Estructura de espín

En geometría diferencial , una estructura de espín en una variedad riemanniana orientable ( M , g ) permite definir haces de espinores asociados , dando lugar a la noción de espinor en geometría diferencial.

Las estructuras de espín tienen amplias aplicaciones en la física matemática , en particular en la teoría cuántica de campos, donde constituyen un ingrediente esencial en la definición de cualquier teoría con fermiones sin carga . También son de interés puramente matemático en geometría diferencial , topología algebraica y teoría K. Forman la base de la geometría de espín .

Descripción general

En geometría y en teoría de campos , los matemáticos se preguntan si una variedad riemanniana orientada dada ( M , g ) admite espinores . Un método para abordar este problema es requerir que M tenga una estructura de espín. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Esto no siempre es posible ya que existe una posible obstrucción topológica a la existencia de estructuras de espín. Las estructuras de espín existirán si y solo si la segunda clase de Stiefel-Whitney w ₂ ( M ) ∈ H ² ( M , Z ₂ ) de M se anula. Además, si w ₂ ( M ) = 0, entonces el conjunto de clases de isomorfismo de estructuras de espín en M es actuado libre y transitivamente por H ¹ ( M , Z ₂ ) . Como se supone que la variedad M está orientada, la primera clase de Stiefel-Whitney w ₁ ( M ) ∈ H ¹ ( M , Z ₂ ) de M también se anula. (Las clases de Stiefel-Whitney w _i ( M ) ∈ H ⁱ ( M , Z ₂ ) de una variedad M se definen como las clases de Stiefel-Whitney de su fibrado tangente TM .)

El fibrado de espinores π _S : S → M sobre M es entonces el fibrado vectorial complejo asociado con el fibrado principal correspondiente π _P : P → M de marcos de espín sobre M y la representación de espín de su grupo de estructura Spin( n ) en el espacio de espinores Δ _n . El fibrado S se llama fibrado de espinores para una estructura de espín dada en M .

Una definición precisa de la estructura de espín en una variedad solo fue posible después de que se introdujera la noción de fibrado ; André Haefliger (1956) halló la obstrucción topológica a la existencia de una estructura de espín en una variedad riemanniana orientable y Max Karoubi (1968) extendió este resultado al caso pseudoriemanniano no orientable. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Estructuras de espín en variedades riemannianas

Definición

Una estructura de espín en una variedad riemanniana orientable . $(M,g)$ con un haz vectorial orientado $E$ es una elevación equivariante del fibrado de marcos ortonormales $P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M$ con respecto a la doble cubierta ${\displaystyle \rho$ . En otras palabras, un par $(P_{\operatorname {Spin} },\phi )$ es una estructura de espín en el haz principal SO( n ) $\pi :P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M$ cuando

$\pi _{P}:P_{\operatorname {Spin} }\rightarrow M$ es un fibrado principal Spin( n ) sobre $M$ , y
$\phi :P_{\operatorname {Spin} }\rightarrow P_{\operatorname {SO} }(E)$ es una aplicación de recubrimiento doble equivariante tal que
$\pi \circ \phi =\pi _{P}\quad$ y $\quad \phi (pq)=\phi (p)\rho (q)\quad$ a pesar de $p\in P_{\operatorname {Spin} }$ y $q\in \operatorname {Spin} (n)$ .

Dos estructuras de espín $(P_{1},\phi _{1})$ y $(P_{2},\phi _{2})$ Las variedades riemannianas orientadas en la misma se denominan "equivalentes" si existe una aplicación Spin( n )-equivariante. $f:P_{1}\rightarrow P_{2}$ de tal manera que

\phi _{2}\circ f=\phi _{1}\quad

y

\quad f(pq)=f(p)q\quad

a pesar de

p\in P_{1}

y

q\in \operatorname {Spin} (n)

.

En este caso $\phi _{1}$ y $\phi _{2}$ son dos recubrimientos dobles equivalentes.

La definición de estructura de espín en $(M,g)$ como una estructura de espín en el haz principal $P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M$ Se debe a André Haefliger (1956).

Obstrucción

Haefliger ^{[ 1 ]} encontró condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una estructura de espín en una variedad riemanniana orientada ( M , g ). La obstrucción para tener una estructura de espín es un cierto elemento [ k ] de H ² ( M , Z ₂ ) . Para una estructura de espín, la clase [ k ] es la segunda clase de Stiefel-Whitney w ₂ ( M ) ∈ H ² ( M , Z ₂ ) de M . Por lo tanto, una estructura de espín existe si y solo si la segunda clase de Stiefel-Whitney w ₂ ( M ) ∈ H ² ( M , Z ₂ ) de M se anula.

Estructuras de espín en haces vectoriales

Sea M una variedad topológica paracompacta y E un fibrado vectorial orientado sobre M de dimensión n equipado con una métrica de fibra . Esto significa que en cada punto de M , la fibra de E es un espacio de producto interno . Un fibrado espinorial de E es una prescripción para asociar consistentemente una representación de espín a cada punto de M. Hay obstrucciones topológicas para poder hacerlo y, en consecuencia, un fibrado dado E puede no admitir ningún fibrado espinorial. En caso de que lo admita, se dice que el fibrado E es espín .

Esto puede hacerse riguroso mediante el lenguaje de los haces principales . La colección de marcos ortonormales orientados de un haz vectorial forma un haz de marcos P _SO ( E ), que es un haz principal bajo la acción del grupo ortogonal especial SO( n ). Una estructura de espín para P _SO ( E ) es una elevación de P _SO ( E ) a un haz principal P _Spin ( E ) bajo la acción del grupo de espín Spin( n ), con lo que queremos decir que existe una aplicación de haces $\phi$ : P _Spin ( E ) → P _SO ( E ) tal que

\phi (pg)=\phi (p)\rho (g)

, para todo p ∈ P _Spin ( E ) y g ∈ Spin( n ) ,

donde ρ : Spin( n ) → SO( n ) es el mapeo de grupos que presenta el grupo spin como una doble cubierta de SO( n ).

En el caso especial en que E es el fibrado tangente TM sobre la variedad base M , si existe una estructura de espín, entonces se dice que M es una variedad de espín . De forma equivalente, _Mes de espín si el fibrado principal SO( n ) de bases ortonormales de las fibras tangentes de M es un cociente Z2 de un fibrado principal de espín.

Si la variedad tiene una descomposición celular o una triangulación , una estructura de espín puede considerarse equivalentemente como una clase de homotopía de una trivialización del fibrado tangente sobre el 1- esqueleto que se extiende sobre el 2-esqueleto. Si la dimensión es menor que 3, primero se toma una suma de Whitney con un fibrado lineal trivial.

Obstrucción y clasificación

Para un haz vectorial orientable $\pi _{E}:E\to M$ existe una estructura de espín en $E$ si y solo si la segunda clase de Stiefel-Whitney $w_{2}(E)$ desaparece. Esto es resultado de Armand Borel y Friedrich Hirzebruch . ^{[ 6 ]} Además, en el caso $E\to M$ es espín, el número de estructuras de espín están en biyección con $H^{1}(M,\mathbf {Z} /2)$ Estos resultados pueden probarse fácilmente ^{[ 7 ]}^{págs. 110-111} utilizando un argumento de secuencia espectral para el principal asociado. $\operatorname {SO} (n)$ -manojo $P_{E}\to M$ . Nótese que esto produce una fibración $\operatorname {SO} (n)\to P_{E}\to M,$ Por lo tanto, se puede aplicar la secuencia espectral de Serre . A partir de la teoría general de secuencias espectrales, existe una secuencia exacta. $0\to E_{3}^{0,1}\to E_{2}^{0,1}{\overset {w_{2}}{\rightarrow }}E_{2}^{2,0}\to E_{3}^{2,0}\to 0$ dónde ${\begin{aligned}E_{2}^{0,1}&=H^{0}(M,H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbf {Z} /2))=H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbf {Z} /2)=\mathbf {Z} /2\\E_{2}^{2,0}&=H^{2}(M,H^{0}(\operatorname {SO} (n),\mathbf {Z} /2))=H^{2}(M,\mathbf {Z} /2).\end{aligned}}$ Además, $E_{\infty }^{0,1}=E_{3}^{0,1}$ y $E_{\infty }^{0,1}=H^{1}(P_{E},\mathbf {Z} /2)/F^{1}(H^{1}(P_{E},\mathbf {Z} /2))$ para alguna filtración $F$ en $H^{1}(P_{E},\mathbf {Z} /2)$ , por lo tanto obtenemos un mapa $H^{1}(P_{E},\mathbf {Z} /2)\to E_{3}^{0,1}$ dando una secuencia exacta $H^{1}(P_{E},\mathbf {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbf {Z} /2){\overset {w_{2}}{\rightarrow }}H^{2}(M,\mathbf {Z} /2).$ Ahora bien, una estructura de espín es exactamente una doble cubierta de $P_{E}$ encajando en un diagrama conmutativo ${\begin{matrix}\operatorname {Spin} (n)&\to &{\tilde {P}}_{E}&\to &M\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {SO} (n)&\to &P_{E}&\to &M\end{matrix}}$ donde los dos mapas verticales de la izquierda son los mapas de doble cobertura. Nótese la doble cobertura de $P_{E}$ están en biyección con índice $2$ subgrupos de $\pi _{1}(P_{E})$ , equivalentemente, están en biyección con el conjunto de morfismos de grupo ${\text{Hom}}(\pi _{1}(P_{E}),\mathbf {Z} /2)$ Pero, según el teorema de Hurewicz y el cambio de coeficientes, este es precisamente el grupo de cohomología. $H^{1}(P_{E},\mathbf {Z} /2)$ . Aplicando el mismo argumento a $\operatorname {SO} (n)$ , la cobertura no trivial $\operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)$ corresponde a $1\in H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbf {Z} /2)=\mathbf {Z} /2$ y el mapa a $H^{2}(M,\mathbf {Z} /2)$ es precisamente el $w_{2}$ de la segunda clase de Stiefel-Whitney, por lo tanto $w_{2}(1)=w_{2}(E)$ . Si desaparece, entonces la imagen inversa de $1$ debajo del mapa $H^{1}(P_{E},\mathbf {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbf {Z} /2)$ es el conjunto de recubrimientos dobles que dan estructuras de espín. Ahora, este subconjunto de $H^{1}(P_{E},\mathbf {Z} /2)$ puede identificarse con $H^{1}(M,\mathbf {Z} /2)$ , mostrando que este último grupo de cohomología clasifica las diversas estructuras de espín en el fibrado vectorial. $E\to M$ Esto se puede hacer observando la larga secuencia exacta de grupos de homotopía de la fibración. $\pi _{1}(\operatorname {SO} (n))\to \pi _{1}(P_{E})\to \pi _{1}(M)\to 1$ y aplicar ${\text{Hom}}(-,\mathbf {Z} /2)$ , dando la secuencia de grupos de cohomología $0\to H^{1}(M,\mathbf {Z} /2)\to H^{1}(P_{E},\mathbf {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbf {Z} /2).$ Porque $H^{1}(M,\mathbf {Z} /2)$ es el núcleo y la imagen inversa de $1\in H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbf {Z} /2)$ está en biyección con el núcleo, tenemos el resultado deseado.

Observaciones sobre la clasificación

Cuando existen estructuras de espín, las estructuras de espín no equivalentes en una variedad tienen una correspondencia biunívoca (no canónica) con los elementos de H ¹ ( M , Z ₂ ), que por el teorema del coeficiente universal es isomorfo a H ₁ ( M , Z ₂ ). Más precisamente, el espacio de las clases de isomorfismo de las estructuras de espín es un espacio afín sobre H ¹ ( M , Z ₂ ).

Intuitivamente, para cada ciclo no trivial en M, una estructura de espín corresponde a una elección binaria de si una sección del fibrado SO( N ) cambia de hoja cuando se rodea el bucle. Si w2 ^[⁸^]_{se anula ,} entonces estas elecciones pueden extenderse sobre el esqueleto de dos elementos , y luego (por la teoría de obstrucción ) pueden extenderse automáticamente sobre todo M. En física de partículas, esto corresponde a una elección de condiciones de contorno periódicas o antiperiódicas para los fermiones que rodean cada bucle. Nótese que en una variedad compleja $X$ La segunda clase de Stiefel-Whitney se puede calcular como la primera clase de Chern. ${\text{mod }}2$ .

Ejemplos

Una superficie de Riemann de género g admite 2 ²^g estructuras de espín no equivalentes; véase la característica theta .
Si H ² ( M , Z ₂ ) se anula, M es espín. Por ejemplo, S ⁿ es espín para todo $n\neq 2$ (Tenga en cuenta que S ² también es espín, pero por razones diferentes; véase más abajo).
El plano proyectivo complejo CP ² no es un espín.
En términos más generales, todos los espacios proyectivos complejos de dimensión par CP ^{2 n} no son espín.
Todos los espacios proyectivos complejos de dimensión impar CP ²ⁿ⁺¹ son espín.
Todas las variedades compactas y orientables de dimensión 3 o menos son de espín.
Todas las variedades de Calabi-Yau son de espín.

Propiedades

El género de una variedad de espín es un número entero, y es un número entero par si además la dimensión es 4 mod 8.
En general, el género Â es un invariante racional, definido para cualquier variedad, pero en general no es un número entero.
Esto fue demostrado originalmente por Hirzebruch y Borel , y puede probarse mediante el teorema del índice de Atiyah-Singer , al considerar el género Â como el índice de un operador de Dirac . Un operador de Dirac es la raíz cuadrada de un operador de segundo orden y existe debido a que la estructura de espín es una "raíz cuadrada". Este fue un ejemplo que motivó el teorema del índice.

Estructuras de espín ^C

Una estructura de espín ^C es análoga a una estructura de espín en una variedad riemanniana orientada , ^{[ 9 ]} pero utiliza el grupo de espín ^C , que se define en cambio por la secuencia exacta.

1\to \mathbf {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(n)\to \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1.

Para motivar esto, supongamos que κ : Spin( n ) → U( N ) es una representación espinorial compleja. El centro de U( N ) consta de los elementos diagonales que provienen de la inclusión i : U(1) → U( N ) , es decir, los múltiplos escalares de la identidad. Por lo tanto, existe un homomorfismo

\kappa \times i\colon {\mathrm {Spin} }(n)\times {\mathrm {U} }(1)\to {\mathrm {U} }(N).

Esto siempre tendrá el elemento (−1,−1) en el núcleo. Tomando el cociente módulo este elemento se obtiene el grupo Spin ^C ( n ). Este es el producto retorcido

{\mathrm {Spin} }^{\mathbf {C} }(n)={\mathrm {Spin} }(n)\times _{\mathbf {Z} _{2}}{\mathrm {U} }(1)\,,

donde U(1) = SO(2) = S ¹ . En otras palabras, el grupo Spin ^C ( n ) es una extensión central de SO( n ) por S ¹ .

Visto de otra manera, Spin ^C ( n ) es el grupo cociente obtenido de Spin( n ) × Spin(2) con respecto a la normal Z ₂ que se genera mediante el par de transformaciones de recubrimiento para los haces Spin( n ) → SO( n ) y Spin(2) → SO(2) respectivamente. Esto hace que el grupo Spin ^C sea tanto un haz sobre el círculo con fibra Spin( n ), como un haz sobre SO( n ) con fibra un círculo. ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

El grupo fundamental π ₁ (espín ^C ( n )) es isomorfo a Z si n ≠ 2, y a Z ⊕ Z si n = 2.

Si la variedad tiene una descomposición celular o una triangulación , una estructura de espín ^C puede considerarse equivalentemente como una clase de homotopía de estructura compleja sobre el esqueleto bidimensional que se extiende sobre el esqueleto tridimensional. De forma similar al caso de las estructuras de espín, se toma una suma de Whitney con un fibrado lineal trivial si la variedad es de dimensión impar.

Otra definición más es que una estructura de espín ^C en una variedad N es un fibrado de líneas complejo L sobre N junto con una estructura de espín en T N ⊕ L .

Obstrucción

Existe una estructura de espín ^C cuando el fibrado es orientable y la segunda clase de Stiefel-Whitney del fibrado E está en la imagen de la aplicación H ² ( M , Z ) → H ² ( M , Z /2 Z ) (en otras palabras, la tercera clase integral de Stiefel-Whitney se anula, véase la discusión a continuación). En este caso se dice que E es de espín ^C. Intuitivamente, la elevación proporciona la clase de Chern del cuadrado de la parte U(1) de cualquier fibrado de espín ^C obtenido .

Clasificación

Cuando una variedad posee una estructura de espín ^{C , el conjunto de estructuras de espín}^C forma un espacio afín. Además, el conjunto de estructuras de espín ^C tiene una acción transitiva libre de H₂ ( M , Z ) . Por lo tanto, las estructuras de espín ^C corresponden a elementos de H₂ ( ^M , Z ), ^aunque no de forma natural.

Imagen geométrica

Esto tiene la siguiente interpretación geométrica, debida a Edward Witten . Cuando la estructura de espín ^C es distinta de cero, este fibrado de raíz cuadrada tiene una clase de Chern no entera, lo que significa que no cumple la condición de triple solapamiento . En particular, el producto de las funciones de transición en una intersección triple no siempre es igual a uno, como se requiere para un fibrado principal . En cambio, a veces es -1 .

Este fallo se produce precisamente en las mismas intersecciones que un fallo idéntico en los productos triples de las funciones de transición del fibrado de espín obstruido . Por lo tanto, los productos triples de las funciones de transición del fibrado de espín ^C completo , que son los productos del producto triple de los fibrados de espín y componentes U(1), son o bien 1 ² = 1 o bien (−1) ² = 1 y, por lo tanto, el fibrado de espín ^C satisface la condición de superposición triple y, por consiguiente, es un fibrado legítimo.

Los detalles

La imagen geométrica intuitiva anterior se puede concretar de la siguiente manera. Consideremos la secuencia exacta corta 0 → Z → Z → Z ₂ → 0 , donde la segunda flecha es la multiplicación por 2 y la tercera es la reducción módulo 2. Esto induce una secuencia exacta larga en cohomología, que contiene

\dots \longrightarrow {\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} ){\stackrel {2}{\longrightarrow }}{\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} )\longrightarrow {\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} _{2}){\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}{\textrm {H}}^{3}(M;\mathbf {Z} )\longrightarrow \dots ,

donde la segunda flecha es inducida por la multiplicación por 2, la tercera es inducida por la restricción módulo 2 y la cuarta es el homomorfismo de Bockstein asociado β .

La obstrucción a la existencia de un fibrado de espín es un elemento w ₂ de H ² ( M , Z ₂ ) . Refleja el hecho de que siempre se puede elevar localmente un fibrado SO(n) a un fibrado de espín, pero es necesario elegir una elevación Z ₂ de cada función de transición, que es una elección de signo. La elevación no existe cuando el producto de estos tres signos en una superposición triple es −1, lo que produce la imagen de cohomología de Čech de w ₂ .

Para cancelar esta obstrucción, se aplica un tensor a este fibrado de espín con un fibrado U(1) con la misma obstrucción w ₂ . Nótese que esto es un abuso de la palabra fibrado , ya que ni el fibrado de espín ni el fibrado U(1) satisfacen la condición de triple solapamiento y, por lo tanto, ninguno es realmente un fibrado.

Un fibrado U(1) legítimo se clasifica por su clase de Chern , que es un elemento de H₂ ⁽ M , Z ) . Identifique esta clase con el primer elemento de la secuencia exacta anterior. La siguiente flecha duplica esta clase de Chern, por lo que los fibrados legítimos corresponderán a elementos pares en el segundo ^H₂ ( M , Z ) , mientras que los elementos impares corresponderán a fibrados que no cumplen la condición de triple solapamiento. La obstrucción se clasifica entonces por el hecho de que un elemento del segundo H₂ ⁽ M , Z ) no se encuentre en la imagen de la flecha, la cual, por exactitud, se clasifica por su imagen en H₂ ⁽ M , Z² ) _bajo la siguiente flecha.

Para cancelar la obstrucción correspondiente en el fibrado de espín, esta imagen debe ser w ₂ . En particular, si w ₂ no está en la imagen de la flecha, entonces no existe ningún fibrado U(1) con obstrucción igual a w ₂ y, por lo tanto, la obstrucción no puede cancelarse. Por exactitud, w ₂ está en la imagen de la flecha precedente solo si está en el núcleo de la siguiente flecha, que recordemos es el homomorfismo de Bockstein β. Es decir, la condición para la cancelación de la obstrucción es

W_{3}=\beta w_{2}=0

donde hemos utilizado el hecho de que la tercera clase integral de Stiefel-Whitney W ₃ es el Bockstein de la segunda clase de Stiefel-Whitney w ₂ (esto puede tomarse como una definición de W ₃ ).

Elevadores integrales de las clases Stiefel-Whitney

Este argumento también demuestra que la segunda clase de Stiefel-Whitney define elementos no solo de cohomología Z² sino también de cohomología integral en un grado superior. De hecho, esto se cumple para todas las clases de Stiefel-Whitney pares. Tradicionalmente, se utiliza una W mayúscula _paralas clases resultantes de grado impar, que se denominan clases de Stiefel-Whitney integrales y se etiquetan según su grado (que siempre es impar).

Ejemplos

Todas las variedades suaves orientadas de dimensión 4 o menor son de espín ^C.^[¹²^] (En particular, según un teorema de Hopf y Hirzebruch, las 4-variedades orientables cerradas siempre admiten una estructura de espín ^C ).
Casi todas las variedades complejas son de espín ^C.
Todas las variedades de espín son de espín ^C.

Aplicación a la física de partículas

En física de partículas, el teorema de espín-estadística implica que la función de onda de un fermión sin carga puede describirse como una sección del fibrado vectorial asociado al levantamiento de espín de un fibrado SO( N ) E. Por lo tanto, la elección de la estructura de espín es parte de los datos necesarios para definir la función de onda, y a menudo es necesario sumar sobre estas elecciones en la función de partición . En muchas teorías físicas, E es el fibrado tangente , pero para los fermiones en los volúmenes de mundo de las D-branas en la teoría de cuerdas es un fibrado normal .

En la teoría cuántica de campos, los espinores cargados son secciones de fibrados de espín ^{C asociados, y en particular, no pueden existir espinores cargados en un espacio que no sea de espín}^C. Una excepción surge en algunas teorías de supergravedad donde interacciones adicionales implican que otros campos pueden cancelar la tercera clase de Stiefel-Whitney. La descripción matemática de los espinores en la supergravedad y la teoría de cuerdas es un problema abierto particularmente sutil, que fue abordado recientemente en las referencias ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]} . Resulta que la noción estándar de estructura de espín es demasiado restrictiva para aplicaciones a la supergravedad y la teoría de cuerdas, y que la noción correcta de estructura espinorial para la formulación matemática de estas teorías es una "estructura de Lipschitz" ^{[ 13 ]}^{[ 15 ] .}

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

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Enlaces externos

"Something on Spin Structures" de Sven-S. Porst es una breve introducción a la orientación y las estructuras de espín para estudiantes de matemáticas.

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Descripción general

Estructuras de espín en variedades riemannianas

Definición

Obstrucción

Estructuras de espín en haces vectoriales

Obstrucción y clasificación

Observaciones sobre la clasificación

Ejemplos

Propiedades

Estructuras de espín C

Obstrucción

Clasificación

Imagen geométrica

Los detalles

Elevadores integrales de las clases Stiefel-Whitney

Ejemplos

Aplicación a la física de partículas

Véase también

Referencias

Lecturas adicionales

Enlaces externos

Estructuras de espín ^C