "La estructura de los anillos seriales", Pacific J. Math. , 36 : 109–121 , doi : 10.2140/pjm.1971.36.109
• Facchini, Alberto (1996), "Krull-Schmidt falla para módulos seriales", Trans. Amer. Math. Soc. , 348 (11): 4561– 4575, doi : 10.1090/s0002-9947-96-01740-0
• Köthe, Gottfried (1935), "Verallgemeinerte Abelsche Gruppen mit hyperkomplexem Operatorenring. (alemán)", Math. Z. , 39 : 31– 44, doi : 10.1007/bf01201343
• Nakayama, Tadasi (1941), "Sobre las álgebras de Frobenius. II.", Annals of Mathematics , segunda serie, 42 (1): 1– 21, doi : 10.2307/1968984 , hdl : 10338.dmlcz/140501 , JSTOR 1968984 
• Příhoda, Pavel (2004), "Teorema débil de Krull-Schmidt y descomposiciones de suma directa de módulos seriales de dimensión Goldie finita", J. Algebra , 281 : 332–341 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2004.06.027
• Příhoda, Pavel (2006), "Una versión del teorema débil de Krull-Schmidt para sumas directas infinitas de módulos uniseriales", Comm. Algebra , 34 (4): 1479– 1487, doi : 10.1080/00927870500455049
• Puninski, GT (2002), "Anillos seriales artinianos y noetherianos.", J. Math. Sci. (Nueva York) , 110 : 2330–2347 , doi : 10.1023/A:1014906008243
• Puninski, Gennadi (2001b), "Alguna teoría de modelos sobre un dominio uniserial casi simple y descomposiciones de módulos seriales", J. Pure Appl. Algebra , 163 (3): 319– 337, doi : 10.1016/s0022-4049(00)00140-7
• Puninski, Gennadi (2001c), "Alguna teoría de modelos sobre un anillo uniserial excepcional y descomposiciones de módulos seriales", Journal of the London Mathematical Society , 64 (2): 311– 326, doi : 10.1112/s0024610701002344
• Warfield, Robert B. Jr. (1975), "Anillos seriales y módulos finitamente presentados.", J. Algebra , 37 (2): 187–222 , doi : 10.1016/0021-8693(75)90074-5