Secuencia exacta de la cirugía

Un mapa normal de grado uno${\displaystyle (f,b)\colon M\to X}$consta de los siguientes datos: un${\displaystyle n}$-dimensión dimensional cerrada orientada${\displaystyle M}$, un mapa${\displaystyle f}$que es de grado uno (eso significa${\displaystyle f_{*}([M])=[X]}$), y un mapa de paquetes${\displaystyle b\colon TM\oplus \varepsilon ^{k}\to \xi }$del fibrado tangente estable de${\displaystyle M}$a algún paquete${\displaystyle \xi }$encima${\displaystyle X}$Dos de estos mapas son equivalentes si existe un bordismo normal entre ellos (es decir, un bordismo de las fuentes cubiertas por datos de fibrados adecuados). Las clases de equivalencia de mapas normales de grado uno se denominan invariantes normales .

Cuando se definen de esta manera, los invariantes normales${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$son simplemente un conjunto con un punto, con el punto base dado por${\displaystyle (id,id)}$Sin embargo, la construcción de Pontrjagin-Thom da${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$una estructura de un grupo abeliano. De hecho, tenemos una biyección no natural.

${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)\cong [X,G/O]}$

dónde${\displaystyle G/O}$denota la fibra homotópica del mapa${\displaystyle J\colon BO\to BG}$, que es un espacio de bucles infinitos y por lo tanto mapea en él una teoría de cohomología generalizada. Hay identificaciones correspondientes de los invariantes normales con${\displaystyle [X,G/PL]}$cuando se trabaja con PL-manifolds y con${\displaystyle [X,G/TOP]}$al trabajar con variedades topológicas.

El${\displaystyle L}$Los grupos L se definen algebraicamente en términos de formas cuadráticas o de complejos de cadenas con estructura cuadrática. Consulte el artículo principal para obtener más detalles. Aquí solo serán importantes las propiedades de los grupos L que se describen a continuación.

El mapa${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))}$es en primer lugar una aplicación de teoría de conjuntos (lo que significa no necesariamente un homomorfismo) con la siguiente propiedad (cuando${\displaystyle n\geq 5}$:

Un mapa normal de grado uno${\displaystyle (f,b)\colon M\to X}$es normalmente cobordante a una equivalencia homotópica si y solo si la imagen${\displaystyle \theta (f,b)=0}$en${\displaystyle L_{n}(\mathbb {Z} [\pi _ {1}(X)])}$.

Cualquier equivalencia homotópica${\displaystyle f\colon M\to X}$define un mapa normal de grado uno.

Esta flecha describe de hecho una acción del grupo.${\ Displaystyle L_ {n + 1} (\ pi _ {1} (X))}$en el set${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$en lugar de ser simplemente un mapa. La definición se basa en el teorema de realización para los elementos de la${\displaystyle L}$-grupos que se leen de la siguiente manera:

Dejar${\displaystyle M}$frijol${\displaystyle n}$Variedad dimensional con${\displaystyle \pi _{1}(M)\cong \pi _{1}(X)}$y dejar${\displaystyle x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$Entonces existe una aplicación normal de grado uno de variedades con frontera

${\displaystyle (F,B)\colon (W,M,M')\to (M\times I,M\times 0,M\times 1)}$

con las siguientes propiedades:

1. ${\displaystyle \theta (F,B)=x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$
2. ${\displaystyle F_{0}\colon M\to M\times 0}$es un difeomorfismo
3. ${\displaystyle F_{1}\colon M'\to M\times 1}$es una equivalencia homotópica de variedades cerradas

Dejar${\displaystyle f\colon M\to X}$representar un elemento en${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$y dejar${\displaystyle x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$. Entonces${\displaystyle \partial (f,x)}$se define como${\displaystyle f\circ F_{1}\colon M'\to X}$.

Este es un ejemplo en la categoría suave,${\displaystyle n\geq 5}$.

La idea de la secuencia exacta de cirugía está implícitamente presente ya en el artículo original de Kervaire y Milnor sobre los grupos de esferas de homotopía. En la terminología actual tenemos

${\displaystyle {\mathcal {S}}^{DIFF}(S^{n})=\Theta ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}^{DIFF}(S^{n})=\Omega _{n}^{alm}}$el grupo de cobordismo de casi enmarcado${\displaystyle n}$colectores,${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\partial }^{DIFF}(S^{n}\times I)=\Omega _{n+1}^{alm}}$

${\displaystyle L_{n}(1)=\mathbb {Z} ,0,\mathbb {Z} _{2},0}$dónde${\displaystyle n\equiv 0,1,2,3}$mod${\displaystyle 4}$(recuerde el${\displaystyle 4}$-periodicidad de los grupos L )

La secuencia exacta de la cirugía en este caso es una secuencia exacta de grupos abelianos. Además de las identificaciones anteriores, tenemos

${\displaystyle bP^{n+1}=\mathrm {ker} (\eta \colon {\mathcal {S}}^{DIFF}(S^{n})\to {\mathcal {N}}^{DIFF}(S^{n}))=\mathrm {coker} (\theta \colon {\mathcal {N}}_{\partial }^{DIFF}(S^{n}\times I)\to L_{n+1}(1))}$

Debido a que los grupos L de dimensión impar son triviales, se obtienen estas secuencias exactas:

${\displaystyle 0\to \Theta ^{4i}\to \Omega _{4i}^{alm}\to \mathbb {Z} \to bP^{4i}\to 0}$

${\displaystyle 0\to \Theta ^{4i-2}\to \Omega _{4i-2}^{alm}\to \mathbb {Z} /2\to bP^{4i-2}\to 0}$

${\displaystyle 0\to bP^{2j}\to \Theta ^{2j-1}\to \Omega _{2j-1}^{alm}\to 0}$

Los resultados de Kervaire y Milnor se obtienen estudiando el mapa medio en las dos primeras secuencias y relacionando los grupos.${\displaystyle \Omega _{i}^{alm}}$a la teoría de homotopía estable.

La conjetura generalizada de Poincaré en dimensión${\displaystyle n}$puede expresarse como decir que${\displaystyle {\mathcal {S}}^{TOP}(S^{n})=0}$Se ha demostrado para cualquier${\displaystyle n}$por el trabajo de Smale, Freedman y Perelman. De la secuencia exacta de la cirugía para${\displaystyle S^{n}}$para${\displaystyle n\geq 5}$en la categoría topológica vemos que

${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}^{TOP}(S^{n})\to L_{n}(1)}$

es un isomorfismo. (De hecho, esto se puede extender a${\displaystyle n\geq 1}$mediante algunos métodos ad hoc.)

El espacio proyectivo complejo${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$es un${\displaystyle (2n)}$variedad topológica de dimensión con${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {C} P^{n})=1}$. Además se sabe que en el caso${\displaystyle \pi _{1}(X)=1}$en la categoría topológica el mapa de obstrucción quirúrgica${\displaystyle \theta }$es siempre sobreyectiva. Por lo tanto tenemos

${\displaystyle 0\to {\mathcal {S}}^{TOP}(\mathbb {C} P^{n})\to {\mathcal {N}}^{TOP}(\mathbb {C} P^{n})\to L_{2n}(1)\to 0}$

A partir del trabajo de Sullivan se puede calcular

${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mathbb {C} P^{n})\cong \oplus _{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor }\mathbb {Z} \oplus \oplus _{i=1}^{\lfloor (n+1)/2\rfloor }\mathbb {Z} _{2}}$y por lo tanto${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {C} P^{n})\cong \oplus _{i=1}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }\mathbb {Z} \oplus \oplus _{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor }\mathbb {Z} _{2}}$

Una asférica${\displaystyle n}$variedad dimensional${\displaystyle X}$es un${\displaystyle n}$-variedad tal que${\displaystyle \pi _{i}(X)=0}$para${\displaystyle i\geq 2}$Por lo tanto, el único grupo de homotopía no trivial es${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Una forma de enunciar la conjetura de Borel es decir que para tal${\displaystyle X}$tenemos que el grupo Whitehead${\displaystyle Wh(\pi _{1}(X))}$es trivial y eso

${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)=0}$

Esta conjetura se demostró en muchos casos especiales, por ejemplo cuando${\displaystyle \pi _{1}(X)}$es${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$, cuando se trata del grupo fundamental de una variedad de curva negativa o cuando se trata de un grupo hiperbólico de palabras o un grupo CAT(0).

La afirmación equivale a demostrar que el mapa de obstrucción quirúrgica a la derecha del conjunto de estructuras quirúrgicas es inyectivo y el mapa de obstrucción quirúrgica a la izquierda del conjunto de estructuras quirúrgicas es sobreyectivo. La mayoría de las demostraciones de los resultados mencionados se realizan estudiando estos mapas o los mapas de ensamblaje con los que se pueden identificar. Para más detalles, consulte la conjetura de Borel y la conjetura de Farrell-Jones .