polinomio de Schur

En matemáticas , los polinomios de Schur , que reciben su nombre de Issai Schur , son ciertos polinomios simétricos en n variables, indexados por particiones , que generalizan los polinomios simétricos elementales y los polinomios simétricos homogéneos completos . En teoría de la representación, son los caracteres de las representaciones irreducibles polinómicas de los grupos lineales generales . Los polinomios de Schur forman una base lineal para el espacio de todos los polinomios simétricos. Cualquier producto de polinomios de Schur puede escribirse como una combinación lineal de polinomios de Schur con coeficientes enteros no negativos; los valores de estos coeficientes vienen dados combinatoriamente por la regla de Littlewood-Richardson . De forma más general, los polinomios de Schur sesgados se asocian a pares de particiones y tienen propiedades similares a los polinomios de Schur.

Definición (Fórmula bialternante de Jacobi)

Los polinomios de Schur están indexados mediante particiones enteras . Dada una partición $λ = (λ 1, λ 2, ..., λ n)$ , donde $λ 1 \geq λ 2 \geq ... \geq λ n$ , y cada $λ j$ es un entero no negativo, las funciones

$a_{(\lambda _{1}+n-1,\lambda _{2}+n-2,\dots ,\lambda _{n})}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{\lambda _{1}+n-1}&x_{2}^{\lambda _{1}+n-1}&\dots &x_{n}^{\lambda _{1}+n-1}\\x_{1}^{\lambda _{2}+n-2}&x_{2}^{\lambda _{2}+n-2}&\dots &x_{n}^{\lambda _{2}+n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{\lambda _{n}}&x_{2}^{\lambda _{n}}&\dots &x_{n}^{\lambda _{n}}\end{matrix}}\right]$

Los polinomios alternantes son polinomios alternantes por propiedades del determinante . Un polinomio es alternante si cambia de signo bajo cualquier transposición de las variables.

Dado que son alternantes, todos son divisibles por el determinante de Vandermonde. $a_{(n-1,n-2,\dots ,0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&\dots &x_{n}^{n-1}\\x_{1}^{n-2}&x_{2}^{n-2}&\dots &x_{n}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&1&\dots &1\end{matrix}}\right]=\prod _{1\leq j<k\leq n}(x_{j}-x_{k}).$ Los polinomios de Schur se definen como la razón

$s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {a_{(\lambda _{1}+n-1,\lambda _{2}+n-2,\dots ,\lambda _{n}+0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}{a_{(n-1,n-2,\dots ,0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}}.$

Esto se conoce como la fórmula bialternante de Jacobi . Es un caso especial de la fórmula de caracteres de Weyl .

Se trata de una función simétrica porque tanto el numerador como el denominador son alternados, y un polinomio puesto que todos los polinomios alternados son divisibles por el determinante de Vandermonde.

Propiedades

Los polinomios $de Schur de grado d en$ $n$ variables son una base lineal para el espacio de polinomios simétricos homogéneos de grado $d en$ $n$ variables. Para una partición $λ = (λ 1, λ 2, ..., λ r)$ con $r\leq n$ , el polinomio de Schur es una suma de monomios,

s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{T}x^{T}=\sum _{T}x_{1}^{t_{1}}\cdots x_{n}^{t_{n}}

donde la suma se realiza sobre todos los tableros de Young semiestándar $T$ de forma $λ$ usando los números $1, 2, ..., n$ . Los exponentes $t 1, ..., t n$ dan el peso de $T$ , en otras palabras, cada $t i$ cuenta las ocurrencias del número $i$ en $T.$ Se puede demostrar que esto es equivalente a la definición de la primera fórmula de Giambelli usando el lema de Lindström-Gessel-Viennot (como se describe en esa página).

Los polinomios de Schur pueden expresarse como combinaciones lineales de funciones simétricas monomiales $m μ$ con coeficientes enteros no negativos $K λμ$ llamados números de Kostka ,

s_{\lambda }=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }m_{\mu }.\

Los números de Kostka $K λμ$ vienen dados por el número de cuadros de Young semiestándar de forma λ y peso μ .

Identidades Jacobi-Trudi

La primera fórmula de Jacobi-Trudi expresa el polinomio de Schur como un determinante en términos de los polinomios simétricos homogéneos completos ,

s_{\lambda }=\det(h_{\lambda _{i}+ji})_{i,j=1}^{l(\lambda )}=\det \left[{\begin{matrix}h_{\lambda _{1}}&h_{\lambda _{1}+1}&\dots &h_{\lambda _{1}+n-1}\\h_{\lambda _{2}-1}&h_{\lambda _{2}}&\dots &h_{\lambda _{2}+n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\h_{\lambda _{n}-n+1}&h_{\lambda _{n}-n+2}&\dots &h_{\lambda _{n}}\end{matrix}}\right],

donde $h i := s (i)$ . ^{[ 1 ]}

La segunda fórmula de Jacobi-Trudi expresa el polinomio de Schur como un determinante en términos de los polinomios simétricos elementales ,

s_{\lambda }=\det(e_{\lambda '_{i}+ji})_{i,j=1}^{l(\lambda ')}=\det \left[{\begin{matrix}e_{\lambda '_{1}}&e_{\lambda '_{1}+1}&\dots &e_{\lambda '_{1}+l-1}\\e_{\lambda '_{2}-1}&e_{\lambda '_{2}}&\dots &e_{\lambda '_{2}+l-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\e_{\lambda '_{l}-l+1}&e_{\lambda '_{l}-l+2}&\dots &e_{\lambda '_{l}}\end{matrix}}\right],

donde $e i := s (1 i)$ y $\lambda '=(\lambda '_{1},\ldots ,\lambda '_{l})$ es la partición conjugada a $λ$ . ^{[ 2 ]}

En ambas identidades, las funciones con subíndices negativos se definen como cero.

La identidad de Giambelli

Otra identidad determinante es la fórmula de Giambelli , que expresa la función de Schur para una partición arbitraria en términos de las particiones de gancho contenidas en el diagrama de Young. En la notación de Frobenius, la partición se denota

(a_{1},\ldots ,a_{r}\mid b_{1},\ldots ,b_{r})

donde, para cada elemento diagonal en la posición $ii$ , $a i$ denota el número de casillas a la derecha en la misma fila y $b i$ denota el número de casillas debajo de él en la misma columna (las longitudes del brazo y la pierna , respectivamente).

La identidad de Giambelli expresa la función de Schur correspondiente a esta partición como el determinante

s_{(a_{1},\ldots ,a_{r}\mid b_{1},\ldots ,b_{r})}=\det(s_{(a_{i}\mid b_{j})})

de aquellos para separadores de ganchos.

La identidad de Cauchy

La identidad de Cauchy para las funciones de Schur (ahora en infinitas variables) y su estado dual que

\sum _{\lambda }s_{\lambda }(x)s_{\lambda }(y)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }(x)h_{\lambda }(y)=\prod _{i,j}(1-x_{i}y_{j})^{-1},

y

\sum _{\lambda }s_{\lambda }(x)s_{\lambda '}(y)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }(x)e_{\lambda }(y)=\prod _{i,j}(1+x_{i}y_{j}),

donde la suma se toma sobre todas las particiones λ y $h_{\lambda }(x)$ , $e_{\lambda }(x)$ denotan las funciones simétricas completas y las funciones simétricas elementales , respectivamente. Si la suma se toma sobre productos de polinomios de Schur en $n$ variables $(x_{1},\dots ,x_{n})$ , la suma incluye solo particiones de longitud $\ell (\lambda )\leq n$ ya que de lo contrario los polinomios de Schur se desvanecen.

Existen numerosas generalizaciones de estas identidades a otras familias de funciones simétricas. Por ejemplo, los polinomios de Macdonald, Schubert y Grothendieck admiten identidades similares a las de Cauchy.

Otras identidades

El polinomio de Schur también se puede calcular mediante una especialización de una fórmula para polinomios de Hall-Littlewood ,

s_{\lambda }(x_{1},\dotsc ,x_{n})=\sum _{w\in S_{n}/S_{n}^{\lambda }}w\left(x^{\lambda }\prod _{\lambda _{i}>\lambda _{j}}{\frac {x_{i}}{x_{i}-x_{j}}}\right)

dónde $S_{n}^{\lambda }$ es el subgrupo de permutaciones tal que $\lambda _{w(i)}=\lambda _{i}$ para todo i y w actúa sobre las variables permutando los índices.

La regla Murnaghan-Nakayama

La regla de Murnaghan-Nakayama expresa un producto de una función simétrica de suma de potencias con un polinomio de Schur, en términos de polinomios de Schur:

p_{r}\cdot s_{\lambda }=\sum _{\mu }(-1)^{ht(\mu /\lambda )+1}s_{\mu }

donde la suma se realiza sobre todas las particiones μ tales que μ / λ es un gancho de borde de tamaño r y ht ( μ / λ ) es el número de filas en el diagrama μ / λ .

La regla de Littlewood-Richardson y la fórmula de Pieri

Los coeficientes de Littlewood-Richardson dependen de tres particiones , por ejemplo $\lambda ,\mu ,\nu$ , de los cuales $\lambda$ y $\mu$ describe las funciones de Schur que se multiplican y $\nu$ da la función de Schur de la cual este es el coeficiente en la combinación lineal; en otras palabras son los coeficientes $c_{\lambda ,\mu }^{\nu }$ de tal manera que

s_{\lambda }s_{\mu }=\sum _{\nu }c_{\lambda ,\mu }^{\nu }s_{\nu }.

La regla Littlewood-Richardson establece que $c_{\lambda ,\mu }^{\nu }$ es igual al número de cuadros de Littlewood-Richardson de forma sesgada $\nu /\lambda$ y de peso $\mu$ .

La fórmula de Pieri es un caso especial de la regla de Littlewood-Richardson, que expresa el producto $h_{r}s_{\lambda }$ en términos de polinomios de Schur. La versión dual expresa $e_{r}s_{\lambda }$ en términos de polinomios de Schur.

Especializaciones

Evaluar el polinomio de Schur $s λ$ en $(1, 1, ..., 1)$ da el número de tablas de Young semiestándar de forma $λ$ con entradas en $1, 2, ..., n$ . Se puede demostrar, utilizando la fórmula del carácter de Weyl por ejemplo, que $s_{\lambda }(1,1,\dots ,1)=\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}+j-i}{j-i}}.$ En esta fórmula, $λ$ , la tupla que indica el ancho de cada fila del diagrama de Young, se extiende implícitamente con ceros hasta alcanzar una longitud $n$ . La suma de los elementos $λ i$ es $d$ . Véase también la fórmula de la longitud de Hook , que calcula la misma cantidad para un λ fijo .

Ejemplo

El siguiente ejemplo extendido debería ayudar a aclarar estas ideas. Consideremos el caso n = 3, d = 4. Usando diagramas de Ferrers u otro método, encontramos que hay solo cuatro particiones de 4 en como máximo tres partes. Tenemos

s_{(2,1,1)}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {1}{\Delta }}\;\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{4}&x_{2}^{4}&x_{3}^{4}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{matrix}}\right]=x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,(x_{1}+x_{2}+x_{3})

s_{(2,2,0)}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {1}{\Delta }}\;\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{4}&x_{2}^{4}&x_{3}^{4}\\x_{1}^{3}&x_{2}^{3}&x_{3}^{3}\\1&1&1\end{matrix}}\right]=x_{1}^{2}\,x_{2}^{2}+x_{1}^{2}\,x_{3}^{2}+x_{2}^{2}\,x_{3}^{2}+x_{1}^{2}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}^{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{3}^{2}

y así sucesivamente, donde $\Delta$ es el determinante de Vandermonde $a_{(2,1,0)}(x_{1},x_{2},x_{3})$ En resumen:

$s_{(2,1,1)}=e_{1}\,e_{3}$
$s_{(2,2,0)}=e_{2}^{2}-e_{1}\,e_{3}$
$s_{(3,1,0)}=e_{1}^{2}\,e_{2}-e_{2}^{2}-e_{1}\,e_{3}$
$s_{(4,0,0)}=e_{1}^{4}-3\,e_{1}^{2}\,e_{2}+2\,e_{1}\,e_{3}+e_{2}^{2}.$

Todo polinomio simétrico homogéneo de cuarto grado en tres variables puede expresarse como una combinación lineal única de estos cuatro polinomios de Schur, y esta combinación puede hallarse nuevamente utilizando una base de Gröbner para un orden de eliminación apropiado. Por ejemplo,

\phi (x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}

es obviamente un polinomio simétrico que es homogéneo de grado cuatro, y tenemos

\phi =s_{(2,1,1)}-s_{(3,1,0)}+s_{(4,0,0)}.\,\!

Relación con la teoría de la representación

Los polinomios de Schur aparecen en la teoría de representaciones de grupos simétricos , grupos lineales generales y grupos unitarios . La fórmula de caracteres de Weyl implica que los polinomios de Schur son los caracteres de representaciones irreducibles de dimensión finita de los grupos lineales generales, y ayuda a generalizar el trabajo de Schur a otros grupos de Lie compactos y semisimples .

De esta relación surgen varias expresiones, siendo una de las más importantes la expansión de las funciones de Schur s _λ en términos de las funciones de potencia simétricas. $p_{k}=\sum _{i}x_{i}^{k}$ . Si escribimos χ ^λ_ρ para el carácter de la representación del grupo simétrico indexado por la partición λ evaluada en elementos de tipo ciclo indexados por la partición ρ , entonces

s_{\lambda }=\sum _{\nu }{\frac {\chi _{\nu }^{\lambda }}{z_{\nu }}}p_{\nu }=\sum _{\rho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},\dots )}\chi _{\rho }^{\lambda }\prod _{k}{\frac {p_{k}^{r_{k}}}{r_{k}!k^{r_{k}}}},

donde ρ = (1 ^{r ₁} , 2 ^{r ₂} , 3 ^{r ₃} , ...) significa que la partición ρ tiene r _k partes de longitud k .

Una demostración de esto se puede encontrar en el volumen 2 de Combinatoria Enumerativa de R. Stanley, Corolario 7.17.5.

Los números enteros χ ^λ_ρ se pueden calcular utilizando la regla de Murnaghan-Nakayama .

Positividad de Schur

Debido a su relación con la teoría de la representación, las funciones simétricas que se expanden positivamente en funciones de Schur son de particular interés. Por ejemplo, las funciones de Schur asimétricas se expanden positivamente en las funciones de Schur ordinarias, y sus coeficientes son los coeficientes de Littlewood-Richardson.

Un caso particular de esto es la expansión de las funciones simétricas homogéneas completas h _λ en funciones de Schur. Esta descomposición refleja cómo un módulo de permutación se descompone en representaciones irreducibles.

Métodos para demostrar la positividad de Schur

Existen varios métodos para demostrar la positividad de Schur de una función simétrica F dada . Si F se describe de forma combinatoria, un método directo consiste en generar una biyección con diagramas de Young semiestándar. La correspondencia de Edelman-Greene y la de Robinson-Schensted-Knuth son ejemplos de dichas biyecciones.

Una biyección con mayor estructura es una demostración que utiliza los llamados cristales . Este método puede describirse como la definición de una determinada estructura gráfica descrita mediante reglas locales sobre los objetos combinatorios subyacentes.

Una idea similar es la noción de equivalencia dual. Este enfoque también utiliza una estructura gráfica, pero sobre los objetos que representan la expansión en la base cuasisimétrica fundamental. Está estrechamente relacionado con la correspondencia RSK.

Generalizaciones

Funciones de Schur sesgadas

Las funciones sesgadas de Schur s _{λ / μ} dependen de dos particiones λ y μ y pueden definirse mediante la propiedad

\langle s_{\lambda /\mu },s_{\nu }\rangle =\langle s_{\lambda },s_{\mu }s_{\nu }\rangle .

Aquí, el producto interno es el producto interno de Hall, para el cual los polinomios de Schur forman una base ortonormal .

Al igual que los polinomios de Schur ordinarios, existen numerosas formas de calcularlos. Las identidades de Jacobi-Trudi correspondientes son:

s_{\lambda /\mu }=\det(h_{\lambda _{i}-\mu _{j}-i+j})_{i,j=1}^{l(\lambda )}

s_{\lambda '/\mu '}=\det(e_{\lambda _{i}-\mu _{j}-i+j})_{i,j=1}^{l(\lambda )}

También existe una interpretación combinatoria de los polinomios de Schur sesgados, a saber, es una suma sobre todos los tableros de Young semiestándar (o tableros estrictos de columna) de la forma sesgada. $\lambda /\mu$ .

Los polinomios de Schur sesgados se expanden positivamente en polinomios de Schur. Una regla para los coeficientes viene dada por la regla de Littlewood-Richardson .

Polinomios de Schur dobles

Los polinomios de Schur dobles $[3] pueden considerarse una generalización de los polinomios de Schur desplazados. Estos polinomios también están estrechamente relacionados con los polinomios de Schur factoriales. Dada una partición λ y una secuencia a₁$ ^{, a₂ ,} ... $se$ puede $definir el polinomio de Schur$ doble $s λ (x || a)$ como $s_{\lambda }(x||a)=\sum _{T}\prod _{\alpha \in \lambda }(x_{T(\alpha )}-a_{T(\alpha )-c(\alpha )})$ donde la suma se toma sobre todos los cuadros de Young semiestándar inversos $T$ de forma $λ$ y entradas enteras en $1, ..., n$ . Aquí $T (α)$ denota el valor en la casilla $α$ en $T$ y $c(α)$ es el contenido de la casilla.

AI Molev ^[³^] En particular, esto implica que los polinomios de Schur desplazados tienen coeficientes de Littlewood -Richardson no negativos.

Los $polinomios$ de Schur desplazados $s * λ (y)$ se pueden obtener a partir de los polinomios de Schur dobles especializando $a i = - i e$ y $i = x i + i$ .

Los polinomios dobles de Schur son casos especiales de los polinomios dobles de Schubert .

Polinomios factoriales de Schur

Los polinomios factoriales de Schur se pueden definir de la siguiente manera. Dada una partición λ y una sucesión doblemente infinita ..., a ₋₁ , a ₀ , a ₁ , ... se puede definir el polinomio factorial de Schur s _λ ( x | a ) como $s_{\lambda }(x|a)=\sum _{T}\prod _{\alpha \in \lambda }(x_{T(\alpha )}-a_{T(\alpha )+c(\alpha )})$ donde la suma se toma sobre todos los tableros de Young semiestándar T de forma λ y entradas enteras en 1, ..., n . Aquí T (α) denota el valor en la casilla α en T y c(α) es el contenido de la casilla.

También existe una fórmula determinante, $s_{\lambda }(x|a)={\frac {\det[(x_{j}|a)^{\lambda _{i}+n-i}]_{i,j=1}^{l(\lambda )}}{\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})}}$ donde ( y | a ) ^k = ( y − a ₁ ) ... ( y − a _k ). Es claro que si hacemos $a i = 0$ para todo i , recuperamos el polinomio de Schur usual s _λ .

Los polinomios de Schur dobles y los polinomios de Schur factoriales en n variables están relacionados mediante la identidad s _λ ( x || a ) = s _λ ( x | u ) donde a _{n − i +1} = u _i .

Otras generalizaciones

Existen numerosas generalizaciones de los polinomios de Schur:

Polinomios de Hall-Littlewood
Polinomios de Schur desplazados
Polinomios de Schur marcados
polinomios de Schubert
Funciones simétricas de Stanley (también conocidas como polinomios de Schubert estables)
Polinomios clave (también conocidos como caracteres de Demazure)
Polinomios de Schur cuasi-simétricos
Polinomios de Schur estrictos por filas
Polinomios de Jack
Polinomios de Schur modulares
Funciones de bucle Schur
Polinomios de Macdonald
Polinomios de Schur para el grupo simpléctico y ortogonal .
Funciones de k -Schur
Polinomios de Grothendieck ( análogo en teoría K de los polinomios de Schur)
Polinomios LLT

Véase también

functor de Schur
Regla de Littlewood-Richardson , donde se encuentran algunas identidades que involucran polinomios de Schur.

Referencias

Macdonald, IG (1995). Funciones simétricas y polinomios de Hall . Monografías matemáticas de Oxford (2.ª ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853489-1MR 1354144 .
Sagan, Bruce E. (2001) [1994], "Funciones de Schur en combinatoria algebraica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Sturmfels, Bernd (1993). Algoritmos en teoría invariante . Saltador. ISBN 978-0-387-82445-1.
Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249 . OCLC 246650103 .

↑ Fulton y Harris 1991 , Fórmula A.5
↑ Fulton y Harris 1991 , Fórmula A.6
1 2 Molev, AI (junio de 2009). "Polinomios de Littlewood-Richardson". Journal of Algebra . 321 (11): 3450– 68. arXiv : 0704.0065 . doi : 10.1016/j.jalgebra.2008.02.034 .

[1] Fulton y Harris 1991 , Fórmula A.5

[2] Fulton y Harris 1991 , Fórmula A.6

[Molev2008.02-3] 1 2 Molev, AI (junio de 2009). "Polinomios de Littlewood-Richardson". Journal of Algebra . 321 (11): 3450– 68. arXiv : 0704.0065 . doi : 10.1016/j.jalgebra.2008.02.034 .

[ 1 ]

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, a₂ ,