Simetría (física)

La simetría de un sistema físico es una característica física o matemática del sistema (observada o intrínseca) que se conserva o permanece inalterada bajo alguna transformación .

Una familia de transformaciones particulares puede ser continua (como la rotación de un círculo) o discreta (por ejemplo, la reflexión de una figura con simetría bilateral o la rotación de un polígono regular). Las transformaciones continuas y discretas dan lugar a tipos de simetrías correspondientes. Las simetrías continuas se pueden describir mediante grupos de Lie, mientras que las simetrías discretas se describen mediante grupos finitos (véase Grupo de simetría ).

Estos dos conceptos, Lie y grupos finitos, constituyen la base de las teorías fundamentales de la física moderna. Las simetrías suelen ser susceptibles de formulaciones matemáticas, como las representaciones de grupos , y, además, pueden utilizarse para simplificar muchos problemas .

Podría decirse que el ejemplo más importante de simetría en física es que la velocidad de la luz tiene el mismo valor en todos los sistemas de referencia , lo cual se describe en la relatividad especial mediante un grupo de transformaciones del espaciotiempo conocido como el grupo de Poincaré . Otro ejemplo importante es la invariancia de la forma de las leyes físicas bajo transformaciones de coordenadas diferenciables arbitrarias, una idea fundamental en la relatividad general .

Como una especie de invariancia

La invariancia se especifica matemáticamente mediante transformaciones que dejan inalterada alguna propiedad (por ejemplo, una magnitud). Esta idea se puede aplicar a observaciones básicas del mundo real. Por ejemplo, la temperatura puede ser homogénea en toda una habitación. Dado que la temperatura no depende de la posición del observador dentro de la habitación, decimos que la temperatura es invariante ante un cambio en la posición del observador dentro de la habitación.

De manera similar, una esfera uniforme que gira sobre su centro se verá exactamente igual que antes de la rotación. Se dice que la esfera presenta simetría esférica . Una rotación sobre cualquier eje de la esfera conservará la forma de su superficie desde cualquier punto de vista.

Invariancia en la fuerza

Las ideas anteriores conducen al concepto útil de invariancia al hablar de simetría física observada; esto también se puede aplicar a las simetrías en las fuerzas.

Por ejemplo, se dice que un campo eléctrico generado por un hilo conductor cargado eléctricamente de longitud infinita presenta simetría cilíndrica , ya que la intensidad del campo eléctrico a una distancia r del hilo será la misma en cada punto de la superficie de un cilindro (cuyo eje es el hilo) de radio r . Al girar el hilo sobre su propio eje, su posición y densidad de carga no cambian, por lo que el campo se mantiene constante. La intensidad del campo en la posición girada es la misma. Esto no se cumple en general para un sistema de cargas arbitrario.

_{En la} teoría de la mecánica de Newton, dados dos cuerpos, cada uno con masa m , que parten del origen y se mueven a lo largo del eje x en direcciones opuestas, uno con velocidad v₁ y el otro con velocidad v₂, la energía cinética total del sistema (calculada desde un observador en el origen) es 1/2 m ⁽v₁²₊ v₂² ) y permanece constante si _seintercambian las velocidades . La energía cinética total se conserva ^bajo una reflexión respecto _aleje y .

El último ejemplo ilustra otra forma de expresar simetrías, concretamente mediante las ecuaciones que describen algún aspecto del sistema físico. El ejemplo anterior muestra que la energía cinética total será la misma si se intercambian v₁ y _v₂_.

Local y global

Las simetrías pueden clasificarse, a grandes rasgos, en globales o locales . Una simetría global mantiene una propiedad invariante ante una transformación aplicada simultáneamente en todos los puntos del espaciotiempo , mientras que una simetría local mantiene una propiedad invariante cuando se aplica una transformación de simetría posiblemente diferente en cada punto del espaciotiempo ; específicamente, una transformación de simetría local está parametrizada por las coordenadas del espaciotiempo, mientras que una simetría global no lo está. Esto implica que una simetría global es también una simetría local. Las simetrías locales desempeñan un papel importante en física, ya que constituyen la base de las teorías de gauge .

Continuo

Los dos ejemplos de simetría rotacional descritos anteriormente —esférica y cilíndrica— son casos de simetría continua . Estas se caracterizan por la invariancia ante un cambio continuo en la geometría del sistema. Por ejemplo, el alambre puede girarse cualquier ángulo alrededor de su eje y la intensidad del campo será la misma en un cilindro dado. Matemáticamente, las simetrías continuas se describen mediante transformaciones que cambian continuamente en función de su parametrización. Una subclase importante de simetrías continuas en física son las simetrías espaciotemporales.

Espaciotiempo

Las simetrías espaciotemporales continuas son simetrías que implican transformaciones del espacio y el tiempo . Estas pueden clasificarse además en simetrías espaciales , que involucran únicamente la geometría espacial asociada a un sistema físico; simetrías temporales , que involucran únicamente cambios en el tiempo; o simetrías espaciotemporales , que involucran cambios tanto en el espacio como en el tiempo.

Traslación temporal : Un sistema físico puede presentar las mismas características durante un intervalo de tiempo Δt ; esto se expresa matemáticamente como invariancia bajo la transformación t → t + a para cualesquieraparámetros reales t y t + a en dicho intervalo. Por ejemplo, en mecánica clásica, una partícula sometida únicamente a la gravedad tendrá una energía potencial gravitatoria mgh cuando se encuentra suspendida a una altura h sobre la superficie terrestre. Suponiendo que la altura de la partícula no varía, esta será la energía potencial gravitatoria total de la partícula en todo momento. En otras palabras, al considerar el estado de la partícula en un instante t₀ y también en t₀ ₊a , se conservará la energía potencial gravitatoria total de la_partícula.
Traslación espacial : Estas simetrías espaciales se representan mediante transformaciones de la forma r → → r → + a → y describen aquellas situaciones en las que una propiedad del sistema no cambia con un cambio continuo de ubicación. Por ejemplo, la temperatura en una habitación puede ser independiente de la ubicación del termómetro en la misma.
Rotación espacial : Estas simetrías espaciales se clasifican en rotaciones propias e impropias . Las primeras son simplemente las rotaciones "ordinarias"; matemáticamente, se representan mediante matrices cuadradas con determinante unitario . Las segundas se representan mediante matrices cuadradas con determinante -1 y consisten en una rotación propia combinada con una reflexión espacial ( inversión ). Por ejemplo, una esfera tiene simetría rotacional propia. Otros tipos de rotaciones espaciales se describen en el artículo Simetría de rotación .
Transformaciones de Poincaré : Son simetrías espaciotemporales que preservan las distancias en el espaciotiempo de Minkowski ; es decir, son isometrías del espacio de Minkowski. Se estudian principalmente en la relatividad especial . Aquellas isometrías que mantienen el origen fijo se denominan transformaciones de Lorentz y dan lugar a la simetría conocida como covarianza de Lorentz .
Simetrías proyectivas : Son simetrías espaciotemporales que preservan la estructura geodésica del espaciotiempo . Pueden definirse en cualquier variedad diferenciable, pero encuentran numerosas aplicaciones en el estudio de soluciones exactas en la relatividad general .
Transformaciones de inversión : Se trata de simetrías espaciotemporales que generalizan las transformaciones de Poincaré para incluir otras transformaciones conformes biyectivas en las coordenadas espaciotemporales. Las longitudes no son invariantes bajo transformaciones de inversión , pero existe una razón antagónica en cuatro puntos que sí lo es.

Matemáticamente, las simetrías del espaciotiempo se describen generalmente mediante campos vectoriales suaves en una variedad diferenciable . Los difeomorfismos locales subyacentes asociados a los campos vectoriales se corresponden más directamente con las simetrías físicas, pero los propios campos vectoriales se utilizan con mayor frecuencia para clasificar las simetrías del sistema físico.

Algunos de los campos vectoriales más importantes son los campos vectoriales de Killing, que son aquellas simetrías espaciotemporales que preservan la estructura métrica subyacente de una variedad. En términos generales, los campos vectoriales de Killing preservan la distancia entre dos puntos cualesquiera de la variedad y a menudo se les denomina isometrías .

Discreto

Una simetría discreta es aquella que describe cambios no continuos en un sistema. Por ejemplo, un cuadrado posee simetría rotacional discreta, ya que solo las rotaciones que sean múltiplos de ángulos rectos conservarán su apariencia original. Las simetrías discretas a veces implican algún tipo de intercambio, que generalmente se denomina reflexiones o permutaciones .

Inversión del tiempo : Muchas leyes de la física describen fenómenos reales cuando se invierte la dirección del tiempo. Matemáticamente, esto se representa mediante la transformación, $t\,\rightarrow -t$ . Por ejemplo, la segunda ley del movimiento de Newton sigue siendo válida si, en la ecuación $F\,=m{\ddot {r}}$ , $t$ es reemplazado por $-t$ Esto se puede ilustrar grabando el movimiento de un objeto lanzado verticalmente (sin tener en cuenta la resistencia del aire) y reproduciéndolo. El objeto seguirá la misma trayectoria parabólica en el aire, tanto si la grabación se reproduce normalmente como en sentido inverso. Por lo tanto, la posición es simétrica con respecto al instante en que el objeto alcanza su altura máxima.
Inversión espacial : Estas se representan mediante transformaciones de la forma ${\vec {r}}\,\rightarrow -{\vec {r}}$ e indican una propiedad de invariancia de un sistema cuando las coordenadas se "invierten". Dicho de otro modo, se trata de simetrías entre un objeto determinado y su imagen especular .
Reflexión de deslizamiento : Estas se representan mediante la composición de una traslación y una reflexión. Estas simetrías aparecen en algunos cristales y en algunas simetrías planares, conocidas como simetrías de papel tapiz .

C, P y T

El Modelo Estándar de la física de partículas posee tres simetrías naturales cercanas. Estas establecen que el universo en el que vivimos debería ser indistinguible de uno en el que se introdujera cierto tipo de cambio.

Simetría C (simetría de carga), un universo donde cada partícula es reemplazada por su antipartícula .
La simetría P (simetría de paridad) describe un universo donde todo se refleja a lo largo de los tres ejes físicos. Esto excluye las interacciones débiles, como demostró Chien-Shiung Wu .

La simetría T (simetría de inversión temporal) describe un universo donde la dirección del tiempo se invierte. Esta simetría resulta contraintuitiva (el futuro y el pasado no son simétricos), pero se explica por el hecho de que el Modelo Estándar describe propiedades locales, no globales como la entropía . Para invertir correctamente la dirección del tiempo, habría que situar el Big Bang y el estado de baja entropía resultante en el futuro. Dado que percibimos el pasado como de menor (mayor) entropía que el presente, los habitantes de este hipotético universo con el tiempo invertido percibirían el futuro del mismo modo que nosotros percibimos el pasado, y viceversa.

Estas simetrías son casi simetrías porque cada una se rompe en el universo actual. Sin embargo, el Modelo Estándar predice que la combinación de las tres (es decir, la aplicación simultánea de las tres transformaciones) debe ser una simetría, denominada simetría CPT . La violación de CP , es decir, la violación de la combinación de las simetrías C y P, es necesaria para la presencia de cantidades significativas de materia bariónica en el universo. La violación de CP es un área fructífera de investigación actual en física de partículas .

Supersimetría

Se ha utilizado un tipo de simetría conocida como supersimetría para intentar realizar avances teóricos en el Modelo Estándar. La supersimetría se basa en la idea de que existe otra simetría física más allá de las ya desarrolladas en el Modelo Estándar, específicamente una simetría entre bosones y fermiones . La supersimetría afirma que cada tipo de bosón tiene, como compañero supersimétrico, un fermión, llamado supercompañero, y viceversa. La supersimetría aún no se ha verificado experimentalmente: ninguna partícula conocida posee las propiedades adecuadas para ser supercompañera de ninguna otra partícula conocida. Actualmente, el LHC se está preparando para una ejecución que pondrá a prueba la supersimetría.

Simetrías generalizadas

Las simetrías generalizadas abarcan una serie de generalizaciones recientemente reconocidas del concepto de simetría global. Estas incluyen simetrías de forma superior, simetrías de grupo superior, simetrías no invertibles y simetrías de subsistemas. ^{[ 1 ]}

Matemáticas de la simetría física

Las transformaciones que describen las simetrías físicas suelen formar un grupo matemático . La teoría de grupos es un área importante de las matemáticas para los físicos.

Las simetrías continuas se especifican matemáticamente mediante grupos continuos (llamados grupos de Lie ). Muchas simetrías físicas son isometrías y se especifican mediante grupos de simetría. A veces, este término se utiliza para tipos de simetría más generales. El conjunto de todas las rotaciones propias (alrededor de cualquier ángulo) a través de cualquier eje de una esfera forma un grupo de Lie llamado grupo ortogonal especial SO(3). (El '3' se refiere al espacio tridimensional de una esfera ordinaria). Por lo tanto, el grupo de simetría de la esfera con rotaciones propias es SO(3). Cualquier rotación conserva las distancias en la superficie de la esfera. El conjunto de todas las transformaciones de Lorentz forma un grupo llamado grupo de Lorentz (que puede generalizarse al grupo de Poincaré ).

Los grupos discretos describen simetrías discretas. Por ejemplo, las simetrías de un triángulo equilátero se caracterizan por el grupo simétrico S ₃ .

Un tipo de teoría física basada en simetrías locales se denomina teoría de gauge , y las simetrías inherentes a dicha teoría se conocen como simetrías de gauge . Las simetrías de gauge en el Modelo Estándar , utilizadas para describir tres de las interacciones fundamentales , se basan en el grupo SU(3) × SU(2) × U(1) . (En términos generales, las simetrías del grupo SU(3) describen la fuerza fuerte , el grupo SU(2) describe la interacción débil y el grupo U(1) describe la fuerza electromagnética ).

Además, la reducción por simetría del funcional de energía bajo la acción de un grupo y la ruptura espontánea de simetría de las transformaciones de grupos simétricos parecen dilucidar temas en física de partículas (por ejemplo, la unificación del electromagnetismo y la fuerza débil en cosmología física ).

Leyes de conservación y simetría

Las propiedades de simetría de un sistema físico están íntimamente relacionadas con las leyes de conservación que lo caracterizan. El teorema de Noether describe con precisión esta relación. El teorema establece que cada simetría continua de un sistema físico implica que alguna propiedad física de ese sistema se conserva. A la inversa, cada magnitud conservada tiene una simetría correspondiente. Por ejemplo, la simetría de traslación espacial (es decir, la homogeneidad del espacio) da lugar a la conservación del momento lineal , y la simetría de traslación temporal (es decir, la homogeneidad del tiempo) da lugar a la conservación de la energía .

La siguiente tabla resume algunas simetrías fundamentales y la cantidad conservada asociada.

Matemáticas

Las simetrías continuas en física preservan las transformaciones. Se puede especificar una simetría mostrando cómo una transformación muy pequeña afecta a diversos campos de partículas . El conmutador de dos de estas transformaciones infinitesimales es equivalente a una tercera transformación infinitesimal del mismo tipo; por lo tanto, forman un álgebra de Lie .

Una transformación de coordenadas general descrita como el campo general $h(x)$ (también conocido como difeomorfismo ) tiene un efecto infinitesimal sobre un escalar $\phi (x)$ , espino $\psi (x)$ o campo vectorial $A(x)$ que se puede expresar (utilizando la convención de suma de Einstein ):

\delta \phi (x)=h^{\mu }(x)\partial _ {\mu }\phi (x)

\delta \psi ^{\alpha }(x)=h^{\mu }(x)\partial _{\mu }\psi ^{\alpha }(x)+\partial _{\mu }h_{\nu }(x)\sigma _{\mu \nu }^{\alpha \beta }\psi ^{\beta }(x)

\delta A_{\mu }(x)=h^{\nu }(x)\partial _{\nu }A_{\mu }(x)+A_{\nu }(x)\partial _{\mu }h^{\nu }(x)

Sin gravedad, solo se conservan las simetrías de Poincaré, lo que restringe $h(x)$ tener la forma:

h^{\mu }(x)=M^{\mu \nu }x_{\nu }+P^{\mu }

donde M es una matriz antisimétrica (que proporciona las simetrías de Lorentz y rotacional) y P es un vector general (que proporciona las simetrías traslacionales). Otras simetrías afectan a múltiples campos simultáneamente. Por ejemplo, las transformaciones de gauge locales se aplican tanto a un campo vectorial como a un campo espinorial:

\delta \psi ^{\alpha }(x)=\lambda (x).\tau ^{\alpha \beta }\psi ^{\beta }(x)

\delta A_{\mu }(x)=\partial _{\mu }\lambda (x),

dónde $\tau$ son generadores de un grupo de Lie particular . Hasta ahora, las transformaciones de la derecha solo han incluido campos del mismo tipo. Las supersimetrías se definen según cómo se mezclan campos de diferentes tipos.

Otra simetría que forma parte de algunas teorías de la física y no de otras es la invariancia de escala, que implica transformaciones de Weyl del siguiente tipo:

\delta \phi (x)=\Omega (x)\phi (x)

Si los campos poseen esta simetría, entonces se puede demostrar que la teoría de campos es casi con certeza también conformemente invariante. Esto significa que, en ausencia de gravedad, h(x) se restringiría a la forma:

h^{\mu }(x)=M^{\mu \nu }x_{\nu }+P^{\mu }+Dx_{\mu }+K^{\mu }|x|^{2}-2K^{\nu }x_{\nu }x_{\mu },

donde D genera transformaciones de escala y K genera transformaciones conformes especiales. Por ejemplo, la teoría supersimétrica de Yang-Mills N = 4 posee esta simetría, mientras que la relatividad general no, aunque otras teorías de la gravedad, como la gravedad conforme, sí la tienen. La «acción» de una teoría de campos es un invariante bajo todas las simetrías de la teoría. Gran parte de la física teórica moderna se centra en especular sobre las diversas simetrías que puede tener el Universo y en encontrar los invariantes para construir teorías de campos como modelos.

En las teorías de cuerdas, dado que una cuerda puede descomponerse en un número infinito de campos de partículas, las simetrías en la hoja de mundo de la cuerda son equivalentes a transformaciones especiales que mezclan un número infinito de campos.

Véase también

Referencias

↑ Cordova, Clay; Dumitrescu, Thomas; Intriligator, Kenneth; Shao, Shu-Heng (2022). "Snowmass White Paper: Generalized Symmetries in Quantum Field Theory and Beyond". arXiv : 2205.09545 [ hep-th ].

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Lectores técnicos

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Enlaces externos

Las Lecciones de Física de Feynman, Vol. I, Cap. 52: Simetría en las leyes físicas
Enciclopedia de Filosofía de Stanford : " Simetría " —por K. Brading y E. Castellani.
Recursos pedagógicos para la teoría cuántica de campos. Haga clic en el enlace al Capítulo 6: Simetría, invariancia y conservación para obtener una introducción simplificada y paso a paso a la simetría en física.

[snowmass-1] Cordova, Clay; Dumitrescu, Thomas; Intriligator, Kenneth; Shao, Shu-Heng (2022). "Snowmass White Paper: Generalized Symmetries in Quantum Field Theory and Beyond". arXiv : 2205.09545 [ hep-th ].

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