Estado coherente comprimido

En física , un estado coherente comprimido es un estado cuántico que generalmente se describe mediante dos observables que no conmutan y que tienen espectros continuos de valores propios . Ejemplos de ello son la posición${\displaystyle x}$y el impulso${\displaystyle p}$de una partícula y el campo eléctrico (adimensional) en la amplitud${\displaystyle X}$(fase 0) y en el modo${\displaystyle Y}$(fase 90°) de una onda luminosa (las cuadraturas de la onda ). El producto de las desviaciones estándar de dos de estos operadores obedece al principio de incertidumbre :

${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}\;}$ y ${\displaystyle \;\Delta X\Delta Y\geq {\frac {1}{4}}}$, respectivamente.

Ejemplos triviales, que de hecho no están comprimidos, son el estado fundamental.${\displaystyle |0\rangle }$del oscilador armónico cuántico y la familia de estados coherentes${\displaystyle |\alpha \rangle }$Estos estados saturan la incertidumbre anterior y tienen una distribución simétrica de las incertidumbres del operador con${\displaystyle \Delta x_{g}=\Delta p_{g}}$en "unidades de oscilador natural" y${\displaystyle \Delta X_{g}=\Delta Y_{g}=1/2}$. ^{[ nota 1 ]}

El término estado comprimido se utiliza para estados con una desviación estándar inferior a la del estado fundamental para uno de los operadores o para una combinación lineal de ambos. La idea subyacente es que el círculo que representa la incertidumbre de un estado coherente en el espacio de fase de cuadratura (véase a la derecha) se ha «comprimido» hasta convertirse en una elipse de la misma área. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Cabe señalar que un estado comprimido no necesita saturar el principio de incertidumbre.

Los estados comprimidos de luz se produjeron por primera vez a mediados de la década de 1980. ^{[ 4 ] [ 5 ]} En ese momento, se logró la compresión del ruido cuántico hasta en un factor de aproximadamente 2 (3  dB) en la varianza, es decir${\displaystyle \Delta ^{2}X\approx \Delta ^{2}X_{g}/2}$. A partir de 2017,  se ha observado directamente un factor de compresión de 31 (15 dB). ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

La función de onda más general que satisface la identidad anterior es el estado coherente comprimido (trabajamos en unidades con${\displaystyle \hbar =1}$)

${\displaystyle \psi (x)=C\,\exp \left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2w_{0}^{2}}}+ip_{0}x\right)}$

dónde${\displaystyle C,x_{0},w_{0},p_{0}}$son constantes (una constante de normalización, el centro del paquete de ondas , su ancho y el valor esperado de su momento ). La nueva característica relativa a un estado coherente es el valor libre del ancho${\displaystyle w_{0}}$, que es la razón por la que se dice que el estado está "apretado".

El estado comprimido anterior es un autoestado de un operador lineal.

${\displaystyle {\sombrero {x}}+i{\sombrero {p}}w_{0}^{2}}$

y el valor propio correspondiente es igual a${\displaystyle x_{0}+ip_{0}w_{0}^{2}}$En este sentido, se trata de una generalización tanto del estado fundamental como del estado coherente.

La forma general de un estado coherente comprimido para un oscilador armónico cuántico viene dada por

${\displaystyle |\alpha ,\zeta \rangle ={\hat {S}}(\zeta )|\alpha \rangle ={\hat {S}}(\zeta ){\hat {D}}(\alpha )|0\rangle }$

dónde${\displaystyle |0\rangle }$es el estado de vacío ,${\displaystyle D(\alpha )}$es el operador de desplazamiento y${\displaystyle S(\zeta )}$es el operador de compresión , dado por

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=\exp(\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}})\qquad {\text{y}}\qquad {\hat {S}}(\zeta )=\exp {\bigg [}{\frac {1}{2}}(\zeta ^{*}{\hat {a}}^{2}-\zeta {\hat {a}}^{\dagger 2}){\bigg ]}}$

dónde${\displaystyle {\hat {a}}}$y${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$son operadores de aniquilación y creación, respectivamente. Para un oscilador armónico cuántico de frecuencia angular${\displaystyle \omega }$, estos operadores vienen dados por

${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x-{\frac {ip}{m\omega }}\right)\qquad {\text{y}}\qquad {\hat {a}}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x+{\frac {ip}{m\omega }}\right)}$

Para un verdadero${\displaystyle \zeta }$, (tenga en cuenta que${\displaystyle \zeta =re^{2i\theta }}$, ^{[ 9 ]} donde r es el parámetro de compresión), la incertidumbre en${\displaystyle x}$y${\displaystyle p}$son dados por

${\displaystyle (\Delta x)^{2}={\frac {\hbar }{2m\omega }}\mathrm {e} ^{-2\zeta }\qquad {\text{and}}\qquad (\Delta p)^{2}={\frac {m\hbar \omega }{2}}\mathrm {e} ^{2\zeta }}$

Por lo tanto, un estado coherente comprimido satura el principio de incertidumbre de Heisenberg.${\displaystyle \Delta x\Delta p={\frac {\hbar }{2}}}$, con una incertidumbre reducida en uno de sus componentes de cuadratura y una incertidumbre aumentada en el otro.

Algunos valores esperados para estados coherentes comprimidos son:

${\displaystyle \langle \alpha ,\zeta |{\hat {a}}|\alpha ,\zeta \rangle =\alpha \cosh(r)-\alpha ^{*}e^{i\theta }\sinh(r)}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\zeta |{\hat {a}}^{2}|\alpha ,\zeta \rangle =\alpha ^{2}\cosh ^{2}(r)+{\alpha ^{*}}^{2}e^{2i\theta }\sinh ^{2}(r)-(1+2{|\alpha |}^{2})e^{i\theta }\cosh(r)\sinh(r)}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\zeta |{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|\alpha ,\zeta \rangle =|\alpha |^{2}\cosh ^{2}(r)+(1+{|\alpha |}^{2})\sinh ^{2}(r)-({\alpha }^{2}e^{-i\theta }+{\alpha ^{*}}^{2}e^{i\theta })\cosh(r)\sinh(r)}$

La forma general de un estado comprimido desplazado para un oscilador armónico cuántico viene dada por

${\displaystyle |\zeta ,\alpha \rangle ={\hat {D}}(\alpha )|\zeta \rangle ={\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )|0\rangle }$

Algunos valores esperados para el estado comprimido desplazado son:

${\displaystyle \langle \zeta ,\alpha |{\hat {a}}|\zeta ,\alpha \rangle =\alpha }$

${\displaystyle \langle \zeta ,\alpha |{\hat {a}}^{2}|\zeta ,\alpha \rangle =\alpha ^{2}-e^{i\theta }\cosh(r)\sinh(r)}$

${\displaystyle \langle \zeta ,\alpha |{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|\zeta ,\alpha \rangle =|\alpha |^{2}+\sinh ^{2}(r)}$

Desde${\displaystyle {\hat {S}}(\zeta )}$y${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )}$no se desplazan juntos,

${\displaystyle {\hat {S}}(\zeta ){\hat {D}}(\alpha )\neq {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )}$

${\displaystyle |\alpha ,\zeta \rangle \neq |\zeta ,\alpha \rangle }$

dónde${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )={\hat {S}}(\zeta ){\hat {S}}^{\dagger }(\zeta ){\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )={\hat {S}}(\zeta ){\hat {D}}(\gamma )}$, con${\displaystyle \gamma =\alpha \cosh r+\alpha ^{*}e^{i\theta }\sinh r}$^{[ 10 ]}

Dependiendo del ángulo de fase en el que se reduce el ancho del estado, se pueden distinguir estados de amplitud comprimida, de fase comprimida y de cuadratura comprimida general. Si el operador de compresión se aplica directamente al vacío, en lugar de a un estado coherente, el resultado se denomina vacío comprimido. Las figuras siguientes ofrecen una buena demostración visual de la estrecha conexión entre los estados comprimidos y la relación de incertidumbre de Heisenberg : la disminución del ruido cuántico en una cuadratura (fase) específica de la onda tiene como consecuencia directa un aumento del ruido de la cuadratura complementaria , es decir, el campo desplazado en fase por${\displaystyle \pi /2}$.

Ruido cuántico medido del campo eléctrico (intervalo de 3π mostrado para los dos primeros estados; intervalo de 4π para los tres últimos estados).

Paquetes de ondas oscilantes de los cinco estados.

Funciones de Wigner de los cinco estados. Las ondulaciones se deben a imprecisiones experimentales.

Los diferentes estados comprimidos de la luz láser en el vacío dependen de la fase del campo de luz. ^{[ 11 ]} Imágenes de arriba a abajo: (1) Estado de vacío, (2) Estado de vacío comprimido, (3) Estado de compresión de fase, (4) Estado de compresión arbitraria, (5) Estado de compresión de amplitud.

Como se puede observar en las ilustraciones, a diferencia de un estado coherente , el ruido cuántico para un estado comprimido ya no es independiente de la fase de la onda de luz . Se puede observar un ensanchamiento y estrechamiento característicos del ruido durante un período de oscilación. La distribución de probabilidad de un estado comprimido se define como el cuadrado de la norma de la función de onda mencionada en el párrafo anterior. Corresponde al cuadrado de la intensidad del campo eléctrico (y magnético) de una onda de luz clásica. Los paquetes de ondas en movimiento muestran un movimiento oscilatorio combinado con el ensanchamiento y estrechamiento de su distribución: la "respiración" del paquete de ondas. Para un estado comprimido en amplitud, la distribución más estrecha del paquete de ondas se alcanza en el máximo del campo, lo que resulta en una amplitud definida con mayor precisión que la de un estado coherente. Para un estado comprimido en fase, la distribución más estrecha se alcanza en campo cero, lo que resulta en un valor de fase promedio mejor definido que el de un estado coherente.

En el espacio de fases, las incertidumbres de la mecánica cuántica pueden representarse mediante la distribución de cuasiprobabilidad de Wigner . La intensidad de la onda luminosa, su excitación coherente, viene dada por el desplazamiento de la distribución de Wigner respecto al origen. Un cambio en la fase de la cuadratura comprimida produce una rotación de la distribución.

El ángulo de compresión, es decir, la fase con mínimo ruido cuántico, influye considerablemente en la distribución del número de fotones de la onda luminosa y también en su distribución de fase .

Distribuciones experimentales del número de fotones para un estado de amplitud comprimida, un estado coherente y un estado de fase comprimida, reconstruidas a partir de mediciones de la estadística cuántica. Las barras representan la teoría y los puntos, los valores experimentales. ^{[ 12 ]}

Distribución de fase de Pegg-Barnett de los tres estados

Para la luz con amplitud comprimida, la distribución del número de fotones suele ser más estrecha que la de un estado coherente de la misma amplitud, lo que resulta en luz sub-poissoniana , mientras que su distribución de fase es más amplia. Lo contrario ocurre con la luz con fase comprimida, que presenta un gran ruido de intensidad (número de fotones) pero una distribución de fase estrecha. Sin embargo, las estadísticas de la luz con amplitud comprimida no se observaron directamente con un detector con resolución de número de fotones debido a la dificultad experimental. ^{[ 13 ]}

En el estado de vacío comprimido, la distribución del número de fotones muestra oscilaciones pares-impares. Esto se explica por la forma matemática del operador de compresión , que se asemeja al operador de los procesos de generación y aniquilación de dos fotones . En un estado de vacío comprimido, los fotones tienden a aparecer en pares.

Para la compresión de conjuntos de átomos neutros de dos niveles, es útil considerar los átomos como partículas de espín 1/2 con operadores de momento angular correspondientes definidos como

${\displaystyle J_{v}=\sum _{i=1}^{N}j_{v}^{(i)}}$

dónde${\displaystyle v={x,y,z}}$y${\displaystyle j_{v}^{(i)}}$es el operador de giro único en el${\displaystyle v}$-dirección. Aquí${\displaystyle J_{z}}$corresponderá a la diferencia de población en el sistema de dos niveles, es decir, para una superposición igual del estado arriba y abajo.${\displaystyle J_{z}=0}$. El${\displaystyle J_{x}}$−${\displaystyle J_{y}}$El plano representa la diferencia de fase entre los dos estados. Esto también se conoce como la imagen de la esfera de Bloch . Entonces podemos definir relaciones de incertidumbre tales como:${\displaystyle \Delta J_{z}\cdot \Delta J_{y}\geq \left|\Delta J_{x}\right|/2}$. Para un estado coherente (no entrelazado),${\displaystyle \Delta J_{z}=\Delta J_{y}={\sqrt {N}}/2}$. Aquí se considera que la compresión es la redistribución de la incertidumbre de una variable (típicamente${\displaystyle J_{z}}$) a otro (típicamente${\displaystyle J_{y}}$). Si consideramos un estado que apunta en el${\displaystyle J_{x}}$dirección, podemos definir el criterio de Wineland ^{[ 23 ]} para compresión, o la mejora metrológica del estado comprimido como

${\displaystyle \chi ^{2}=\left({\frac {{\sqrt {N}}/2}{\Delta J_{z}}}{\frac {\left|J_{x}\right|}{N/2}}\right)^{2}}$.

Este criterio tiene dos factores, el primer factor es la reducción del ruido de espín, es decir, cuánto ruido cuántico en${\displaystyle J_{z}}$se reduce en relación con el estado coherente (no entrelazado). El segundo factor es cuánto aumenta la coherencia (la longitud del vector de Bloch,${\displaystyle \left|J_{x}\right|}$La precisión se reduce debido al proceso de compresión. En conjunto, estas cantidades indican la mejora metrológica que proporciona dicho proceso. En este caso, la mejora metrológica se define como la reducción del tiempo de promediado o del número de átomos necesarios para realizar una medición con una incertidumbre específica.  Una mejora metrológica de 20 dB implica que se puede realizar la misma medición con 100 veces menos átomos o con un tiempo de promediado 100 veces menor.

El concepto de Espacio de Fase Cuántico (EPQ) extiende la noción de espacio de fase de la física clásica a la física cuántica al tener en cuenta el principio de incertidumbre . La definición del EPQ se basa en la introducción de estados cuánticos conjuntos de momento y coordenada denotados${\displaystyle |\langle z\rangle \rangle }$que pueden considerarse como algún tipo de estados coherentes comprimidos. La expresión de la función de onda correspondiente a un estado${\displaystyle |\langle z\rangle \rangle }$ en representación de coordenadas es ^{[ 24 ]}

${\displaystyle \varphi (x)=\langle x|\langle z\rangle \rangle ={\frac {e^{-{\frac {B}{(\hbar )^{2}}}(x-\langle x\rangle )^{2}+{\frac {i}{\hbar }}\langle p\rangle x}}{(2\pi A)^{\tfrac {1}{4}}}}}$

en el cual  :

• ${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck reducida
• ${\displaystyle x}$y${\displaystyle p}$son respectivamente los autovalores (valores posibles) del operador de coordenadas${\displaystyle X}$y el operador de momento${\displaystyle P}$
• ${\displaystyle \langle x\rangle }$,${\displaystyle \langle p\rangle }$,${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son respectivamente los valores medios y las varianzas estadísticas de la coordenada y el momento correspondientes al estado cuántico. ${\displaystyle |\langle z\rangle \rangle }$sí mismo

${\displaystyle {\begin{cases}\langle x\rangle =\langle \langle z\rangle |X|\langle z\rangle \rangle \\\langle p\rangle =\langle \langle z\rangle |P|\langle z\rangle \rangle \\A=\langle \langle z\rangle |(X-\langle x\rangle )^{2}|\langle z\rangle \rangle \\B=\langle \langle z\rangle |(P-\langle p\rangle )^{2}|\langle z\rangle \rangle \end{cases}}}$

Un estado${\displaystyle |\langle z\rangle \rangle }$ satura la relación de incertidumbre, es decir, se tiene la siguiente relación

${\displaystyle {\sqrt {A}}{\sqrt {B}}={\frac {\hbar }{2}}}$

Se puede demostrar que un estado${\displaystyle |\langle z\rangle \rangle }$es un autoestado del operador${\displaystyle Z=P-{\frac {2i}{\hbar }}BX}$La ecuación de autovalores correspondiente es

${\displaystyle Z|\langle z\rangle \rangle =\langle z\rangle |\langle z\rangle \rangle }$

con

${\displaystyle \langle z\rangle =\langle p\rangle -{\frac {2i}{\hbar }}B\langle x\rangle }$

También se demostró que la generalización multidimensional de los estados  ${\displaystyle |\langle z\rangle \rangle }$son los estados cuánticos básicos que corresponden a funciones de onda que son covariantes bajo la acción del grupo formado por transformaciones canónicas lineales multidimensionales . ^{[ 25 ]}

El espacio de fase cuántico (QPS) se define como el conjunto${\displaystyle \{\langle z\rangle \}}$de todos los valores posibles de${\displaystyle \langle z\rangle }$, o equivalentemente como el conjunto${\displaystyle \{(\langle p\rangle ,\langle x\rangle )\}}$de posibles valores del par${\displaystyle (\langle p\rangle ,\langle x\rangle )}$, para un valor dado de la varianza estadística del momento${\displaystyle B}$. ^{[ 24 ]} De esta definición se deduce que la estructura del espacio de fase cuántico depende explícitamente del valor de la varianza estadística del momento. Es esta dependencia explícita la que hace que esta definición sea naturalmente compatible con el principio de incertidumbre. También se puede observar aquí que, en equilibrio termodinámico , la varianza estadística del momento${\displaystyle B}$puede estar relacionado con parámetros termodinámicos como temperatura, presión y forma y tamaño de volumen. ^{[ 26 ]} En el límite clásico , cuando las varianzas estadísticas del momento y de las coordenadas se toman iguales a cero (ignorando el principio de incertidumbre), el espacio de fase cuántico como se definió anteriormente se reduce al espacio de fase clásico.

Existen estados coherentes comprimidos más generalizados, denotados${\displaystyle |n,\langle z\rangle \rangle }$con${\displaystyle n}$un entero positivo, que están relacionados con el concepto de QPS y que no saturan la relación de incertidumbre para${\displaystyle n>0}$Estos estados se pueden deducir de los estados${\displaystyle |\langle z\rangle \rangle }$utilizando la siguiente relación ^{[ 24 ]}

${\displaystyle |n,\langle z\rangle \rangle ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}[{\frac {-i(Z-\langle z\rangle )^{\dagger }}{2{\sqrt {B}}}}]^{n}|\langle z\rangle \rangle }$

Las varianzas estadísticas de coordenadas y momentos, denotadas respectivamente${\displaystyle A_{n}}$y${\displaystyle B_{n}}$, correspondiente a un estado${\displaystyle |n,\langle z\rangle \rangle }$son

${\displaystyle {\begin{cases}A_{n}=\langle n,\langle z\rangle |(X-\langle x\rangle )^{2}|n,\langle z\rangle \rangle =(2n+1)A\\B_{n}=\langle n,\langle z\rangle |(P-\langle p\rangle )^{2}|n,\langle z\rangle \rangle =(2n+1)B\end{cases}}}$

Entonces tenemos la siguiente relación

${\displaystyle {\sqrt {A_{n}}}{\sqrt {B_{n}}}=(2n+1){\frac {\hbar }{2}}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

Esta relación muestra que un estado${\displaystyle |n,\langle z\rangle \rangle }$ no satura la relación de incertidumbre para${\displaystyle n>0}$como lo ya mencionado.

Se han realizado diversas demostraciones exitosas de estados comprimidos. Las primeras demostraciones fueron experimentos con campos de luz utilizando láseres y óptica no lineal (véase oscilador paramétrico óptico ). Esto se logra mediante un proceso simple de mezcla de cuatro ondas con un${\displaystyle \chi ^{(2)}}$cristal; de manera similar, los amplificadores sensibles a la fase de onda viajera generan estados de luz comprimidos en cuadratura espacialmente multimodo cuando el${\displaystyle \chi ^{(2)}}$El cristal se bombea en ausencia de cualquier señal. Las fuentes de corriente sub-poissonianas que impulsan diodos láser semiconductores han dado lugar a luz con amplitud comprimida. ^{[ 27 ]}

Los estados comprimidos también se han realizado a través de estados de movimiento de un ion en una trampa, estados de fonones en redes cristalinas y estados de espín en conjuntos de átomos neutros. ^{[ 28 ] [ 29 ]} Se ha avanzado mucho en la creación y observación de estados de espín comprimido en conjuntos de átomos neutros e iones, que pueden usarse para mejorar las mediciones de tiempo, aceleraciones, campos, y el estado del arte actual para la mejora de la medición es de 20  dB. ^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]} La generación de estados de espín comprimido se ha demostrado usando tanto la evolución coherente de un estado de espín coherente como mediciones proyectivas que preservan la coherencia. Incluso los osciladores macroscópicos fueron llevados a estados de movimiento clásicos que eran muy similares a los estados coherentes comprimidos. El estado actual de la técnica en supresión de ruido para radiación láser mediante luz comprimida asciende a 15  dB (a partir de 2016), ^{[ 34 ] [ 7 ]} lo que rompió el récord anterior de 12,7  dB (2010). ^{[ 35 ]}

Los estados comprimidos del campo de luz pueden utilizarse para mejorar la precisión de las mediciones. Por ejemplo, la luz con fase comprimida puede mejorar la lectura de fase de las mediciones interferométricas (véase, por ejemplo, las ondas gravitacionales ). La luz con amplitud comprimida puede mejorar la lectura de señales espectroscópicas muy débiles . ^{[ 36 ]}

Los estados de espín comprimido de los átomos pueden utilizarse para mejorar la precisión de los relojes atómicos . ^{[ 37 ] [ 38 ]} Este es un problema importante en los relojes atómicos y otros sensores que utilizan pequeños conjuntos de átomos fríos, donde el ruido de proyección cuántica representa una limitación fundamental para la precisión del sensor. ^{[ 39 ]}

En diversos cálculos de la teoría cuántica de campos , por ejemplo, el efecto Unruh y la radiación de Hawking , y en general, la producción de partículas en fondos curvos y las transformaciones de Bogoliubov , se utilizan varios estados coherentes comprimidos, generalizados al caso de muchos grados de libertad.

Recientemente, el uso de estados comprimidos para el procesamiento de información cuántica en el régimen de variables continuas (VC) ha aumentado rápidamente. ^{[ 40 ]} La óptica cuántica de variables continuas utiliza la compresión de la luz como un recurso esencial para realizar protocolos de VC para comunicación cuántica, teletransportación cuántica incondicional y computación cuántica unidireccional. ^{[ 41 ] [ 42 ]} Esto contrasta con el procesamiento de información cuántica con fotones individuales o pares de fotones como cúbits. El procesamiento de información cuántica de VC depende en gran medida del hecho de que la compresión está íntimamente relacionada con el entrelazamiento cuántico , ya que las cuadraturas de un estado comprimido exhiben correlaciones cuánticas sub-ruido de disparo .

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• Tutorial sobre óptica cuántica del campo de luz.