Simplectomorfismo

En matemáticas , un simplectomorfismo o aplicación simpléctica es un isomorfismo en la categoría de variedades simplécticas . En mecánica clásica , un simplectomorfismo representa una transformación del espacio de fases que conserva el volumen y la estructura simpléctica del espacio de fases, y se denomina transformación canónica . ^{[ 1 ]}

Un difeomorfismo entre dos variedades simplécticas${\displaystyle f:(M,\omega )\rightarrow (N,\omega ')}$se denomina simplectomorfismo si

${\displaystyle f^{*}\omega '=\omega,}$

dónde${\displaystyle f^{*}}$es el retroceso de${\displaystyle f}$. Los difeomorfismos simplécticos de${\displaystyle M}$a${\displaystyle M}$son un (pseudo)grupo, llamado grupo de simplectomorfismos (ver más abajo).

La versión infinitesimal de los simplectomorfismos da lugar a los campos vectoriales simplécticos. Un campo vectorial${\displaystyle X\in \Gamma ^{\infty }(TM)}$se llama simpléctico si

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =0.}$

También,${\displaystyle X}$es simpléctico si el flujo${\displaystyle \phi _{t}:M\rightarrow M}$de${\displaystyle X}$es un simplectomorfismo para cada${\displaystyle t}$Estos campos vectoriales construyen una subálgebra de Lie de${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(TM)}$. Aquí,${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(TM)}$es el conjunto de campos vectoriales suaves en${\displaystyle M}$, y${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$es la derivada de Lie a lo largo del campo vectorial${\displaystyle X.}$

Ejemplos de simplectomorfismos incluyen las transformaciones canónicas de la mecánica clásica y la física teórica , el flujo asociado a cualquier función hamiltoniana, el mapeo en fibrados cotangentes inducido por cualquier difeomorfismo de variedades y la acción coadjunta de un elemento de un grupo de Lie sobre una órbita coadjunta .

Cualquier función suave en una variedad simpléctica da lugar, por definición, a un campo vectorial hamiltoniano , y el conjunto de todos estos campos vectoriales forma una subálgebra del álgebra de Lie de campos vectoriales simplécticos . La integración del flujo de un campo vectorial simpléctico es un simplectomorfismo. Dado que los simplectomorfismos preservan la 2-forma simpléctica y, por lo tanto, la forma de volumen simpléctica, se deduce el teorema de Liouville en mecánica hamiltoniana . Los simplectomorfismos que surgen de campos vectoriales hamiltonianos se conocen como simplectomorfismos hamiltonianos.

Dado que { H , H } = X _H ( H ) = 0, el flujo de un campo vectorial hamiltoniano también conserva H . En física esto se interpreta como la ley de conservación de la energía .

Si el primer número de Betti de una variedad simpléctica conexa es cero, los campos vectoriales simplécticos y hamiltonianos coinciden, por lo que las nociones de isotopía hamiltoniana e isotopía simpléctica de simplectomorfismos coinciden.

Se puede demostrar que las ecuaciones para una geodésica pueden formularse como un flujo hamiltoniano, véase Geodésicas como flujos hamiltonianos .

Los simplectomorfismos de una variedad sobre sí misma forman un pseudogrupo de dimensión infinita. El álgebra de Lie correspondiente consta de campos vectoriales simplécticos. Los simplectomorfismos hamiltonianos forman un subgrupo, cuya álgebra de Lie viene dada por los campos vectoriales hamiltonianos. Esta última es isomorfa al álgebra de Lie de funciones suaves en la variedad con respecto al corchete de Poisson , módulo las constantes.

El grupo de simplestomorfismos hamiltonianos de${\displaystyle (M,\omega )}$generalmente se denota como${\displaystyle \operatorname {Ham} (M,\omega )}$.

Los grupos de difeomorfismos hamiltonianos son simples , según un teorema de Banyaga . ^{[ 2 ]} Tienen una geometría natural dada por la norma de Hofer . El tipo de homotopía del grupo de simplectomorfismos para ciertas variedades simplécticas simples de cuatro dimensiones , como el producto de esferas , se puede calcular utilizando la teoría de curvas pseudoholomorfas de Gromov .

A diferencia de las variedades riemannianas , las variedades simplécticas no son muy rígidas: el teorema de Darboux demuestra que todas las variedades simplécticas de la misma dimensión son localmente isomorfas. En cambio, las isometrías en geometría riemanniana deben preservar el tensor de curvatura de Riemann , que es, por lo tanto, un invariante local de la variedad riemanniana. Además, toda función H en una variedad simpléctica define un campo vectorial hamiltoniano X _H , que se exponencia a un grupo uniparamétrico de difeomorfismos hamiltonianos. De ello se deduce que el grupo de simplectomorfismos es siempre muy grande y, en particular, de dimensión infinita. Por otro lado, el grupo de isometrías de una variedad riemanniana es siempre un grupo de Lie (de dimensión finita) . Además, las variedades riemannianas con grandes grupos de simetría son muy especiales, y una variedad riemanniana genérica no tiene simetrías no triviales.

Las representaciones de subgrupos de dimensión finita del grupo de simplectomorfismos (tras deformaciones ħ, en general) en espacios de Hilbert se denominan cuantizaciones . Cuando el grupo de Lie es el definido por un hamiltoniano, se habla de una «cuantización por energía». El operador correspondiente del álgebra de Lie al álgebra de Lie de operadores lineales continuos también se denomina a veces cuantización ; esta es una forma más común de verlo en física.

Una célebre conjetura de Vladimir Arnold relaciona el número mínimo de puntos fijos para un simplectomorfismo hamiltoniano.${\displaystyle \varphi :M\to M}$, En caso${\displaystyle M}$es una variedad simpléctica compacta , según la teoría de Morse (véase ^{[ 3 ]} ). Más precisamente, la conjetura afirma que${\displaystyle \varphi }$tiene al menos tantos puntos fijos como el número de puntos críticos que una función suave en${\displaystyle M}$debe haber. Se ha demostrado una versión más débil de esta conjetura: cuando${\displaystyle \varphi }$es "no degenerado", el número de puntos fijos está acotado inferiormente por la suma de los números de Betti de${\displaystyle M}$(véase, ^{[ 4 ] [ 5 ]} ). El desarrollo más importante en geometría simpléctica desencadenado por esta famosa conjetura es el nacimiento de la homología de Floer (véase ^{[ 6 ]} ), nombrada en honor a Andreas Floer .

General

• McDuff, Dusa y Salamon, D. (1998), Introducción a la topología simpléctica , Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.
• Abraham, Ralph y Marsden, Jerrold E. (1978), Fundamentos de mecánica , Londres: Benjamin-Cummings, ISBN 0-8053-0102-XVéase la sección 3.2 .

Grupos de simplectomorfismo

• Gromov, M. (1985), "Curvas pseudoholomórficas en variedades simplécticas", Inventiones Mathematicae , 82 (2): 307–347 , Bibcode : 1985InMat..82..307G , doi : 10.1007/BF01388806 , S2CID 4983969 .
• Polterovich, Leonid (2001), La geometría del grupo de difeomorfismos simplécticos , Basilea; Boston: Birkhauser Verlag, ISBN 3-7643-6432-7.