Espacio vectorial simpléctico

En matemáticas , un espacio vectorial simpléctico es un espacio vectorial${\displaystyle V}$sobre un campo${\displaystyle F}$(por ejemplo, los números reales)${\displaystyle \mathbb {R} }$) equipado con una forma bilineal simpléctica .

Una forma bilineal simpléctica es una aplicación${\displaystyle \omega :V\times V\to F}$eso es

Bilineal

Lineal en cada argumento por separado;

Alterno

${\displaystyle \omega (v,v)=0}$se aplica a todos${\displaystyle v\in V}$; y

No degenerado

${\displaystyle \omega (v,u)=0}$a pesar de${\displaystyle v\in V}$implica que${\displaystyle u=0}$.

Si el campo subyacente tiene característica distinta de 2, la alternancia es equivalente a la antisimetría . Si la característica es 2, la antisimetría está implícita en la alternancia, pero no implica la alternancia. En este caso, toda forma simpléctica es una forma simétrica , pero no a la inversa.

Trabajando de forma fija ,${\displaystyle \omega }$puede representarse mediante una matriz . Las condiciones anteriores son equivalentes a que esta matriz sea antisimétrica , no singular y hueca (todas las entradas diagonales son cero). Esto no debe confundirse con una matriz simpléctica , que representa una transformación simpléctica del espacio. Si${\displaystyle V}$Si es de dimensión finita , entonces su dimensión debe ser necesariamente par, ya que toda matriz hueca antisimétrica de tamaño impar tiene determinante cero. Nótese que la condición de que la matriz sea hueca es redundante a menos que la característica del cuerpo sea 2. Una forma simpléctica se comporta de manera muy diferente a una forma simétrica como el producto escalar en espacios vectoriales euclidianos.

El espacio simpléctico estándar es${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$con la forma simpléctica dada por una matriz antisimétrica no singular . Típicamente${\displaystyle \omega }$se elige como matriz de bloques

$${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}}$$

dónde${\displaystyle I_{n}}$es el${\displaystyle n\times n}$matriz identidad . En términos de vectores base${\displaystyle (x_{1},\cdots ,x_{n},y_{1},\cdots ,y_{n})}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (x_{i},y_{j})=-\omega (y_{j},x_{i})&=\delta _{ij},\\\omega (x_{i},x_{j})=\omega (y_{i},y_{j})&=0.\end{aligned}}}$$

Una versión modificada del proceso de Gram-Schmidt muestra que cualquier espacio vectorial simpléctico de dimensión finita tiene una base tal que${\displaystyle \omega }$adopta esta forma, a menudo llamada base de Darboux o base simpléctica .

Esquema del proceso:

Comencemos con una base arbitraria.${\displaystyle v_{1},...,v_{n}}$y representamos el dual de cada vector base mediante la base dual :${\displaystyle \omega (v_{i},\cdot )=\sum _{j}\omega (v_{i},v_{j})v_{j}^{*}}$Esto nos da un${\displaystyle n\times n}$matriz con entradas${\ Displaystyle \ omega (v_ {i}, v_ {j})}$. Resuelva para su espacio nulo. Ahora para cualquier${\displaystyle (\lambda _{1},...,\lambda _{n})}$en el espacio nulo, tenemos${\displaystyle \sum _{i}\omega (v_{i},\cdot )=0}$, por lo que el espacio nulo nos da el subespacio degenerado${\displaystyle V_{0}}$.

Ahora elige arbitrariamente un complemento${\displaystyle W}$de tal manera que${\displaystyle V=V_{0}\oplus W}$y dejar${\displaystyle w_{1},...,w_{m}}$ser una base de${\displaystyle W}$. Desde${\displaystyle \omega (w_{1},\cdot )\neq 0}$, y${\displaystyle \omega (w_{1},w_{1})=0}$, WLOG${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})\neq 0}$Ahora escala.${\displaystyle w_{2}}$de modo que${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})=1}$. Luego define${\displaystyle w'=w-\omega (w,w_{2})w_{1}+\omega (w,w_{1})w_{2}}$para cada uno de${\displaystyle w=w_{3},w_{4},...,w_{m}}$Iterar.

Nótese que este método se aplica a espacios vectoriales simplécticos sobre cualquier cuerpo, no solo sobre el cuerpo de los números reales.

Caso de campo real o complejo:

Cuando el espacio está sobre el campo de los números reales, entonces podemos modificar el proceso de Gram-Schmidt modificado de la siguiente manera: Comencemos de la misma manera. Sea${\displaystyle w_{1},...,w_{m}}$ser una base ortonormal (con respecto al producto interno usual en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) de${\displaystyle W}$. Desde${\displaystyle \omega (w_{1},\cdot )\neq 0}$, y${\displaystyle \omega (w_{1},w_{1})=0}$, WLOG${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})\neq 0}$Ahora multiplica.${\displaystyle w_{2}}$por una señal, de modo que${\displaystyle \omega (w_{1},w_{2})\geq 0}$. Luego define${\displaystyle w'=w-\omega (w,w_{2})w_{1}+\omega (w,w_{1})w_{2}}$para cada uno de${\displaystyle w=w_{3},w_{4},...,w_{m}}$, luego escala cada uno${\displaystyle w'}$para que tenga norma uno. Iterar.

De manera similar, para el campo de los números complejos, podemos elegir una base unitaria. Esto demuestra la teoría espectral de matrices antisimétricas .

Sea ω una forma bilineal alternada en un espacio vectorial real n -dimensional V , ω ∈ Λ ² ( V ) . Entonces ω es no degenerada si y solo si n es par y ω ^{n /2} = ω ∧ ... ∧ ω es una forma de volumen . Una forma de volumen en un espacio vectorial n -dimensional V es un múltiplo no nulo de la n- forma e ₁ ^∗ ∧ ... ∧ e _n ^∗ donde e ₁ , e ₂ , ..., e _n es una base de V .

Para la base estándar definida en la sección anterior, tenemos

${\displaystyle \omega ^{\frac {n}{2}}=(-1)^{\frac {n(n-1)}{8}}x_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge x_{n}^{*}\wedge y_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge y_{n}^{*}.}$

Al reordenar, se puede escribir

${\displaystyle \omega ^{\frac {n}{2}}=x_{1}^{*}\wedge y_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge x_{n}^{*}\wedge y_{n}^{*}.}$

Los autores definen de diversas maneras ω ^{n /2} o (−1) ^{n(n-1) /8} ω ^{n /2} como la forma de volumen estándar . También puede aparecer ocasionalmente un factor de n !, dependiendo de si la definición del producto alternado contiene un factor de n ! o no. La forma de volumen define una orientación en el espacio vectorial simpléctico ( V , ω ) .

Supongamos que ( V , ω ) y ( W , ρ ) son espacios vectoriales simplécticos. Entonces, una aplicación lineal f  : V → W se denomina aplicación simpléctica si su imagen inversa conserva la forma simpléctica, es decir, f ^∗ ρ = ω , donde la forma inversa se define por ( f ^∗ ρ )( u , v ) = ρ ( f ( u ), f ( v )) . Las aplicaciones simplécticas conservan el volumen y la orientación.

Si V = W , entonces una aplicación simpléctica se llama transformación simpléctica lineal de V. En particular, en este caso se tiene que ω ( f ( u ), f ( v )) = ω ( u , v ) , y por lo tanto la transformación lineal f conserva la forma simpléctica. El conjunto de todas las transformaciones simplécticas forma un grupo y en particular un grupo de Lie , llamado grupo simpléctico y denotado por Sp( V ) o a veces Sp( V , ω ) . En forma matricial, las transformaciones simplécticas vienen dadas por matrices simplécticas .

Sea W un subespacio lineal de V. Definimos el complemento simpléctico de W como el subespacio

${\displaystyle W^{\perp }=\{v\in V\mid \omega (v,w)=0{\mbox{ para todo }}w\in W\}.}$

El complemento simpléctico satisface:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(W^{\perp }\right)^{\perp }&=W\\\dim W+\dim W^{\perp }&=\dim V.\end{aligned}}}$

Sin embargo, a diferencia de los complementos ortogonales , W ^⊥ ∩ W no tiene por qué ser 0. Distinguimos cuatro casos:

• W es simpléctico si W ^⊥ ∩ W = {0 }. Esto es cierto si y solo si ω se restringe a una forma no degenerada en W. Un subespacio simpléctico con la forma restringida es un espacio vectorial simpléctico por derecho propio.
• W es isotrópico si W ⊆ W ^⊥ . Esto es cierto si y solo si ω se restringe a 0 en W . Cualquier subespacio unidimensional es isotrópico.
• W es coisotrópico si W ^⊥ ⊆ W . W es coisotrópico si y solo si ω desciende a una forma no degenerada en el espacio cociente W / W ^⊥ . Equivalentemente, W es coisotrópico si y solo si W ^⊥ es isotrópico. Cualquier subespacio de codimensión -uno es coisotrópico.
• W es lagrangiano si W = W ^⊥ . Un subespacio es lagrangiano si y solo si es isótropo y coisótropo. En un espacio vectorial de dimensión finita, un subespacio lagrangiano es un subespacio isótropo cuya dimensión es la mitad de la de V . Todo subespacio isótropo puede extenderse a un subespacio lagrangiano.

Haciendo referencia al espacio vectorial canónico R ^{2 n} anterior,

• El subespacio generado por { x ₁ , y ₁ } es simpléctico.
• El subespacio generado por { x ₁ , x ₂ } es isotrópico.
• El subespacio generado por { x ₁ , x ₂ , ..., x _n , y ₁ } es coisotrópico.
• El subespacio generado por { x ₁ , x ₂ , ..., x _n } es lagrangiano.

La operación de complemento intercambia subespacios isotrópicos y coisotrópicos de dimensiones complementarias. En particular, cualquier línea se complementa con un hiperplano que la contiene, y luego se complementa de nuevo.

Todos los vectores no nulos son iguales, en el sentido de que cualesquiera dos vectores no nulos están relacionados por una transformación simpléctica lineal de V. Es decir, el único invariante simpléctico de un vector es que sea distinto de cero. De manera similar, dados los vectores${\displaystyle u,v,u',v'}$, si${\displaystyle \omega (u\wedge v)=\omega (u'\wedge v')}$, entonces existe una transformación simpléctica que mapea${\displaystyle (u,v)}$a${\displaystyle (u',v')}$. Es decir, el único invariante simpléctico de un par ordenado de vectores es su área simpléctica. ^{[ 1 ]}

Se puede definir un grupo de Heisenberg para cualquier espacio vectorial simpléctico, y esta es la forma típica en que surgen los grupos de Heisenberg .

Un espacio vectorial puede considerarse como un grupo de Lie conmutativo (con adición), o equivalentemente como un álgebra de Lie conmutativa , es decir, con corchete de Lie trivial. El grupo de Heisenberg es una extensión central de dicho grupo/álgebra de Lie conmutativo: la forma simpléctica define la conmutación, de forma análoga a las relaciones de conmutación canónicas (RCC), y una base de Darboux corresponde a coordenadas canónicas  ; en términos físicos, a operadores de momento y operadores de posición .

En efecto, según el teorema de Stone-von Neumann , toda representación que satisface la CCR (toda representación del grupo de Heisenberg) es de esta forma, o más propiamente unitariamente conjugada a la estándar.

Además, el álgebra de grupo de (el dual de) un espacio vectorial es el álgebra simétrica , y el álgebra de grupo del grupo de Heisenberg (del dual) es el álgebra de Weyl : se puede pensar en la extensión central como correspondiente a la cuantización o deformación .

Formalmente, el álgebra simétrica de un espacio vectorial V sobre un cuerpo F es el álgebra de grupo del dual, Sym( V )  := F [ V ^∗ ] , y el álgebra de Weyl es el álgebra de grupo del grupo de Heisenberg (dual) W ( V ) = F [ H ( V ^∗ )] . Dado que pasar a álgebras de grupo es un functor contravariante , el mapa de extensión central H ( V ) → V se convierte en una inclusión Sym( V ) → W ( V ) .

• Una variedad simpléctica es una variedad diferenciable con una forma simpléctica que varía suavemente en cada espacio tangente y que además satisface una condición de integrabilidad local .
• Índice de Maslov
• Un fibrado simpléctico es un fibrado vectorial dotado de una forma simpléctica que varía suavemente en cada fibra.
• Una representación simpléctica es una representación de grupo en la que cada elemento del grupo actúa como una transformación simpléctica.

• Claude Godbillon (1969) "Géométrie différentielle et mécanique analytique", Hermann
• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). «Sistemas hamiltonianos y lagrangianos». Fundamentos de mecánica (2.ª  ed.). Londres: Benjamin-Cummings. pp. 161–252 . ISBN  0-8053-0102-X.PDF
• Paulette Libermann y Charles-Michel Marle (1987) "Geometría simpléctica y mecánica analítica", D. Reidel
• Jean-Marie Souriau (1997) "Estructura de los sistemas dinámicos, una visión simpléctica de la física", Springer