Funciones de utilidad sobre bienes indivisibles

Algunas ramas de la economía y la teoría de juegos se ocupan de bienes indivisibles , es decir, artículos discretos que solo pueden intercambiarse como un todo. Por ejemplo, en las subastas combinatorias existe un conjunto finito de artículos, y cada agente puede comprar un subconjunto de ellos, pero un artículo no puede dividirse entre dos o más agentes.

Generalmente se asume que cada agente asigna una utilidad subjetiva a cada subconjunto de los elementos. Esto se puede representar de dos maneras:

• Una relación de preferencia de utilidad ordinal , generalmente marcada por${\displaystyle \succ }$. El hecho de que un agente prefiera un conjunto${\displaystyle A}$a un conjunto${\displaystyle B}$está escrito${\displaystyle A\succ B}$. Si el agente solo prefiere débilmente${\displaystyle A}$(es decir, cualquiera de los dos prefiere${\displaystyle A}$o es indiferente entre${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$) entonces esto está escrito${\displaystyle A\succeq B}$.
• Una función de utilidad cardinal , generalmente denotada por${\displaystyle u}$. La utilidad que un agente obtiene de un conjunto${\displaystyle A}$está escrito${\displaystyle u(A)}$Las funciones de utilidad cardinales a menudo se normalizan de tal manera que${\displaystyle u(\emptyset )=0}$, dónde${\displaystyle \emptyset }$es el conjunto vacío.

Una función de utilidad cardinal implica una relación de preferencia:${\displaystyle u(A)>u(B)}$implica${\displaystyle A\succ B}$y${\displaystyle u(A)\geq u(B)}$implica${\displaystyle A\succeq B}$Las funciones de utilidad pueden tener varias propiedades. ^{[ 1 ]}

La monotonicidad significa que un agente siempre prefiere (débilmente) tener artículos adicionales. Formalmente:

• Para una relación de preferencia:${\displaystyle A\supseteq B}$implica${\displaystyle A\succeq B}$.
• Para una función de utilidad:${\displaystyle A\supseteq B}$implica${\displaystyle u(A)\geq u(B)}$(es decir, u es una función monótona ).

La monotonicidad es equivalente al supuesto de libre disposición : si un agente siempre puede desechar los artículos no deseados, entonces los artículos adicionales nunca pueden disminuir la utilidad.

La aditividad (también llamada linealidad o modularidad ) significa que "el todo es igual a la suma de sus partes". Es decir, la utilidad de un conjunto de elementos es la suma de las utilidades de cada elemento por separado. Esta propiedad es relevante solo para funciones de utilidad cardinales. Dice que para cada conjunto${\displaystyle A}$de artículos,

${\displaystyle u(A)=\sum _{x\in A}u({x})}$

suponiendo que${\displaystyle u(\emptyset )=0}$. En otras palabras,${\displaystyle u}$es una función aditiva . Una definición equivalente es: para cualquier conjunto de elementos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$,

${\displaystyle u(A)+u(B)=u(A\cup B)+u(A\cap B).}$

Una función de utilidad aditiva es característica de los bienes independientes . Por ejemplo, una manzana y un sombrero se consideran independientes: la utilidad que una persona obtiene al tener una manzana es la misma independientemente de si tiene o no un sombrero, y viceversa. Una función de utilidad típica para este caso se muestra a la derecha.

La submodularidad significa que "el todo no es más que la suma de sus partes (y puede ser menos)". Formalmente, para todos los conjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$,

${\displaystyle u(A)+u(B)\geq u(A\cup B)+u(A\cap B)}$

En otras palabras,${\displaystyle u}$es una función de conjunto submodular .

Una propiedad equivalente es la utilidad marginal decreciente , lo que significa que para cualquier conjunto${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$con${\displaystyle A\subsetequ B}$y cada${\displaystyle x\notin B}$: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle u(A\cup \{x\})-u(A)\geq u(B\cup \{x\})-u(B)}$.

Una función de utilidad submodular es característica de los bienes sustitutivos . Por ejemplo, una manzana y una barra de pan pueden considerarse sustitutos: la utilidad que una persona obtiene al comer una manzana es menor si ya ha comido pan (y viceversa), ya que en ese caso tiene menos hambre. Una función de utilidad típica para este caso se muestra a la derecha.

La supermodularidad es lo opuesto a la submodularidad: significa que "el todo no es menor que la suma de sus partes (y puede ser mayor)". Formalmente, para todos los conjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$,

${\displaystyle u(A)+u(B)\leq u(A\cup B)+u(A\cap B)}$

En otras palabras,${\displaystyle u}$es una función de conjunto supermodular .

Una propiedad equivalente es la utilidad marginal creciente , lo que significa que para todos los conjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$con${\displaystyle A\subsetequ B}$y cada${\displaystyle x\notin B}$:

${\displaystyle u(B\cup \{x\})-u(B)\geq u(A\cup \{x\})-u(A)}$.

Una función de utilidad supermodular es característica de los bienes complementarios . Por ejemplo, una manzana y un cuchillo pueden considerarse complementarios: la utilidad que una persona obtiene de una manzana es mayor si ya posee un cuchillo (y viceversa), ya que es más fácil comer una manzana después de cortarla con un cuchillo. A la derecha se muestra una posible función de utilidad para este caso.

Una función de utilidad es aditiva si y solo si es a la vez submodular y supermodular.

La subaditividad significa que para cada par de conjuntos disjuntos${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle u(A\cup B)\leq u(A)+u(B)}$

En otras palabras,${\displaystyle u}$es una función de conjunto subaditiva .

Arrogante${\displaystyle u(\emptyset )}$es no negativo, toda función submodular es subaditiva. Sin embargo, existen funciones subaditivas no negativas que no son submodulares. Por ejemplo, supongamos que hay 3 elementos idénticos,${\displaystyle X,Y}$y Z, y la utilidad depende únicamente de su cantidad. La tabla de la derecha describe una función de utilidad que es subaditiva pero no submodular, ya que

${\displaystyle u(\{X,Y\})+u(\{Y,Z\})<u(\{X,Y\}\cup \{Y,Z\})+u(\{X,Y\}\cap \{Y,Z\}).}$

La superaditividad significa que para cada par de conjuntos disjuntos${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle u(A\cup B)\geq u(A)+u(B)}$

En otras palabras,${\displaystyle u}$es una función de conjunto superaditiva .

Arrogante${\displaystyle u(\emptyset )}$es no positivo, toda función supermodular es superaditiva. Sin embargo, existen funciones superaditivas no negativas que no son supermodulares. Por ejemplo, supongamos que hay 3 elementos idénticos,${\displaystyle X,Y}$y Z, y la utilidad depende únicamente de su cantidad. La tabla de la derecha describe una función de utilidad que es no negativa y superaditiva pero no supermodular, ya que

${\displaystyle u(\{X,Y\})+u(\{Y,Z\})<u(\{X,Y\}\cup \{Y,Z\})+u(\{X,Y\}\cap \{Y,Z\}).}$

Una función de utilidad con${\displaystyle u(\emptyset )=0}$Se dice que es aditivo si y solo si es a la vez superaditivo y subaditivo.

Con la suposición típica de que${\displaystyle u(\emptyset )=0}$Toda función submodular es subaditiva y toda función supermodular es superaditiva. Sin ninguna suposición sobre la utilidad del conjunto vacío, estas relaciones no se cumplen.

En particular, si una función submodular no es subaditiva, entonces${\displaystyle u(\emptyset )}$debe ser negativo. Por ejemplo, supongamos que hay dos elementos,${\displaystyle X,Y}$, con${\displaystyle u(\emptyset )=-1}$,${\displaystyle u(\{X\})=u(\{Y\})=1}$y${\displaystyle u(\{X,Y\})=3}$Esta función de utilidad es submodular y supermodular y no negativa excepto en el conjunto vacío, pero no es subaditiva, ya que

${\displaystyle u(\{X,Y\})>u(\{X\})+u(\{Y\}).}$

Además, si una función supermodular no es superaditiva, entonces${\displaystyle u(\emptyset )}$debe ser positivo. Supongamos en cambio que${\displaystyle u(\emptyset )=u(\{X\})=u(\{Y\})=u(\{X,Y\})=1}$Esta función de utilidad es no negativa, supermodular y submodular, pero no es superaditiva, ya que

${\displaystyle u(\{X,Y\})<u(\{X\})+u(\{Y\}).}$

La demanda unitaria (DU) significa que el agente solo desea un único bien. Si el agente obtiene dos o más bienes, utiliza el que le proporciona la mayor utilidad y descarta el resto. Formalmente:

• Para una relación de preferencia: para cada conjunto${\displaystyle B}$hay un subconjunto${\displaystyle A\subsetequ B}$con cardinalidad${\displaystyle |A|=1}$, de tal manera que${\displaystyle A\succeq B}$.
• Para una función de utilidad: Para cada conjunto${\displaystyle A}$: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle u(A)=\max _{x\in A}u({x})}$

Una función de demanda unitaria es un caso extremo de una función submodular. Es característica de los bienes que son sustitutos puros. Por ejemplo, si hay una manzana y una pera, y un agente quiere comer una sola fruta, su función de utilidad es de demanda unitaria, como se muestra en la tabla de la derecha.

Sustitutos brutos (SB) significa que los agentes consideran los artículos como bienes sustitutivos o independientes , pero no complementarios . Existen muchas definiciones formales de esta propiedad, todas ellas equivalentes.

• Cada valoración de UD es igual a la de GS, pero lo contrario no es cierto.
• Cada valoración de GS es submodular, pero lo contrario no es cierto.

Consulte la sección Sustituciones brutas (artículos indivisibles) para obtener más detalles.

Por lo tanto, se cumplen las siguientes relaciones entre las clases:

${\displaystyle UD\subsetneq GS\subsetneq Submodular\subsetneq Subaditivo}$

Véase el diagrama de la derecha.

Una función de utilidad describe la felicidad de un individuo. A menudo, necesitamos una función que describa la felicidad de toda una sociedad. Dicha función se denomina función de bienestar social y suele ser una función agregada de dos o más funciones de utilidad. Si las funciones de utilidad individuales son aditivas , entonces se cumple lo siguiente para las funciones agregadas:

• Funciones de utilidad sobre bienes divisibles
• Agente decidido