Forma normal de Skolem

En lógica matemática , una fórmula de lógica de primer orden está en forma normal de Skolem si está en forma normal prenexa con solo cuantificadores universales de primer orden .

Toda fórmula de primer orden puede convertirse a la forma normal de Skolem sin alterar su satisfacibilidad mediante un proceso denominado skolemización (a veces escrito skolemnización ). La fórmula resultante no es necesariamente equivalente a la original, pero es equisatisfacible con ella: es satisfacible si y solo si la original es satisfacible. ^{[ 1 ]}

La reducción a la forma normal de Skolem es un método para eliminar cuantificadores existenciales de enunciados de lógica formal , que a menudo se realiza como primer paso en un demostrador automático de teoremas .

La forma más simple de skolemización se aplica a variables cuantificadas existencialmente que no se encuentran dentro del alcance de un cuantificador universal. Estas pueden reemplazarse simplemente creando nuevas constantes. Por ejemplo, puede cambiarse a , donde es una nueva constante (no aparece en ninguna otra parte de la fórmula). ${\displaystyle \exists xP(x)}$${\displaystyle P(c)}$${\displaystyle c}$

De manera más general, la skolemización se realiza reemplazando cada variable cuantificada existencialmente con un término cuyo símbolo de función es nuevo. Las variables de este término son las siguientes. Si la fórmula está en forma normal prenexa , entonces son las variables que están cuantificadas universalmente y cuyos cuantificadores preceden al de . En general, son las variables que están cuantificadas universalmente (suponemos que eliminamos los cuantificadores existenciales en orden, por lo que todos los cuantificadores existenciales anteriores han sido eliminados) y tales que ocurre en el ámbito de sus cuantificadores. La función introducida en este proceso se llama función de Skolem (o constante de Skolem si es de aridad cero ) y el término se llama término de Skolem . ${\displaystyle y}$${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \exists y}$${\displaystyle \exists y}$${\displaystyle f}$

Como ejemplo, la fórmula no está en forma normal de Skolem porque contiene el cuantificador existencial . La skolemización reemplaza con , donde es un nuevo símbolo de función, y elimina la cuantificación sobre . La fórmula resultante es . El término de Skolem contiene , pero no , porque el cuantificador que se va a eliminar está en el ámbito de , pero no en el de ; dado que esta fórmula está en forma normal prenexa, esto es equivalente a decir que, en la lista de cuantificadores, precede a mientras que no. La fórmula obtenida por esta transformación es satisfacible si y solo si la fórmula original lo es. ${\displaystyle \forall x\exists y\forall zP(x,y,z)}$${\displaystyle \exists y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \forall x\forall zP(x,f(x),z)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \exists y}$${\displaystyle \forall x}$${\displaystyle \forall z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

La skolemización funciona aplicando una equivalencia de segundo orden junto con la definición de satisfacibilidad de primer orden. Esta equivalencia permite "trasladar" un cuantificador existencial ante uno universal.

${\displaystyle \forall x\exists yR(x,y)\iff \exists f\forall xR(x,f(x))}$

dónde

${\displaystyle f(x)}$es una función que se asigna a .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Intuitivamente, la oración "para cada existe un tal que " se convierte en la forma equivalente "existe una función que asigna a cada en un tal que, para cada se cumple que ". ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle R(x,y)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle R(x,f(x))}$

Esta equivalencia es útil porque la definición de satisfacibilidad de primer orden cuantifica existencialmente implícitamente sobre funciones que interpretan los símbolos de función. En particular, una fórmula de primer orden es satisfacible si existe un modelo y una evaluación de las variables libres de la fórmula que la evalúan como verdadera . El modelo contiene la interpretación de todos los símbolos de función; por lo tanto, las funciones de Skolem están cuantificadas existencialmente de forma implícita. En el ejemplo anterior, es satisfacible si y solo si existe un modelo , que contiene una interpretación para , tal que es verdadera para alguna evaluación de sus variables libres (ninguna en este caso). Esto puede expresarse en segundo orden como . Por la equivalencia anterior, esto es lo mismo que la satisfacibilidad de . ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \forall xR(x,f(x))}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \forall xR(x,f(x))}$${\displaystyle \exists f\forall xR(x,f(x))}$${\displaystyle \forall x\exists yR(x,y)}$

En el nivel meta, la satisfacibilidad de primer orden de una fórmula puede escribirse con un pequeño abuso de notación como , donde es un modelo, es una evaluación de las variables libres y significa que es verdadero en bajo . Dado que los modelos de primer orden contienen la interpretación de todos los símbolos de función, cualquier función de Skolem que contenga está implícitamente cuantificada existencialmente por . Como resultado, después de reemplazar los cuantificadores existenciales sobre variables por cuantificadores existenciales sobre funciones al frente de la fórmula, la fórmula aún puede tratarse como de primer orden eliminando estos cuantificadores existenciales. Este paso final de tratar como puede completarse porque las funciones están implícitamente cuantificadas existencialmente por en la definición de satisfacibilidad de primer orden. ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \exists M\exists \mu (M,\mu \models \Phi )}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \models }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \exists M}$${\displaystyle \exists f\forall xR(x,f(x))}$${\displaystyle \forall xR(x,f(x))}$${\displaystyle \exists M}$

La corrección de la skolemización puede mostrarse en la fórmula de ejemplo de la siguiente manera. Esta fórmula es satisfecha por un modelo si y solo si, para cada posible valor de en el dominio del modelo, existe un valor de en el dominio del modelo que hace verdadera. Por el axioma de elección , existe una función tal que . Como resultado, la fórmula es satisfacible, porque tiene el modelo obtenido al agregar la interpretación de a . Esto muestra que es satisfacible solo si también lo es. Recíprocamente, si es satisfacible, entonces existe un modelo que la satisface; este modelo incluye una interpretación para la función tal que, para cada valor de , la fórmula se cumple. Como resultado, es satisfecha por el mismo modelo porque se puede elegir, para cada valor de , el valor , donde se evalúa según . ${\displaystyle F_{1}=\forall x_{1}\dots \forall x_{n}\exists yR(x_{1},\dots ,x_{n},y)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle R(x_{1},\dots ,x_{n},y)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle F_{2}=\forall x_{1}\dots \forall x_{n}R(x_{1},\dots ,x_{n},f(x_{1},\dots ,x_{n}))}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle M'}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle R(x_{1},\dots ,x_{n},f(x_{1},\dots ,x_{n}))}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M'}$

Una de las aplicaciones de la skolemización se encuentra en la demostración automática de teoremas . Por ejemplo, en el método de los tableaux analíticos , siempre que aparece una fórmula cuyo cuantificador principal es existencial, se puede generar la fórmula obtenida al eliminar dicho cuantificador mediante la skolemización. Por ejemplo, si aparece en un tableau, donde son las variables libres de , entonces se puede añadir a la misma rama del tableau. Esta adición no altera la satisfacibilidad del tableau: cualquier modelo de la fórmula original puede extenderse, añadiendo una interpretación adecuada de , a un modelo de la nueva fórmula. ${\displaystyle \exists x\Phi (x,y_{1},\ldots ,y_{n})}$${\displaystyle x,y_{1},\ldots ,y_{n}}$${\displaystyle \Phi (x,y_{1},\ldots ,y_{n})}$${\displaystyle \Phi (f(y_{1},\ldots ,y_{n}),y_{1},\ldots ,y_{n})}$${\displaystyle f}$

Esta forma de skolemización supone una mejora respecto a la skolemización "clásica", ya que solo las variables libres en la fórmula se incluyen en el término de skolem. Esto representa una mejora porque la semántica de los tableaux puede situar implícitamente la fórmula en el ámbito de algunas variables cuantificadas universalmente que no están presentes en la fórmula misma; estas variables no se incluyen en el término de skolem, aunque sí lo estarían según la definición original de skolemización. Otra mejora que se puede utilizar consiste en aplicar el mismo símbolo de función de skolem a fórmulas idénticas salvo por el cambio de nombre de las variables. ^{[ 2 ]}

Otro uso se encuentra en el método de resolución para la lógica de primer orden , donde las fórmulas se representan como conjuntos de cláusulas que se entienden cuantificadas universalmente. (Para un ejemplo, véase la paradoja del bebedor ).

Un resultado importante en la teoría de modelos es el teorema de Löwenheim-Skolem , que puede demostrarse mediante la skolemización de la teoría y el cierre bajo las funciones de Skolem resultantes. ^{[ 3 ]}

En general, si es una teoría y para cada fórmula con variables libres hay un símbolo de función n -aria que es demostrablemente una función de Skolem para , entonces se denomina teoría de Skolem . ^{[ 4 ]}${\displaystyle T}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle y}$${\displaystyle T}$

Toda teoría de Skolem es modelo-completa , es decir, toda subestructura de un modelo es una subestructura elemental . Dado un modelo M de una teoría de Skolem T , la subestructura más pequeña de M que contiene un conjunto A determinado se denomina envoltura de Skolem de A. La envoltura de Skolem de A es un modelo atómico primo sobre A.

La forma normal de Skolem recibe su nombre del difunto matemático noruego Thoralf Skolem .

• Herbrandización , el dual de Skolemización
• lógica de functores de predicados

• "Función de Skolem" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Eskolemización en PlanetMath.org
• Skolemización por Hector Zenil, El Proyecto de Demostraciones de Wolfram .
• Weisstein, Eric W. "Forma skolemizada" . MathWorld .