variedad simpléctica

En geometría diferencial , una variedad simpléctica es una variedad diferenciable ,${\displaystyle M}$, equipado con una 2-forma diferencial cerrada no degenerada ,${\displaystyle \omega }$, denominada forma simpléctica. El estudio de las variedades simplécticas se denomina geometría simpléctica o topología simpléctica. Las variedades simplécticas surgen de forma natural en formulaciones abstractas de la mecánica clásica y la mecánica analítica como fibrados cotangentes de variedades. Por ejemplo, en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, que constituye una de las principales motivaciones de este campo, el conjunto de todas las configuraciones posibles de un sistema se modela como una variedad, y el fibrado cotangente de esta variedad describe el espacio de fases del sistema.

Las variedades simplécticas surgen de la mecánica clásica ; en particular, son una generalización del espacio de fases de un sistema cerrado. ^{[ 1 ] [ 2 ]} De la misma manera que las ecuaciones de Hamilton permiten derivar la evolución temporal de un sistema a partir de un conjunto de ecuaciones diferenciales , la forma simpléctica debería permitir obtener un campo vectorial que describa el flujo del sistema a partir de las ecuaciones diferenciales.${\displaystyle dH}$de una función hamiltoniana${\displaystyle H}$. ^{[ 3 ]} Por lo tanto, necesitamos un mapeo lineal${\displaystyle TM\rightarrow T^{*}M}$desde la variedad tangente${\displaystyle TM}$a la variedad cotangente${\displaystyle T^{*}M}$, o equivalentemente, un elemento de${\displaystyle T^{*}M\otimes T^{*}M}$Alquiler${\displaystyle \omega }$denotan una sección de${\displaystyle T^{*}M\otimes T^{*}M}$, el requisito de que${\displaystyle \omega }$ser no degenerado garantiza que para cada diferencial${\displaystyle dH}$Existe un campo vectorial correspondiente único.${\displaystyle V_{H}}$de tal manera que${\displaystyle dH=\omega (V_{H},\cdot )}$. Dado que se desea que el hamiltoniano sea constante a lo largo de las líneas de flujo, se debe tener${\displaystyle \omega (V_{H},V_{H})=dH(V_{H})=0}$, lo que implica que${\displaystyle \omega }$es alternante y por lo tanto una 2-forma. Finalmente, se hace el requisito de que${\displaystyle \omega }$no debería cambiar bajo las líneas de flujo, es decir que la derivada de Lie de${\displaystyle \omega }$a lo largo de${\displaystyle V_{H}}$desaparece. Aplicando la fórmula de Cartan , esto equivale a (aquí)${\displaystyle \iota _{X}}$es el producto interior ):

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V_{H}}(\omega )=0\;\Leftrightarrow \;\mathrm {d} (\iota _{V_{H}}\omega )+\iota _{V_{H}}\mathrm {d} \omega =\mathrm {d} (\mathrm {d} \,H)+\mathrm {d} \omega (V_{H})=\mathrm {d} \omega (V_{H})=0}$

de modo que, al repetir este argumento para diferentes funciones suaves${\displaystyle H}$de tal manera que el correspondiente${\displaystyle V_{H}}$abarcar el espacio tangente en cada punto en el que se aplica el argumento, vemos que el requisito para la derivada de Lie nula a lo largo de flujos de${\displaystyle V_{H}}$correspondiente a una suavidad arbitraria${\displaystyle H}$es equivalente al requisito de que ω sea cerrado .

Dejar${\displaystyle M}$ser una variedad suave . Una forma simpléctica en${\displaystyle M}$es una 2-forma diferencial cerrada no degenerada${\displaystyle \omega }$. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Aquí, no degenerado significa que para cada punto${\displaystyle p\in M}$, el emparejamiento antisimétrico en el espacio tangente${\displaystyle T_{p}M}$definido por${\displaystyle \omega }$es no degenerado. Es decir, si existe un${\displaystyle X\in T_{p}M}$de tal manera que${\displaystyle \omega (X,Y)=0}$a pesar de${\displaystyle Y\in T_{p}M}$, entonces${\displaystyle X=0}$. La condición cerrada significa que la derivada exterior de${\displaystyle \omega }$desaparece. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Una variedad simpléctica es un par${\displaystyle (M,\omega )}$dónde${\displaystyle M}$es un colector liso y${\displaystyle \omega }$es una forma simpléctica. Asignar una forma simpléctica a${\displaystyle M}$se hace referencia a dar${\displaystyle M}$una estructura simpléctica . Dado que en dimensiones impares las matrices antisimétricas son siempre singulares, la no degeneración implica que${\displaystyle \dim M}$es par. ^{[ 6 ]}

Por no degeneración,${\displaystyle \omega }$puede utilizarse para definir un par de isomorfismos musicales${\displaystyle \omega ^{\flat }:TM\rightarrow T^{*}M,\omega ^{\sharp }:T^{*}M\rightarrow TM}$, de tal manera que${\displaystyle \omega (X,Y)=\omega ^{\plano }(X)(Y)}$para cualesquiera dos campos vectoriales${\displaystyle X,Y}$, y${\displaystyle \omega ^{\sharp }\circ \omega ^{\flat }=\operatorname {Id} }$.

Una variedad simpléctica${\displaystyle (M,\omega )}$es exacto si y solo si la forma simpléctica${\displaystyle \omega }$es exacto , es decir, igual a${\displaystyle \omega =-d\theta }$para alguna forma 1${\displaystyle \theta }$La forma simpléctica en cualquier variedad simpléctica compacta sin frontera es inexacta, según el teorema de Stokes . ^{[ 7 ]}

Según el teorema de Darboux , alrededor de cualquier punto${\displaystyle p}$existe un sistema de coordenadas local, en el que${\displaystyle \omega =\Sigma _{i}dp_{i}\wedge dq^{i}}$donde d denota la derivada exterior y ∧ denota el producto exterior . ^{[ 8 ]} Esta forma se denomina dos-formas de Poincaré o dos-formas canónicas . Por lo tanto, podemos pensar localmente que M es el fibrado cotangente.${\displaystyle T^{*}\mathbb {R} ^{n}}$y generada por la 1-forma tautológica correspondiente${\displaystyle \theta =\Sigma _{i}p_{i}dq^{i},\;\omega =d\theta }$.

Una forma de Liouville (local) es cualquier forma (definida localmente)${\displaystyle \lambda }$de tal manera que${\displaystyle \omega =d\lambda }$Un campo vectorial${\displaystyle X}$es (localmente) Liouville si y solo si${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =\omega }$Según la fórmula mágica de Cartan , esto es equivalente a${\displaystyle d(\omega (X,\cdot ))=\omega }$Un campo vectorial de Liouville puede interpretarse, por lo tanto, como una forma de recuperar una forma de Liouville (local). Según el teorema de Darboux, alrededor de cualquier punto existe una forma de Liouville local, aunque esta no exista globalmente.

En una variedad simpléctica, toda función suave${\displaystyle H:M\to \mathbb {R} }$determina un campo vectorial hamiltoniano${\displaystyle X_{H}}$por${\displaystyle \iota _{X_{H}}\omega =dH}$, hasta la convención de signos. ^{[ 9 ]} Las curvas integrales de${\displaystyle X_{H}}$son el flujo hamiltoniano de${\displaystyle H}$En mecánica clásica,${\displaystyle H}$es la función de energía y la forma simpléctica codifica las ecuaciones de Hamilton. El conjunto de todos los campos vectoriales hamiltonianos conforma un álgebra de Lie y se escribe como${\displaystyle (\operatorname {Ham} (M),[\cdot ,\cdot ])}$dónde${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$es el corchete de mentira .

Dadas dos funciones suaves cualesquiera${\displaystyle f,g:M\to \mathbb {R} }$, su corchete de Poisson se define por${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{g},X_{f})}$[ ^{10 ]} Esto convierte cualquier variedad simpléctica en una variedad de Poisson . ^{[ 11 ]} El bivector de Poisson es un campo bivectorial ^.${\displaystyle \pi }$definido por${\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg)}$, o equivalentemente, por${\displaystyle \pi$ :=\omega ^{-1}} . El corchete de Poisson y el corchete de Lie están relacionados por${\textstyle X_{\{f,g\}}=[X_{f},X_{g}]}$.

Si${\displaystyle (M,\omega )}$es una variedad simpléctica de dimensión${\displaystyle 2n}$, entonces${\displaystyle \omega ^{n}}$es una forma de grado máximo que no se desvanece en ningún lugar. Por lo tanto, toda variedad simpléctica es orientable y tiene una forma de volumen natural, llamada forma de volumen simpléctica. ^{[ 6 ]}

A diferencia de una métrica riemanniana, una forma simpléctica no define longitudes ni ángulos. Según el teorema de Darboux , todas las variedades simplécticas de la misma dimensión son localmente simpléctomorfas. En consecuencia, la geometría simpléctica no posee un invariante de curvatura local análogo al tensor de curvatura riemanniano; muchas de sus cuestiones principales son globales. ^{[ 2 ] [ 8 ]}

Existen varias nociones geométricas naturales de subvariedad de una variedad simpléctica.${\displaystyle (M,\omega )}$. Dejar${\displaystyle N\subset M}$ser una subvariedad. Es ^{[ 12 ] [ 7 ]}

• simpléctico iff${\displaystyle \omega |_{N}}$es una forma simpléctica en${\displaystyle N}$;
• isotrópico si y solo si${\displaystyle \omega |_{N}=0}$, equivalentemente, si y solo si${\displaystyle T_{p}N\subset T_{p}N^{\omega }}$para cualquier${\displaystyle p\in N}$;
• coisotrópico si y solo si${\displaystyle T_{p}N^{\omega }\subset T_{p}N}$para cualquier${\displaystyle p\in N}$;
• Lagrangiano si y solo si es isotrópico y coisotrópico , es decir${\displaystyle \omega |_{N}=0}$y${\displaystyle {\text{dim }}N={\tfrac {1}{2}}\dim M}$. Por la no degeneración de${\displaystyle \omega }$Las subvariedades lagrangianas son las subvariedades isotrópicas máximas y las subvariedades coisotrópicas mínimas.

Las subvariedades lagrangianas son las subvariedades más importantes. Weinstein propuso el "credo simpléctico": todo es una subvariedad lagrangiana. Con esto, quiere decir que todo en geometría simpléctica se expresa de forma más natural en términos de subvariedades lagrangianas. ^{[ 13 ]}

Una fibración lagrangiana de una variedad simpléctica M es una fibración en la que todas las fibras son subvariedades lagrangianas.

Dado un subconjunto${\displaystyle N\subset M}$De codimensión 1, la distribución de líneas características en ella es la dual de sus espacios tangentes:${\displaystyle T_{p}N^{\omega }}$Si también existe un campo vectorial de Liouville${\displaystyle X}$en un vecindario de ella que es transversal a ella. En este caso, sea${\displaystyle \alpha$ :=\omega (X,\cdot )|_{N}} , entonces${\displaystyle (N,\alpha )}$es una variedad de contacto , y decimos que es una subvariedad de tipo contacto . En este caso, el campo vectorial de Reeb es tangente a la distribución de la línea característica.

Una n -subvariedad se especifica localmente mediante una función suave.${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\to M}$Es una subvariedad lagrangiana si${\displaystyle \omega (\partial _{i},\partial _{j})=0}$a pesar de${\displaystyle i,j\in 1:n}$Si localmente existe un sistema de coordenadas canónico${\displaystyle (q,p)}$, entonces la condición es equivalente a$${\displaystyle [u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right)=0,\quad \forall i,j\in 1:n}$$dónde${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{p,q}}$es el corchete de Lagrange en este sistema de coordenadas.

La gráfica de una 1-forma cerrada en${\displaystyle M}$es una subvariedad lagrangiana de${\displaystyle T^{*}M}$. En particular, el gráfico de${\displaystyle df}$es lagrangiana. Por el contrario, si una subvariedad lagrangiana${\displaystyle L\subset T^{*}M}$proyecta difeomórficamente a${\displaystyle M}$, entonces es la gráfica de una 1-forma cerrada. ^{[ 12 ]} Es globalmente la gráfica de${\displaystyle df}$solo cuando esa 1-forma cerrada es exacta.

Mapeo lagrangiano

Sea L una subvariedad lagrangiana de una variedad simpléctica ( K ,ω) dada por una inmersión i  : L ↪ K ( i se denomina inmersión lagrangiana ). Sea π  : K ↠ B una fibración lagrangiana de K. La composición ( π ∘ i )  : L ↪ K ↠ B es una aplicación lagrangiana . El conjunto de valores críticos de π ∘ i se denomina cáustica . ^{[ 14 ]}

Dos aplicaciones lagrangianas ( π ₁ ∘ i ₁ )  : L ₁ ↪ K ₁ ↠ B ₁ y ( π ₂ ∘ i ₂ )  : L ₂ ↪ K ₂ ↠ B ₂ se denominan equivalentes lagrangianos si existen difeomorfismos σ , τ y ν tales que ambos lados del diagrama dado a la derecha conmutan y τ conserva la forma simpléctica. ^{[ 5 ]} Simbólicamente:

${\displaystyle \tau \circ i_{1}=i_{2}\circ \sigma ,\ \nu \circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ \tau ,\ \tau ^{*}\omega _{2}=\omega _{1}\,,}$

donde τ ^∗ ω ₂ denota el retroceso de ω ₂ por τ .

Un mapa${\displaystyle f:(M,\omega )\to (M',\omega ')}$entre variedades simplécticas es un simplectomorfismo cuando preserva la estructura simpléctica, es decir, el retroceso es el mismo.${\displaystyle f^{*}\omega '=\omega }$. Los simplestomorfismos más importantes son los flujos simplécticos, es decir, aquellos generados al integrar un campo vectorial en${\displaystyle (M,\omega )}$.

Dado un campo vectorial${\displaystyle X}$en${\displaystyle (M,\omega )}$, genera un flujo simpléctico si y solo si${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =0}$Estos campos vectoriales se denominan simplécticos . Cualquier campo vectorial hamiltoniano es simpléctico y, a la inversa, cualquier campo vectorial simpléctico es localmente hamiltoniano.

Una propiedad que se conserva bajo todos los simplectomorfismos es un invariante simpléctico . Siguiendo el espíritu del programa de Erlangen , la geometría simpléctica es el estudio de los invariantes simplécticos.

• Las variedades presimplécticas generalizan las variedades simplécticas al requerir únicamente${\displaystyle \omega }$ser cerrada, pero posiblemente degenerada. Cualquier subvariedad de una variedad simpléctica hereda una estructura presimpléctica.
• Las variedades de Poisson generalizan las variedades simplécticas al preservar únicamente las estructuras diferenciales-algebraicas de una variedad simpléctica.
• Las variedades de Dirac generalizan las variedades de Poisson y las variedades presimplécticas, conservando incluso menos estructura. Su definición está diseñada de tal manera que cualquier subvariedad de una variedad de Poisson induce una variedad de Dirac. Se las puede denominar variedades "pre-Poisson".
• Una variedad multisimpléctica de grado k es una variedad equipada con una k -forma cerrada no degenerada. ^{[ 18 ]}
• Una variedad polisimpléctica es un fibrado de Legendre provisto de una variedad polisimpléctica con valores tangentes.${\displaystyle (n+2)}$-forma; se utiliza en la teoría de campos hamiltoniana . ^{[ 19 ]}

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