polinomio de Schubert

En matemáticas, los polinomios de Schubert son generalizaciones de los polinomios de Schur que representan clases de cohomología de ciclos de Schubert en variedades de banderas . Fueron introducidos por Lascoux y Schützenberger (1982) y reciben su nombre de Hermann Schubert .

Lascoux (1995) describió la historia de los polinomios de Schubert.

Los polinomios de Schubert${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}}$son polinomios en las variables${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$dependiendo de un elemento${\displaystyle w}$del grupo simétrico infinito${\displaystyle S_{\infty }}$de todas las permutaciones de${\displaystyle \mathbb {N} }$fijando todos los elementos excepto un número finito. Forman una base para el anillo de polinomios.${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ]}$en infinitas variables.

La cohomología de la variedad de banderas${\displaystyle {\text{Fl}}(m)}$es${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}]/I,}$dónde${\displaystyle I}$es el ideal generado por funciones simétricas homogéneas de grado positivo. El polinomio de Schubert${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}}$es el único polinomio homogéneo de grado${\displaystyle \ell (w)}$representando el ciclo Schubert de${\displaystyle w}$en la cohomología de la variedad de banderas${\displaystyle {\text{Fl}}(m)}$para todos suficientemente grandes${\displaystyle m.}$

• Si${\displaystyle w_{0}}$es la permutación de longitud más larga en${\displaystyle S_{n}}$entonces${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w_{0}}=x_{1}^{n-1}x_{2}^{n-2}\cdots x_{n-1}^{1}}$

• ${\displaystyle \partial _{i}{\mathfrak {S}}_{w}={\mathfrak {S}}_{ws_{i}}}$si${\displaystyle w(i)>w(i+1)}$, dónde${\displaystyle s_{i}}$es la transposición${\displaystyle (i,i+1)}$y dónde${\displaystyle \partial _{i}}$es el operador de diferencia dividida que toma${\displaystyle P}$a${\displaystyle (P-s_{i}P)/(x_{i}-x_{i+1})}$.

Los polinomios de Schubert se pueden calcular recursivamente a partir de estas dos propiedades. En particular, esto implica que${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}=\partial _{w^{-1}w_{0}}x_{1}^{n-1}x_{2}^{n-2}\cdots x_{n-1}^{1}}$.

Otras propiedades son

• ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{id}=1}$

• Si${\displaystyle s_{i}}$es la transposición${\displaystyle (i,i+1)}$, entonces${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{s_{i}}=x_{1}+\cdots +x_{i}}$.

• Si${\displaystyle w(i)<w(i+1)}$a pesar de${\displaystyle i\neq r}$, entonces${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}}$es el polinomio de Schur${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},\ldots ,x_{r})}$dónde${\displaystyle \lambda }$es la partición${\displaystyle (w(r)-r,\ldots ,w(2)-2,w(1)-1)}$En particular, todos los polinomios de Schur (de un número finito de variables) son polinomios de Schubert.

• Los polinomios de Schubert tienen coeficientes positivos. Richard P. Stanley propuso una regla conjetural para sus coeficientes , la cual fue demostrada en dos artículos: uno de Sergey Fomin y Stanley, y otro de Sara Billey , William Jockusch y Stanley.

• Los polinomios de Schubert pueden considerarse una función generadora sobre ciertos objetos combinatorios denominados grafos rc o "pipe dreams" . Estos se encuentran en biyección con las caras de Kogan reducidas (introducidas en la tesis doctoral de Mikhail Kogan), que son caras especiales del politopo de Gelfand-Tsetlin.

• Los polinomios de Schubert también se pueden escribir como una suma ponderada de objetos llamados sueños de pipa sin baches .

Por ejemplo

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{51423}(x)=x_{1}x_{3}^{2}x_{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}x_{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}^{2}x_{4}x_{2}.}$

Dado que los polinomios de Schubert forman un${\displaystyle \mathbb {Z} }$-base, hay coeficientes únicos${\displaystyle c_{\beta \gamma }^{\alpha }}$ de tal manera que

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{\beta }{\mathfrak {S}}_{\gamma }=\sum _{\alpha }c_{\beta \gamma }^{\alpha }{\mathfrak {S}}_{\alpha }.}$

Estos coeficientes pueden considerarse una generalización de los coeficientes de Littlewood-Richardson descritos por la regla de Littlewood-Richardson . Por razones algebraico-geométricas ( teorema de transversalidad de Kleiman de 1974 ), estos coeficientes son enteros no negativos, y resulta un problema pendiente en la teoría de la representación y la combinatoria encontrar una regla combinatoria para estos números.

Polinomios de Schubert dobles${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )}$son polinomios en dos conjuntos infinitos de variables, parametrizados por un elemento w del grupo simétrico infinito , que se convierte en los polinomios de Schubert usuales cuando todas las variables${\displaystyle y_{i}}$son${\displaystyle 0}$.

El polinomio doble de Schubert${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )}$se caracterizan por las propiedades

• ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )=\prod \limits _{i+j\leq n}(x_{i}-y_{j})}$cuando${\displaystyle w}$es la permutación en${\displaystyle 1,\ldots ,n}$de mayor longitud.

• ${\displaystyle \partial _{i}{\mathfrak {S}}_{w}={\mathfrak {S}}_{ws_{i}}}$si${\displaystyle w(i)>w(i+1).}$

Los polinomios dobles de Schubert también se pueden definir como

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x,y)=\sum _{w=v^{-1}u{\text{ and }}\ell (w)=\ell (u)+\ell (v)}{\mathfrak {S}}_{u}(x){\mathfrak {S}}_{v}(-y).}$

Fomin, Gelfand y Postnikov (1997) introdujeron los polinomios de Schubert cuánticos, que tienen la misma relación con la (pequeña) cohomología cuántica de las variedades de banderas que los polinomios de Schubert ordinarios tienen con la cohomología ordinaria.

Fulton (1999) introdujo los polinomios de Schubert universales, que generalizan los polinomios de Schubert clásicos y cuánticos. También describió los polinomios de Schubert dobles universales, que generalizan los polinomios de Schubert dobles.

• Función simétrica de Stanley
• polinomio de Kostant
• La fórmula de Monk da como resultado el producto de un polinomio de Schubert lineal y un polinomio de Schubert.
• álgebra de nil-Coxeter

• Bernstein, IN ; Gelfand, IM ; Gelfand, SI (1973), "Celdas de Schubert y la cohomología de los espacios G/P", Russian Math. Surveys , 28 (3): 1–26 , Bibcode : 1973RuMaS..28....1B , doi : 10.1070/RM1973v028n03ABEH001557 , S2CID 800432 
• Fomin, Sergey ; Gelfand, Sergei; Postnikov, Alexander (1997), "Polinomios de Schubert cuánticos", Journal of the American Mathematical Society , 10 (3): 565– 596, doi : 10.1090/S0894-0347-97-00237-3 , ISSN 0894-0347 , MR 1431829  
• Fulton, William (1992), "Banderas, polinomios de Schubert, lugares de degeneración y fórmulas determinantes", Duke Mathematical Journal , 65 (3): 381–420 , doi : 10.1215/S0012-7094-92-06516-1 , ISSN 0012-7094 , MR 1154177  
• Fulton, William (1997), Young tableaux , London Mathematical Society Student Texts, vol.  35, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-56144-0, MR 1464693 
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• Lascoux, Alain (1995), "Polynômes de Schubert: une approche historique", Matemáticas discretas , 139 (1): 303– 317, doi : 10.1016/0012-365X(95)93984-D , ISSN 0012-365X , SEÑOR 1336845  
• Lascoux, Alain ; Schützenberger, Marcel-Paul (1982), "Polynômes de Schubert", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 294 (13): 447– 450, ISSN 0249-6291 , SEÑOR 0660739  
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