Semiespacio superior de Siegel

En matemáticas, dado un número entero positivo${\displaystyle g}$, el semiespacio superior de Siegel${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$de grado${\displaystyle g}$es el conjunto de${\displaystyle g\times g}$Matrices simétricas sobre los números complejos cuya parte imaginaria es definida positiva . Fue introducida por Siegel ( 1939 ) . El espacio ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$es el espacio simétrico asociado al grupo simpléctico${\displaystyle \mathrm {Sp} (2g,\mathbb {R} )}$. Cuando${\displaystyle g=1}$uno recupera el semiplano superior de Poincaré .

El espacio${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$A veces se le llama el semiplano superior de Siegel . ^{[ 1 ]}

El espacio${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$puede escribirse como $${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}=\operatorname {Sym} _{g}(\mathbb {R} )+i\,{\mathcal {P}}_{g},}$$ dónde${\displaystyle \operatorname {Sym} _{g}(\mathbb {R} )}$es el espacio de simetría real${\displaystyle g\times g}$matrices y${\displaystyle {\mathcal {P}}_{g}}$es el cono de matrices simétricas reales definidas positivas. En particular,${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$es un dominio tubular y, por lo tanto, un dominio convexo, en el espacio vectorial complejo de matrices simétricas. La frontera de Shilov es la Grassmanniana lagrangiana.${\displaystyle \Lambda (2g)}$.

Geométricamente,${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$es un dominio simétrico hermitiano irreducible de tipo Cartan III . Equivalentemente, puede identificarse con el espacio simétrico ^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle \mathrm {Sp} (2g,\mathbb {R} )/U(g).}$$

Mediante una transformación de Cayley ,${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$es biholomorfo a un dominio simétrico acotado, a saber, el disco de Siegel.$${\displaystyle \{W\in M_{g}(\mathbb {C} ):W^{t}=W,\ I_{g}-W^{*}\!W>0\}.}$$^{[ 6 ]}

Como variedad real, todo dominio simétrico es difeomorfo a un espacio euclidiano ; en el presente caso esto da $${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}\cong \mathbb {R} ^{g(g+1)},}$$ entonces${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$está conectado y simplemente conectado. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Como un dominio simétrico acotado,${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$posee una métrica de Kähler invariante canónica , a saber, la métrica de Bergman , bajo la cual es un espacio simétrico hermitiano de curvatura negativa. ^{[ 9 ]} En coordenadas${\displaystyle Z=X+iY}$, esta métrica invariante viene dada por $${\displaystyle ds^{2}=\operatorname {tr} (Y^{-1}dZ\,Y^{-1}d{\bar {Z}}).}$$ Cuando${\displaystyle g=1}$, el espacio${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$es el semiplano superior de Poincaré , y esta métrica se reduce a la métrica de Poincaré usual . ^{[ 10 ]} La métrica se puede escribir $${\displaystyle g=\operatorname {tr} \left((t^{-1}d\tau )(t^{-1}d{\bar {\tau }})\right),\quad \tau =s+it.}$$

La condición definitoria${\displaystyle \tau \in {\mathcal {H}}_{g}}$está estrechamente relacionado con las matrices de período clásicas de superficies de Riemann compactas y variedades abelianas complejas . ^{[ 12 ] [ 13 ]}

Dejar${\displaystyle S}$sea ​​una superficie de Riemann compacta de género${\displaystyle g}$y elegir una base simpléctica $${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{g},b_{1},\dots ,b_{g}}$$ para${\displaystyle H_{1}(S,\mathbb {Z} )}$, lo que significa que los números de intersección satisfacen $${\displaystyle a_{i}\cdot a_{j}=b_{i}\cdot b_{j}=0,\qquad a_{i}\cdot b_{j}=\delta _{ij}.}$$ Si${\displaystyle \omega _{1},\dots ,\omega _{g}}$es una base del espacio de 1-formas holomorfas en${\displaystyle S}$, su matriz de período es la${\displaystyle g\times 2g}$matriz $${\displaystyle P=\left(\int _{a_{j}}\omega _{i}\ ,\ \int _{b_{j}}\omega _{i}\right).}$$ Las relaciones bilineales de Riemann implican que la${\displaystyle g\times g}$matriz de${\displaystyle a}$-períodos es invertible. Después de normalizar la base de 1-formas holomorfas de modo que $${\displaystyle \int _{a_{j}}\omega _{i}=\delta _{ij},}$$ se obtiene la matriz de período normalizada $${\displaystyle \Omega _{ij}=\int _{b_{j}}\omega _{i}.}$$ Las relaciones bilineales dicen entonces precisamente que${\displaystyle \Omega }$es simétrico y que${\displaystyle \operatorname {Im} (\Omega )}$es definida positiva; equivalentemente, ^{[ 14 ]}$${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {H}}_{g}.}$$

Esta construcción da la variedad jacobiana de${\displaystyle S}$: $${\displaystyle J(S)=\mathbb {C} ^{g}/(\mathbb {Z} ^{g}+\Omega \mathbb {Z} ^{g}),}$$ que es una variedad abeliana principalmente polarizada. Por lo tanto, el semiespacio superior de Siegel contiene todas las matrices de período normalizadas de superficies de Riemann compactas de género${\displaystyle g}$. ^{[ 15 ]}

En términos más generales, si${\displaystyle A}$es una variedad abeliana compleja de dimensión principalmente polarizada${\displaystyle g}$, entonces se puede elegir una base simpléctica para su red periódica de modo que la red sea generada por las columnas de $${\displaystyle (I_{g}\ \Omega )}$$ para una matriz única${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {H}}_{g}}$hasta la acción de${\displaystyle \operatorname {Sp} (2g,\mathbb {Z} )}$. Por el contrario, cada matriz${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {H}}_{g}}$define una variedad abeliana compleja principalmente polarizada $${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}/(\mathbb {Z} ^{g}+\Omega \mathbb {Z} ^{g}).}$$ En este sentido, las relaciones bilineales de Riemann explican por qué el semiplano superior de Siegel es el espacio de parámetros natural para matrices periódicas. ^{[ 14 ] [ 15 ]}

No todos los puntos de${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$es la matriz de periodos de una superficie de Riemann compacta cuando${\displaystyle g\geq 4}$; determinar qué puntos surgen de esta manera es el problema de Schottky . ^{[ 16 ]}

El cociente${\displaystyle A_{g}=\Gamma _{g}\backslash {\mathcal {H}}_{g}}$no es compacto. Una compactación estándar es la compactación de Satake-Baily-Borel.${\displaystyle A_{g}^{*}}$, obtenida al adjuntar las componentes de frontera racionales del semiplano superior de Siegel. ^{[ 18 ] [ 19 ]} Esta compactificación es una variedad algebraica proyectiva y a menudo se denomina compactificación mínima . ^{[ 20 ]} Para${\displaystyle g=1}$Esto se reduce a la compactificación familiar de curvas modulares mediante la adición de puntos de cúspide. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

Una clase más fina de compactificaciones está dada por las compactificaciones toroidales, que dependen de la elección de una descomposición de cono poliédrico racional admisible. ^{[ 20 ] [ 19 ]} Para una descomposición proyectiva admisible, la compactificación toroidal resultante${\displaystyle A_{g}^{\Sigma }}$es proyectivo y existe un morfismo natural. $${\displaystyle A_{g}^{\Sigma }\to A_{g}^{*}.}$$ Si uno reemplaza${\displaystyle \Gamma _{g}}$mediante un subgrupo aritmético ordenado, se pueden elegir compactificaciones toroidales suaves con frontera divisor. ^{[ 19 ]}

Entre las compactificaciones toroidales más conocidas para el grupo modular completo de Siegel se encuentran la compactificación de Igusa (que proviene de la descomposición del cono central) y la segunda compactificación de Voronoi. ^{[ 19 ]}

• Transformación de Bogoliubov , una transformación a lo largo del eje real del semiplano de Siegel.
• Grupo paramodular , una generalización del grupo modular de Siegel.
• Forma modular de Siegel , un tipo de forma automórfica definida en el semiplano superior de Siegel.
• Variedad modular de Siegel , un espacio de módulos construido como un cociente del semiespacio superior de Siegel.

• Bowman, Joshua P. "Algunos resultados elementales sobre el semiplano de Siegel" (PDF) ..

• van der Geer, Gerard (2008), "Siegel modular formularios y sus aplicaciones", en Ranestad, Kristian (ed.), El 1-2-3 de las formas modulares , Universitext, Berlín: Springer-Verlag , págs. 181-245 , doi : 10.1007/978-3-540-74119-0 , ISBN  978-3-540-74117-6, MR 2409679 

• Siegel, Carl Ludwig (1939), "Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades", Mathematische Annalen , 116 : 617– 657, doi : 10.1007/BF01597381 , ISSN 0025-5831 , MR 0001251 , S2CID 124337559