Teorema de Stokes

El teorema de Stokes , también conocido como teorema de Kelvin-Stokes , es un teorema del cálculo vectorial que relaciona el comportamiento de un campo vectorial a lo largo del borde de una superficie con el comportamiento de su rotacional en la superficie misma. ^{[ 1 ]} En su forma tridimensional habitual, establece que la circulación total de un campo vectorial alrededor de una curva cerrada es igual al rotacional total del campo a través de una superficie delimitada por dicha curva.

Si $Σ$ es una superficie orientada con frontera $\partialΣ$ , el teorema de Stokes se suele escribir como

$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {n} \,dS.$

Aquí, el lado izquierdo es la integral de línea del campo vectorial alrededor de la curva límite, mientras que el lado derecho es la integral de superficie de su rotacional sobre la superficie. De manera informal, el teorema establece que la suma de la rotación local de un campo vectorial sobre una superficie da como resultado la circulación neta alrededor de su borde.

El teorema también se denomina teorema fundamental de los rotacionales , teorema del rotacional o teorema del rotor . ^{[ 2 ]} Es un caso especial del teorema generalizado de Stokes . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} En el lenguaje de las formas diferenciales , el campo vectorial corresponde a una 1-forma y su rotacional corresponde a la derivada exterior de esa forma.

Teorema

Dejar $\Sigma$ ser una superficie lisa orientada en $\mathbb {R} ^{3}$ , parametrizado por $\mathbf {\Sigma } (u,v)$ , con límite $\partial \Sigma \equiv \Gamma$ , parametrizado por $\mathbf {\Gamma } (t)$ . Si un campo vectorial

\mathbf {F} (x,y,z)=(F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z))

tiene derivadas parciales de primer orden continuas en $\Sigma$ , entonces $\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Gamma }$ con las abreviaturas para el elemento de línea $d\mathbf {\Gamma } ={\frac {d\mathbf {\Gamma } }{dt}}dt$ y el elemento de superficie $d\mathbf {\Sigma } =\mathbf {n} d\Sigma =\left({\frac {\partial \mathbf {\Sigma } }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {\Sigma } }{\partial v}}\right)dudv$ dónde $\mathbf {n} (u,v)$ es el vector ortogonal a la superficie en el punto $\mathbf {\Sigma } (u,v)$ .

La igualdad puede expresarse en términos de formas diferenciales , con $\wedge$ siendo el producto cuña y ${\text{d}}$ la derivada exterior : ${\begin{aligned}&\iint _{\Sigma }\left(\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\right)\\&=\oint _{\partial \Sigma }{\Bigl (}F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z{\Bigr )}.\end{aligned}}$

El principal desafío en una formulación precisa del teorema de Stokes radica en definir la noción de frontera. Se sabe que superficies como el copo de nieve de Koch , por ejemplo, no presentan una frontera integrable de Riemann, y la noción de medida de superficie en la teoría de Lebesgue no puede definirse para una superficie no Lipschitz . Una técnica (avanzada) consiste en pasar a una formulación débil y luego aplicar la maquinaria de la teoría geométrica de la medida ; para ese enfoque, véase la fórmula del área de la superficie . En este artículo, en cambio, utilizamos una definición más elemental, basada en el hecho de que se puede discernir una frontera para subconjuntos de dimensión completa de $\mathbb {R} ^{2}$ .

Se proporcionará una declaración más detallada para discusiones posteriores. ${\displaystyle \gamma$ una curva plana de Jordan suave a trozos : una curva cerrada simple en el plano. El teorema de la curva de Jordan implica que $\gamma$ divide $\mathbb {R} ^{2}$ en dos componentes, uno compacto y otro no compacto. $D$ denotemos la parte compacta; entonces $D$ está delimitado por $\gamma$ . Ahora basta con transferir esta noción de límite a lo largo de un mapa continuo a nuestra superficie en $\mathbb {R} ^{3}$ . Pero ya tenemos un mapa de ese tipo: la parametrización de $\Sigma$ .

Suponer $\psi :D\to \mathbb {R} ^{3}$ es suave por partes en las proximidades de $D$ ^{[ nota 1 ]} , con $\Sigma =\psi (D)$ . ^{[ nota 2 ]} Si $\Gamma$ es la curva espacial definida por $\Gamma (t)=\psi (\gamma (t))$ ^{[ nota 3 ]} luego llamamos $\Gamma$ el límite de $\Sigma$ , escrito $\partial \Sigma$ ^{[ nota 4 ]}

Con la notación anterior, si $\mathbf {F}$ es cualquier campo vectorial suave en $\mathbb {R} ^{3}$ , entonces ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \,\cdot \,d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \,\cdot \,d\mathbf {\Sigma } .$

Aquí, el " $\cdot$ " representa el producto escalar en $\mathbb {R} ^{3}$ .

Caso particular de un teorema más general.

El teorema de Stokes puede considerarse un caso especial de la siguiente identidad: ^{[ 7 ]} $\oint _{\partial \Sigma }(\mathbf {F} \,\cdot \,d{\mathbf {\Gamma } })\,\mathbf {g} =\iint _{\Sigma }\left[d\mathbf {\Sigma } \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} -\mathbf {F} \times \nabla \right)\right]\mathbf {g} ,$ dónde $\mathbf {g}$ es cualquier campo vectorial o escalar suave en $\mathbb {R} ^{3}$ . Cuando $\mathbf {g}$ es un campo escalar uniforme, se recupera el teorema de Stokes estándar.

Prueba

La demostración del teorema consta de 4 pasos. Partimos del teorema de Green , por lo que lo que nos interesa es cómo reducir el complejo problema tridimensional (teorema de Stokes) a un problema bidimensional rudimentario (teorema de Green). ^{[ 8 ]} Al demostrar este teorema, los matemáticos normalmente lo deducen como un caso particular de un resultado más general , que se enuncia en términos de formas diferenciales y se demuestra utilizando maquinaria más sofisticada. Si bien son potentes, estas técnicas requieren una base sustancial, por lo que la demostración que sigue las evita y no presupone ningún conocimiento más allá de la familiaridad con el cálculo vectorial básico y el álgebra lineal. ^{[ 6 ]} Al final de esta sección, se presenta una breve demostración alternativa del teorema de Stokes, como corolario del teorema de Stokes generalizado.

Prueba elemental

Primer paso de la demostración elemental (parametrización de la integral)

Como en el Teorema § , reducimos la dimensión utilizando la parametrización natural de la superficie. Sean $ψ$ y $γ$ como en esa sección, y observemos que mediante un cambio de variables $\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } }=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } ))\cdot \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } )}=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\,\mathrm {d} \gamma }$ donde $J y ψ$ representa la matriz jacobiana de $ψ$ en $y = γ (t)$ .

Ahora sea ${e u, e v}$ una base ortonormal en las direcciones de coordenadas de $R 2$ . ^{[ nota 5 ]}

Reconociendo que las columnas de $J y ψ$ son precisamente las derivadas parciales de $ψ$ en $y$ , podemos expandir la ecuación anterior en coordenadas como ${\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } }&=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{u}(\mathbf {e} _{u}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )+\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{v}(\mathbf {e} _{v}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )}\\&=\oint _{\gamma }{\left(\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{v}\right)\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} }\end{aligned}}$

Segundo paso en la demostración elemental (definición del retroceso)

El paso anterior sugiere que definamos la función. $\mathbf {P} (u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{v}$

Ahora bien, si las funciones de valor escalar $P_{u}$ y $P_{v}$ se definen de la siguiente manera, ${P_{u}}(u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)$ ${P_{v}}(u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)$ entonces, $\mathbf {P} (u,v)={P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v}.$

Este es el retroceso de $F$ a lo largo de $ψ$ y, por lo anterior, satisface $\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{\mathbf {P} (\mathbf {y} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }$

Hemos logrado reducir un lado del teorema de Stokes a una fórmula bidimensional; ahora pasamos al otro lado.

Tercer paso de la demostración elemental (segunda ecuación)

Primero, calcule las derivadas parciales que aparecen en el teorema de Green , mediante la regla del producto : ${\begin{aligned}{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial v\,\partial u}}\\[5pt]{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial u\,\partial v}}\end{aligned}}$

Convenientemente, el segundo término se desvanece en la diferencia, por igualdad de parciales mixtos . Por lo tanto, ^{[ nota 6 ]} ${\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}-{\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}-{\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}&&{\text{(chain rule)}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot \left(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\end{aligned}}$

Pero ahora consideremos la matriz en esa forma cuadrática, es decir, $J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )^{\mathsf {T}}$ . Afirmamos que esta matriz, de hecho, describe un producto vectorial. Aquí el superíndice " ${}^{\mathsf {T}}$ " representa la transposición de matrices .

Para ser precisos, dejemos $A=(A_{ij})_{ij}$ Sea una matriz arbitraria $de 3 \times 3$ y sea $\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{32}-A_{23}\\A_{13}-A_{31}\\A_{21}-A_{12}\end{bmatrix}}$

Nótese que $x \mapsto a \times x$ es lineal, por lo que está determinado por su acción sobre los elementos base. Pero mediante cálculo directo ${\begin{aligned}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{1}&={\begin{bmatrix}0\\a_{3}\\-a_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{1}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{2}&={\begin{bmatrix}-a_{3}\\0\\a_{1}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{2}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{3}&={\begin{bmatrix}a_{2}\\-a_{1}\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}$ Aquí, ${e 1, e 2, e 3}$ representa una base ortonormal en las direcciones de coordenadas de $\mathbb {R} ^{3}$ . ^{[ nota 7 ]}

Por lo tanto, $(A - A T) x = a \times x$ para cualquier $x$ .

Sustituyendo ${(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}$ para $A$ , obtenemos $\left({(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}-{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} =(\nabla \times \mathbf {F} )\times \mathbf {x} ,\quad {\text{for all}}\,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}$

Ahora podemos reconocer la diferencia de parciales como un producto triple (escalar) : ${\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\end{aligned}}$

Por otro lado, la definición de una integral de superficie también incluye un producto triple: ¡el mismo! ${\begin{aligned}\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,d\mathbf {\Sigma } &=\iint _{D}{(\nabla \times \mathbf {F} )({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}\end{aligned}}$

Entonces, obtenemos $\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$

Cuarto paso de la demostración elemental (reducción al teorema de Green).

La combinación del segundo y tercer paso, y la posterior aplicación del teorema de Green, completa la demostración. El teorema de Green afirma lo siguiente: para cualquier región D delimitada por la curva cerrada de Jordans γ y dos funciones suaves con valores escalares, se cumple que: $P_{u}(u,v),P_{v}(u,v)$ definido en D;

$\oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$

Podemos sustituir la conclusión del PASO 2 en el lado izquierdo del teorema de Green anterior, y sustituir la conclusión del PASO 3 en el lado derecho. QED

Demostración mediante formas diferenciales

Las funciones $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ se puede identificar con las 1-formas diferenciales en $\mathbb {R} ^{3}$ a través del mapa $F_{x}\mathbf {e} _{1}+F_{y}\mathbf {e} _{2}+F_{z}\mathbf {e} _{3}\mapsto F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z.$

Escriba la 1-forma diferencial asociada a una función $F$ como $ω F$ . Entonces se puede calcular que $\star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }=\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} },$ donde $★$ es la estrella de Hodge y $\mathrm {d}$ es la derivada exterior . Por lo tanto, por el teorema generalizado de Stokes, ^{[ 9 ]} $\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\gamma } }=\oint _{\partial \Sigma }{\omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }}=\iint _{\Sigma }{\nabla \times \mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$

Aplicaciones

Campos irrotacionales

En esta sección, analizaremos el campo irrotacional ( campo vectorial lamelar ) basado en el teorema de Stokes.

Definición 2-1 (campo irrotacional). Un campo vectorial suave $F$ en un espacio abierto $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ es irrotacional ( campo vectorial lamelar ) si $\nabla \times F = 0$ .

Este concepto es fundamental en mecánica; como demostraremos más adelante, si $F$ es irrotacional y el dominio de $F$ es simplemente conexo , entonces $F$ es un campo vectorial conservativo .

Teorema de Helmholtz

En esta sección, presentaremos un teorema derivado del teorema de Stokes que caracteriza los campos vectoriales libres de vórtices. En mecánica clásica y dinámica de fluidos se le conoce como el teorema de Helmholtz .

Teorema 2-1 (Teorema de Helmholtz en dinámica de fluidos). ^{[ 3 ]}^{[ 10 ]}^{: 142} Sea $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ Sea U un subconjunto abierto con un campo vectorial lamelar $F$ y sean $c$ $0$ $,$ $c$ $1$ $: [0, 1] \to$ $U$ bucles suaves a trozos. Si existe una función $H$ $: [0, 1] \times [0, 1] \to$ $U$ tal que

[TLH0] $H$ es suave por partes,
[TLH1] $H (t, 0) = c 0 (t)$ para todo $t \in [0, 1]$ ,
[TLH2] $H (t, 1) = c 1 (t)$ para todo $t \in [0, 1]$ ,
[TLH3] $H (0, s) = H (1, s)$ para todo $s \in [0, 1]$ .

Entonces, $\int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=\int _{c_{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{1}$

Algunos libros de texto, como el de Lawrence ^{[ 3 ],} $denominan$ "homotópica" a la relación entre $c₀$ y $c₁$ enunciada en el teorema 2-1, y "homotopía entre c₀ y c₁" a la función $H$ : $[$ 0 $,$ $1] \times [0, 1] \to$ $U.$ $Sin$ $embargo$ , "homotópica" u "homotopía" en el sentido mencionado anteriormente son definiciones diferentes (más estrictas) que las definiciones típicas de "homotópica" u "homotopía"; estas últimas omiten la condición [TLH3]. Por lo tanto, de ahora en adelante nos referiremos a la homotopía (homotopo) en el sentido del teorema 2-1 como una homotopía tubular (o, respectivamente, tubular-homotópica) . ^[^{nota 8}^]

Demostración del teorema de Helmholtz

En lo que sigue, abusamos de la notación y usamos " $\oplus$ " para la concatenación de caminos en el grupoide fundamental y " $\ominus$ " para invertir la orientación de una trayectoria.

Sea $D = [0, 1] \times [0, 1]$ , y dividamos $\partial D$ en cuatro segmentos de línea $γ j$ . ${\begin{aligned}\gamma _{1}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{1}(t)=(t,0)\\\gamma _{2}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{2}(s)=(1,s)\\\gamma _{3}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{3}(t)=(1-t,1)\\\gamma _{4}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{4}(s)=(0,1-s)\end{aligned}}$ de modo que $\partial D=\gamma _{1}\oplus \gamma _{2}\oplus \gamma _{3}\oplus \gamma _{4}$

Según nuestra suposición de que $c 0$ y $c 1$ son homotópicas suaves por partes, existe una homotopía suave por partes $H : D \to M$ ${\begin{aligned}\Gamma _{i}(t)&=H(\gamma _{i}(t))&&i=1,2,3,4\\\Gamma (t)&=H(\gamma (t))=(\Gamma _{1}\oplus \Gamma _{2}\oplus \Gamma _{3}\oplus \Gamma _{4})(t)\end{aligned}}$

Sea $S$ la imagen de $D$ bajo $H.$ $\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \,\mathrm {d} S=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma$ Se deduce inmediatamente del teorema de Stokes. $F$ es lamelar, por lo que el lado izquierdo se anula, es decir $0=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma =\sum _{i=1}^{4}\oint _{\Gamma _{i}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma$

Como $H$ es tubular (satisfaciendo [TLH3]), $\Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}$ y $\Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}$ . Por lo tanto, las integrales de línea a lo largo de $Γ 2 (s)$ y $Γ 4 (s)$ se cancelan, dejando $0=\oint _{\Gamma _{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma +\oint _{\Gamma _{3}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma$

Por otro lado, $c 1 = Γ 1$ , $c_{3}=\ominus \Gamma _{3}$ , de modo que la igualdad deseada se obtiene casi inmediatamente.

Fuerzas conservadoras

El teorema de Helmholtz explica por qué el trabajo realizado por una fuerza conservativa al cambiar la posición de un objeto es independiente de la trayectoria. Primero, presentamos el Lema 2-2, que es un corolario y un caso particular del teorema de Helmholtz.

Lema 2-2. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Sea $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ Sea U un subconjunto abierto , con un campo vectorial lamelar $F$ y un bucle suave a trozos $c$ $0$ $: [0, 1] \to$ $U$ . Fijemos un punto $p$ $\in$ $U$ , si existe una homotopía $H$ $: [0, 1] \times [0, 1] \to$ $U$ tal que

[SC0] $H$ es suave por partes ,
[SC1] $H (t, 0) = c 0 (t)$ para todo $t \in [0, 1]$ ,
[SC2] $H (t, 1) = p$ para todo $t \in [0, 1]$ ,
[SC3] $H (0, s) = H (1, s) = p$ para todo $s \in [0, 1]$ .

Entonces, $\int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0$

El lema 2-2 anterior se deduce del teorema 2-1. En el lema 2-2, la existencia de $H$ que satisface [SC0] a [SC3] es crucial; la cuestión es si dicha homotopía puede tomarse para bucles arbitrarios. Si $U$ es simplemente conexo, existe tal $H.$ La definición de espacio simplemente conexo es la siguiente:

Definición 2-2 (espacio simplemente conexo). ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Sea $M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ser no vacío y conexo por caminos . $M$ se llama simplemente conexo si y solo si para cualquier bucle continuo, $c : [0, 1] \to M$ existe una homotopía tubular continua $H : [0, 1] \times [0, 1] \to M$ desde $c$ a un punto fijo $p \in c$ ; es decir,

[SC0'] $H$ es continuo ,
[SC1] $H (t, 0) = c (t)$ para todo $t \in [0, 1]$ ,
[SC2] $H (t, 1) = p$ para todo $t \in [0, 1]$ ,
[SC3] $H (0, s) = H (1, s) = p$ para todo $s \in [0, 1]$ .

La afirmación de que "para una fuerza conservativa, el trabajo realizado al cambiar la posición de un objeto es independiente de la trayectoria" podría parecer una consecuencia inmediata si M es simplemente conexa. Sin embargo, recordemos que la simple conexidad solo garantiza la existencia de una homotopía continua que satisfaga [SC1-3]; en cambio, buscamos una homotopía suave por partes que satisfaga dichas condiciones.

Afortunadamente, la falta de regularidad se resuelve mediante el teorema de aproximación de Whitney . ^{[ 4 ]}^{: 136, 421}^{[ 11 ]} En otras palabras, la posibilidad de encontrar una homotopía continua, pero no poder integrar sobre ella, se elimina gracias a las matemáticas superiores. Así obtenemos el siguiente teorema.

Teorema 2-2. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Sea $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ ser abierto y simplemente conectado con un campo vectorial irrotacional $F$ . Para todos los bucles suaves a trozos $c : [0, 1] \to U$ $\int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0$

Ecuaciones de Maxwell

En la física del electromagnetismo , el teorema de Stokes proporciona la justificación de la equivalencia de la forma diferencial de la ecuación de Maxwell-Faraday y la ecuación de Maxwell-Ampère y la forma integral de estas ecuaciones. Para la ley de Faraday, el teorema de Stokes se aplica al campo eléctrico, $\mathbf {E}$ : $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .$

Para la ley de Ampère, se aplica el teorema de Stokes al campo magnético, $\mathbf {B}$ : $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .$

Notas

↑ De la definición de $D$ , $D$ es obviamente un conjunto cerrado acotado en $\mathbb {R} ^{2}$ . "Un vecindario de D" significa "un conjunto abierto en $\mathbb {R} ^{2}$ que contiene D."
↑ $\Sigma =\psi (D)$ representa el conjunto de imágenes de $D$ por $\psi$
↑ $\Gamma$ Puede que no sea una curva de Jordan si el bucle $\gamma$ interactúa mal con $\psi$ . Sin embargo, $\Gamma$ Siempre es un bucle o bucles, y topológicamente una suma conexa de un número numerable de curvas de Jordan, de modo que las integrales están bien definidas.
↑ Incluso si consideramos coordenadas polares bidimensionales, si hacemos ∂Σ = Γ, entonces ∂Σ puede contener claramente un punto interior topológico de Σ. Sin embargo, en variedades combinatorias orientables , esto no es un problema tan grave, ya que las integrales de línea sobre los puntos interiores se cancelan: en una variedad orientable, la integral de línea sobre ∂Σ coincide con la integral de línea sobre la frontera verdadera. Un ejemplo aún más importante es que este teorema también se aplica a variedades sin frontera topológica, como la esfera o el toro. En tales casos, si ∂Σ = Γ, entonces ∂Σ está completamente contenido dentro de Σ. Sin embargo, en tales casos, las integrales de línea resultantes sobre Γ se cancelan completamente entre sí. Esto nos permite afirmar que la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial en una variedad sin frontera es cero .
↑ En este artículo, $\mathbf {e} _{u}=(1,0),\ \mathbf {e} _{v}=(0,1).$ Cabe señalar que, en algunos libros de texto sobre análisis vectorial, estos términos se asignan a conceptos diferentes. Por ejemplo, en la notación de algunos libros, ${e u, e v}$ puede significar, respectivamente, ${t u, t v}$ . Sin embargo, en este artículo, se trata de dos conceptos completamente distintos. $\mathbf {t} _{u}={\frac {1}{h_{u}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\,,\mathbf {t} _{v}={\frac {1}{h_{v}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}.$ Aquí, $h_{u}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\right\|,h_{v}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right\|,$ y el " $\|\cdot \|$ " representa la norma euclidiana .
↑ Para todos ${\textbf {a}},{\textbf {b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ , para todos $A;n\times n$ matriz cuadrada , ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}$ y por lo tanto ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {b}}\cdot A^{\mathsf {T}}{\textbf {a}}$ .
↑ En este artículo, $\mathbf {e} _{1}=(1,0,0),\ \mathbf {e} _{2}=(0,1,0),\ \mathbf {e} _{3}=(0,0,1).$ Tenga en cuenta que, en algunos libros de texto sobre análisis vectorial, estos términos se asignan a cosas diferentes.
↑ Existen libros de texto que utilizan los términos «homotopía» y «homotópico» en el sentido del Teorema 2-1.^{[ 3 ]} De hecho, esto resulta muy conveniente para el problema específico de las fuerzas conservativas. Sin embargo, ambos usos de homotopía aparecen con la suficiente frecuencia como para que sea necesaria una terminología que permita desambiguarlos, y el término «homotopía tubular» adoptado aquí cumple adecuadamente con ese propósito.

Referencias

↑ Stewart, James (2012). Cálculo – Primeros trascendentales (PDF) (7.ª ed.). Brooks/Cole . pág. 1122. ISBN 978-0-538-49790-9.
↑ Griffiths, David J. (2013). Introducción a la electrodinámica (4.ª ed.). Pearson. pág. 34. ISBN 978-0-321-85656-2.
1 2 3 4 5 6 7 Conlon, Lawrence (2008). Differentiable manifolds . Modern Birkhäuser classics (2.ª ed.). Boston; Berlín: Birkhäuser . ISBN 978-0-8176-4766-7.
1 2 3 4 5 Lee, John M. (2012). Introducción a las variedades diferenciables . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 218 (2.ª ed.). Nueva York; Londres: Springer . ISBN 978-1-4419-9982-5.
↑ Stewart, James (2010). Cálculo esencial: primeras trascendentales . Australia; Estados Unidos: Brooks/Cole . ISBN 978-0-538-49739-8.
1 2 Robert Scheichl, apuntes de clase parael curso de matemáticas de la Universidad de Bath
↑ Pérez-Garrido, A. (2024-05-01). "Recuperación de teoremas poco utilizados del cálculo vectorial y su aplicación a problemas de electromagnetismo". American Journal of Physics . 92 (5): 354– 359. arXiv : 2312.17268 . Bibcode : 2024AmJPh..92e.354P . doi : 10.1119/5.0182191 . ISSN 0002-9505 .
↑ Colley, Susan Jane (2012). Cálculo vectorial (PDF) (4.ª ed.). Boston: Pearson. págs. 500–3 . ISBN 978-0-321-78065-2OCLC 732967769
↑ Edwards, Harold M. (1994). Cálculo avanzado: un enfoque de formas diferenciales (3.ª ed.). Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3707-1.
^ Atsuo, Fujimoto (1979).現代数学レクチャーズ. C 1, ベクトル解析 (Gendai sūgaku rekuchāzu. C(1), Bekutoru kaiseki) (en japonés). Baifukan . OCLC 674186011 .
↑ Pontryagin, LS (1959). "Variedades suaves y sus aplicaciones en la teoría de la homotopía" (PDF) . Traducciones de la Sociedad Matemática Americana . Serie 2. 11. Traducido por Hilton, PJ. Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Americana : 1–114 . doi : 10.1090/trans2/011/01 . ISBN 978-0-8218-1711-7. MR 0115178 . {{cite journal}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) Véanse los teoremas 7 y 8.

[NeighbourhoodofD-5] De la definición de $D$ , $D$ es obviamente un conjunto cerrado acotado en $\mathbb {R} ^{2}$ . "Un vecindario de D" significa "un conjunto abierto en $\mathbb {R} ^{2}$ que contiene D."

[imgg-6] $\Sigma =\psi (D)$ representa el conjunto de imágenes de $D$ por $\psi$

[cgamma-7] $\Gamma$ Puede que no sea una curva de Jordan si el bucle $\gamma$ interactúa mal con $\psi$ . Sin embargo, $\Gamma$ Siempre es un bucle o bucles, y topológicamente una suma conexa de un número numerable de curvas de Jordan, de modo que las integrales están bien definidas.

[boundery-8] Incluso si consideramos coordenadas polares bidimensionales, si hacemos ∂Σ = Γ, entonces ∂Σ puede contener claramente un punto interior topológico de Σ. Sin embargo, en variedades combinatorias orientables , esto no es un problema tan grave, ya que las integrales de línea sobre los puntos interiores se cancelan: en una variedad orientable, la integral de línea sobre ∂Σ coincide con la integral de línea sobre la frontera verdadera. Un ejemplo aún más importante es que este teorema también se aplica a variedades sin frontera topológica, como la esfera o el toro. En tales casos, si ∂Σ = Γ, entonces ∂Σ está completamente contenido dentro de Σ. Sin embargo, en tales casos, las integrales de línea resultantes sobre Γ se cancelan completamente entre sí. Esto nos permite afirmar que la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial en una variedad sin frontera es cero .

[orf2-13] En este artículo, $\mathbf {e} _{u}=(1,0),\ \mathbf {e} _{v}=(0,1).$ Cabe señalar que, en algunos libros de texto sobre análisis vectorial, estos términos se asignan a conceptos diferentes. Por ejemplo, en la notación de algunos libros, ${e u, e v}$ puede significar, respectivamente, ${t u, t v}$ . Sin embargo, en este artículo, se trata de dos conceptos completamente distintos. $\mathbf {t} _{u}={\frac {1}{h_{u}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\,,\mathbf {t} _{v}={\frac {1}{h_{v}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}.$ Aquí, $h_{u}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\right\|,h_{v}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right\|,$ y el " $\|\cdot \|$ " representa la norma euclidiana .

[naiseki-14] Para todos ${\textbf {a}},{\textbf {b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ , para todos $A;n\times n$ matriz cuadrada , ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}$ y por lo tanto ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {b}}\cdot A^{\mathsf {T}}{\textbf {a}}$ .

[orf3-15] En este artículo, $\mathbf {e} _{1}=(1,0,0),\ \mathbf {e} _{2}=(0,1,0),\ \mathbf {e} _{3}=(0,0,1).$ Tenga en cuenta que, en algunos libros de texto sobre análisis vectorial, estos términos se asignan a cosas diferentes.

[TLH-18] Existen libros de texto que utilizan los términos «homotopía» y «homotópico» en el sentido del Teorema 2-1.^{[ 3 ]} De hecho, esto resulta muy conveniente para el problema específico de las fuerzas conservativas. Sin embargo, ambos usos de homotopía aparecen con la suficiente frecuencia como para que sea necesaria una terminología que permita desambiguarlos, y el término «homotopía tubular» adoptado aquí cumple adecuadamente con ese propósito.

[1] Stewart, James (2012). Cálculo – Primeros trascendentales (PDF) (7.ª ed.). Brooks/Cole . pág. 1122. ISBN 978-0-538-49790-9.

[2] Griffiths, David J. (2013). Introducción a la electrodinámica (4.ª ed.). Pearson. pág. 34. ISBN 978-0-321-85656-2.

[DTPO-3] 1 2 3 4 5 6 7 Conlon, Lawrence (2008). Differentiable manifolds . Modern Birkhäuser classics (2.ª ed.). Boston; Berlín: Birkhäuser . ISBN 978-0-8176-4766-7.

[lee-4] 1 2 3 4 5 Lee, John M. (2012). Introducción a las variedades diferenciables . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 218 (2.ª ed.). Nueva York; Londres: Springer . ISBN 978-1-4419-9982-5.

[Jame-9] Stewart, James (2010). Cálculo esencial: primeras trascendentales . Australia; Estados Unidos: Brooks/Cole . ISBN 978-0-538-49739-8.

[bath-10] 1 2 Robert Scheichl, apuntes de clase parael curso de matemáticas de la Universidad de Bath

[11] Pérez-Garrido, A. (2024-05-01). "Recuperación de teoremas poco utilizados del cálculo vectorial y su aplicación a problemas de electromagnetismo". American Journal of Physics . 92 (5): 354– 359. arXiv : 2312.17268 . Bibcode : 2024AmJPh..92e.354P . doi : 10.1119/5.0182191 . ISSN 0002-9505 .

[12] Colley, Susan Jane (2012). Cálculo vectorial (PDF) (4.ª ed.). Boston: Pearson. págs. 500–3 . ISBN 978-0-321-78065-2OCLC 732967769

[16] Edwards, Harold M. (1994). Cálculo avanzado: un enfoque de formas diferenciales (3.ª ed.). Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3707-1.

[fujimno-17] Atsuo, Fujimoto (1979).現代数学レクチャーズ. C 1, ベクトル解析 (Gendai sūgaku rekuchāzu. C(1), Bekutoru kaiseki) (en japonés). Baifukan . OCLC 674186011 .

[ptr-19] Pontryagin, LS (1959). "Variedades suaves y sus aplicaciones en la teoría de la homotopía" (PDF) . Traducciones de la Sociedad Matemática Americana . Serie 2. 11. Traducido por Hilton, PJ. Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Americana : 1–114 . doi : 10.1090/trans2/011/01 . ISBN 978-0-8218-1711-7. MR 0115178 . {{cite journal}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) Véanse los teoremas 7 y 8.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ nota 1 ]

[ nota 2 ]

[ nota 3 ]

[ nota 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ nota 5 ]

[ nota 6 ]

[ nota 7 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[

[ 11 ]