Coálgebra

En matemáticas , las coálgebras son estructuras duales (en el sentido categórico de inversión de flechas ) a las álgebras asociativas unitarias . Los axiomas de las álgebras asociativas unitarias pueden formularse en términos de diagramas conmutativos . Al invertir todas las flechas, se obtienen los axiomas de las coálgebras. Toda coálgebra, por dualidad ( de espacio vectorial ) , da lugar a un álgebra, pero no en general a la inversa. En dimensiones finitas , esta dualidad se da en ambas direcciones ( véase más adelante ).

Las coalgebras aparecen de forma natural en diversos contextos (por ejemplo, la teoría de la representación , las álgebras envolventes universales y los esquemas de grupos ).

También existen las F-coalgebras , con importantes aplicaciones en la informática .

Un ejemplo recurrente de coálgebras se da en la teoría de la representación , y en particular, en la teoría de la representación del grupo de rotación . Una tarea fundamental, de utilidad práctica en física, es obtener combinaciones de sistemas con diferentes estados de momento angular y espín . Para ello, se utilizan los coeficientes de Clebsch-Gordan . Dados dos sistemas${\displaystyle A,B}$con momentos angulares${\displaystyle j_{A}}$y${\displaystyle j_{B}}$Una tarea particularmente importante es encontrar el momento angular total.${\displaystyle j_{A}+j_{B}}$dado el estado combinado${\displaystyle |A\rangle \otimes |B\rangle }$Esto lo proporciona el operador de momento angular total , que extrae la cantidad necesaria de cada lado del producto tensorial. Se puede escribir como un producto tensorial "externo".

${\displaystyle \mathbf {J} \equiv \mathbf {j} \otimes 1+1\otimes \mathbf {j} .}$

Aquí aparece la palabra "externo", en contraste con el producto tensorial "interno" de un álgebra tensorial . Un álgebra tensorial incluye un producto tensorial (el interno); también puede incluir un segundo producto tensorial, el "externo", o coproducto , con la forma anterior. Que se trate de dos productos diferentes se enfatiza al recordar que el producto tensorial interno de un vector y un escalar es simplemente una multiplicación escalar. El producto externo los mantiene separados. En este contexto, el coproducto es la aplicación

${\displaystyle \Delta :J\to J\otimes J}$

eso toma

${\displaystyle \Delta$ :\mathbf {j} \mapsto \mathbf {j} \otimes 1+1\otimes \mathbf {j} .}

Para este ejemplo,${\displaystyle J}$puede considerarse una de las representaciones de espín del grupo de rotación, siendo la representación fundamental la elección de sentido común. Este coproducto puede extenderse a toda el álgebra tensorial mediante un lema sencillo que se aplica a objetos libres : el álgebra tensorial es un álgebra libre ; por lo tanto, cualquier homomorfismo definido en un subconjunto puede extenderse a toda el álgebra. Al examinar la extensión en detalle, se observa que el coproducto se comporta como el producto de permutación , esencialmente debido a los dos factores anteriores, el izquierdo y el derecho.${\displaystyle \mathbf {j} }$deben mantenerse en orden secuencial durante los productos de múltiples momentos angulares (las rotaciones no son conmutativas).

La peculiar forma de tener el${\displaystyle \mathbf {j} }$aparecen solo una vez en el coproducto, en lugar de (por ejemplo) definir${\displaystyle \mathbf {j} \mapsto \mathbf {j} \otimes \mathbf {j} }$Para mantener la linealidad, en este ejemplo (y en la teoría de la representación en general), el coproducto debe ser lineal. Como regla general, el coproducto en la teoría de la representación es reducible; los factores vienen dados por la regla de Littlewood-Richardson . (La regla de Littlewood-Richardson transmite la misma idea que los coeficientes de Clebsch-Gordan, pero en un contexto más general).

La definición formal de la coálgebra, que se presenta a continuación, abstrae este caso especial en particular, y sus propiedades requeridas, en un contexto general.

Formalmente, una coálgebra sobre un cuerpo K es un espacio vectorial C sobre K junto con K aplicaciones lineales Δ: C → C ⊗ C y ε: C → K tales que

1. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$
2. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \varepsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{C}=(\varepsilon \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$.

(Aquí ⊗ se refiere al producto tensorial sobre K e id es la función identidad ).

De forma equivalente, los dos diagramas siguientes conmutan :

En el primer diagrama, C ⊗ ( C ⊗ C ) se identifica con ( C ⊗ C ) ⊗ C ; ambos son isomorfos naturales . ^{[ 1 ]} De manera similar, en el segundo diagrama se identifican los espacios isomorfos naturales C , C ⊗ K y K ⊗ C. ^{[ 2 ]}

El primer diagrama es el dual del que expresa la asociatividad de la multiplicación algebraica (llamada coasociatividad de la comultiplicación); el segundo diagrama es el dual del que expresa la existencia de una identidad multiplicativa . En consecuencia, la aplicación Δ se llama comultiplicación (o coproducto ) de C y ε es lacounidad deC.​

Tomemos un conjunto arbitrario S y formemos el espacio vectorial sobre K , C = K ^{( S )} , con base S , como sigue. Los elementos de este espacio vectorial C son aquellas funciones de S a K que asignan a cero todos los elementos de S excepto un número finito de ellos ; identifiquemos el elemento s de S con la función que asigna a 1 a s y a 0 a todos los demás elementos de S. Definamos

Δ( s ) = s ⊗ s y ε( s ) = 1 para todo s en S .

Por linealidad, tanto Δ como ε pueden extenderse de forma única a todo C. El espacio vectorial C se convierte en una coálgebra con comultiplicación Δ y counidad ε.

Como segundo ejemplo, consideremos el anillo de polinomios K [ X ] en una indeterminada X . Este se convierte en una coálgebra (la coálgebra de potencia dividida ^{[ 3 ] [ 4 ]} ) si para todo n ≥ 0 se define:

${\displaystyle \Delta (X^{n})=\sum _ {k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}X^{k}\otimes X^{nk},}$

${\displaystyle \varepsilon (X^{n})={\begin{cases}1&{\mbox{si }}n=0\\0&{\mbox{si }}n>0.\end{cases}}}$

Nuevamente, debido a la linealidad, esto basta para definir Δ y ε de forma única en todo K [ X ]. Ahora bien, K [ X ] es a la vez un álgebra asociativa unitaria y una coálgebra, y ambas estructuras son compatibles. Los objetos de este tipo se denominan bialgebras , y de hecho, la mayoría de las coálgebras importantes que se consideran en la práctica son bialgebras.

Ejemplos de coálgebras incluyen el álgebra tensorial , el álgebra exterior , las álgebras de Hopf y las bialgebras de Lie . A diferencia del caso polinomial anterior, ninguna de ellas es conmutativa. Por lo tanto, el coproducto se convierte en el producto de permutación , en lugar de la estructura de potencia dividida mencionada anteriormente. El producto de permutación es apropiado porque conserva el orden de los términos que aparecen en el producto, como se requiere en las álgebras no conmutativas.

La homología singular de un espacio topológico forma una coálgebra graduada siempre que se cumpla el isomorfismo de Künneth , por ejemplo, si los coeficientes se toman como un cuerpo. ^{[ 5 ]}

Si C es el espacio vectorial K con base { s , c }, considere que Δ: C → C ⊗ C está dado por

Δ( s ) = s ⊗ c + c ⊗ s

Δ( c ) = c ⊗ c − s ⊗ s

y ε: C → K viene dado por

ε( s ) = 0

ε( c ) = 1.

En esta situación, ( C , Δ, ε) es una coálgebra conocida como coálgebra trigonométrica . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Para un poset localmente finito P con conjunto de intervalos J , definimos la coálgebra de incidencia C con J como base. La comultiplicación y la counidad se definen como

${\displaystyle \Delta [x,z]=\sum _{y\in [x,z]}[x,y]\otimes [y,z]{\text{ para }}x\leq z\ .}$

${\displaystyle \varepsilon [x,y]={\begin{cases}1&{\text{if }}x=y,\\0&{\text{if }}x\neq y.\end{cases}}}$

Los intervalos de longitud cero corresponden a puntos de P y son elementos de tipo grupo. ^{[ 8 ]}

En dimensiones finitas, la dualidad entre álgebras y coalgebras es más estrecha: el dual de un álgebra (asociativa unitaria) de dimensión finita es una coalgebra, mientras que el dual de una coalgebra de dimensión finita es un álgebra (asociativa unitaria). En general, el dual de un álgebra puede no ser una coalgebra.

El punto clave es que en dimensiones finitas, ( A ⊗ A ) ^∗ y A ^∗ ⊗ A ^∗ son isomorfos.

Para distinguirlas: en general, el álgebra y la coálgebra son nociones duales (lo que significa que sus axiomas son duales: invierta las flechas), mientras que para dimensiones finitas, también son objetos duales (lo que significa que una coálgebra es el objeto dual de un álgebra y viceversa).

Si A es un álgebra asociativa unitaria de dimensión finita sobre K , entonces su dual sobre K , A ^∗, que consiste en todas las aplicaciones lineales sobre K de A a K , es una coálgebra. La multiplicación de A puede verse como una aplicación lineal A ⊗ A → A , que al dualizarse produce una aplicación lineal A ^∗ → ( A ⊗ A ) ^∗ . En el caso de dimensión finita, ( A ⊗ A ) ^∗ es naturalmente isomorfo a A ^∗ ⊗ A ^∗ , por lo que esto define una comultiplicación sobre A ^∗ . La counidad de A ^∗ viene dada por la evaluación de funcionales lineales en 1.

Al trabajar con coálgebras, una notación específica para la comultiplicación simplifica considerablemente las fórmulas y se ha vuelto bastante popular. Dado un elemento c de la coálgebra ( C , Δ, ε), existen elementos c ^{( i )} ₍₁₎ y c ^{( i )} ₍₂₎ en C tales que

${\displaystyle \Delta (c)=\sum _{i}c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}.}$

Tenga en cuenta que ni el número de términos en esta suma, ni los valores exactos de cada uno${\displaystyle c_{(1)}^{(i)}}$o${\displaystyle c_{(2)}^{(i)}}$, están determinados de forma única por${\displaystyle c}$; solo hay una promesa de que hay un número finito de términos, y que la suma total de todos estos términos${\displaystyle c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}}$tener el valor correcto${\displaystyle \Delta (c)}$.

En la notación de Sweedler , ^{[ 9 ]} (llamada así en honor a Moss Sweedler ), esto se abrevia a

${\displaystyle \Delta (c)=\sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}.}$

El hecho de que ε sea una counidad se puede expresar entonces con la siguiente fórmula.

${\displaystyle c=\sum _{(c)}\varepsilon (c_{(1)})c_{(2)}=\sum _{(c)}c_{(1)}\varepsilon (c_{(2)}).\;}$

Aquí se entiende que las sumas tienen el mismo número de términos y las mismas listas de valores para${\displaystyle c_{(1)}}$y${\displaystyle c_{(2)}}$, como en la suma anterior para${\displaystyle \Delta (c)}$.

La coasociatividad de Δ puede expresarse como

${\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes \left(\sum _{(c_{(2)})}(c_{(2)})_{(1)}\otimes (c_{(2)})_{(2)}\right)=\sum _{(c)}\left(\sum _{(c_{(1)})}(c_{(1)})_{(1)}\otimes (c_{(1)})_{(2)}\right)\otimes c_{(2)}.}$

En la notación de Sweedler, ambas expresiones se escriben como

${\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}.}$

Algunos autores también omiten los símbolos de sumatoria; en esta notación de Sweedler sin sumatoria, se escribe:

${\displaystyle \Delta (c)=c_{(1)}\otimes c_{(2)}}$

y

${\displaystyle c=\varepsilon (c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}\varepsilon (c_{(2)}).\;}$

Siempre que se encuentre una variable con índice reducido y entre paréntesis en una expresión de este tipo, se sobreentiende que dicha variable contiene un símbolo de sumatoria.

Una coálgebra ( C , Δ, ε ) se llama co-conmutativa si${\displaystyle \sigma \circ \Delta =\Delta }$donde σ: C ⊗ C → C ⊗ C es la aplicación K -lineal definida por σ ( c ⊗ d ) = d ⊗ c para todo c , d en C . En la notación sin suma de Sweedler, C es co-conmutativa si y solo si

${\displaystyle c_{(1)}\otimes c_{(2)}=c_{(2)}\otimes c_{(1)}}$

para todo c en C. (Es importante entender que la suma implícita es significativa aquí: no se requiere que todos los sumandos sean iguales por pares, solo que las sumas sean iguales, un requisito mucho menos estricto).

Un elemento de tipo grupo (o elemento de tipo conjunto ) es un elemento x tal que Δ( x ) = x ⊗ x y ε ( x ) = 1 . Contrariamente a lo que sugiere esta convención de nomenclatura, los elementos de tipo grupo no siempre forman un grupo y, en general, solo forman un conjunto. Los elementos de tipo grupo de un álgebra de Hopf sí forman un grupo. Un elemento primitivo es un elemento x que satisface Δ( x ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x . Los elementos primitivos de un álgebra de Hopf forman un álgebra de Lie . ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Si ( C ₁ , Δ ₁ , ε ₁ ) y ( C ₂ , Δ ₂ , ε ₂ ) son dos coalgebras sobre el mismo cuerpo K , entonces un morfismo de coalgebra de C ₁ a C ₂ es una aplicación K -lineal f  : C ₁ → C ₂ tal que${\displaystyle (f\otimes f)\circ \Delta _{1}=\Delta _{2}\circ f}$y${\displaystyle \varepsilon _{2}\circ f=\varepsilon _{1}}$En la notación sin suma de Sweedler, la primera de estas propiedades se puede escribir como:

${\displaystyle f(c_{(1)})\otimes f(c_{(2)})=f(c)_{(1)}\otimes f(c)_{(2)}.}$

La composición de dos morfismos de coalgebra es de nuevo un morfismo de coalgebra, y las coalgebras sobre K junto con esta noción de morfismo forman una categoría .

Un subespacio lineal I en C se denomina coideal si I ⊆ ker( ε ) y Δ( I ) ⊆ I ⊗ C + C ⊗ I . En ese caso, el espacio cociente C / I se convierte en una coálgebra de forma natural.

Un subespacio D de C se llama subcoalgebra si Δ( D ) ⊆ D ⊗ D ; en ese caso, D es en sí mismo una coalgebra, con la restricción de ε a D como counidad.

El núcleo de cada morfismo de coálgebra f  : C ₁ → C ₂ es un coideal en C ₁ , y la imagen es una subcoálgebra de C _{2 . Los} teoremas de isomorfismo comunes son válidos para las coálgebras, por lo que, por ejemplo, C ₁ /ker( f ) es isomorfo a im( f ).

Si A es un álgebra K asociativa unitaria de dimensión finita , entonces A ^∗ es una coalgebra de dimensión finita, y de hecho toda coalgebra de dimensión finita surge de esta manera a partir de alguna álgebra de dimensión finita (es decir, de la K -dual de la coalgebra). Bajo esta correspondencia, las álgebras conmutativas de dimensión finita corresponden a las coalgebras cocommutativas de dimensión finita. Así, en el caso de dimensión finita, las teorías de álgebras y de coalgebras son duales; estudiar una equivale a estudiar la otra. Sin embargo, las relaciones divergen en el caso de dimensión infinita: mientras que la K -dual de toda coalgebra es un álgebra, la K -dual de un álgebra de dimensión infinita no tiene por qué ser una coalgebra.

Cada coálgebra es la suma de sus subcoálgebras de dimensión finita, algo que no ocurre con las álgebras. En abstracto, las coálgebras son generalizaciones, o duales, de álgebras asociativas unitarias de dimensión finita.

El concepto de representación para álgebras se corresponde con una correpresentación o comodulo .

• Cofree coalgebra
• Medición de la álgebra
• Dialgebra

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• Capítulo III, sección 11 en Bourbaki, Nicolas (1989). Álgebra . Springer-Verlag . ISBN 0-387-19373-1.

• William Chin: Una breve introducción a la teoría de la representación de Coalgebra.