Carácter ciclotómico

En teoría de números , un carácter ciclotómico es un carácter de un grupo de Galois que da la acción de Galois sobre un grupo de raíces de la unidad . Como representación unidimensional sobre un anillo R , su espacio de representación se denota generalmente por R (1) (es decir, es una representación χ : G → Aut _R ( R (1)) ≈ GL(1, R ) ).

Fijemos p como primo y sea G _Q el grupo absoluto de Galois de los números racionales . Las raíces de la unidad forman un grupo cíclico de orden , generado por cualquier elección de una raíz primitiva p ⁿ ésima de la unidad ζ _{p ⁿ} . $${\displaystyle \mu _{p^{n}}=\left\{\zeta \in {\bar {\mathbf {Q} }}^{\times }\mid \zeta ^{p^{n}}=1\right\}}$$$estilo de visualización p^{n}}$

Como todas las raíces primitivas de son conjugadas de Galois, el grupo de Galois actúa sobre mediante automorfismos. Después de fijar una raíz primitiva de unidad que genere , cualquier elemento de puede escribirse como una potencia de , donde el exponente es un elemento único en . Por lo tanto, se puede escribir ${\displaystyle \mu_{p^{n}}}$${\displaystyle G_{\mathbf {Q}}}$${\displaystyle \mu_{p^{n}}}$${\displaystyle \zeta _{p^{n}}}$${\displaystyle \mu_{p^{n}}}$${\displaystyle \mu_{p^{n}}}$${\displaystyle \zeta _{p^{n}}}$${\displaystyle (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }}$

$${\displaystyle \sigma .\zeta :=\sigma (\zeta )=\zeta _{p^{n}}^{a(\sigma ,n)}}$$

donde es el elemento único como se indica arriba, dependiendo tanto de como de . Esto define un homomorfismo de grupo llamado carácter ciclotómico mod p ⁿ : ${\displaystyle a(\sigma ,n)\en (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }}$${\estilo de visualización \sigma}$${\estilo de visualización p}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\chi _{p^{n}}}:G_{\mathbf {Q} }&\to (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\\\sigma &\mapsto a(\sigma ,n),\end{aligned}}}$$ que se considera un personaje ya que la acción corresponde a un homomorfismo . ${\displaystyle G_{\mathbf {Q}}\to \mathrm {Aut} (\mu _{p^{n}})\cong (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\cong \mathrm {GL} _{1}(\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )}$

Fijando y variando , forman un sistema compatible en el sentido de que dan un elemento del límite inverso de las unidades en el anillo de los enteros p-ádicos . Así, se ensamblan en un homomorfismo de grupo llamado carácter ciclotómico p -ádico : ${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización \sigma}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle a(\sigma ,n)}$ $${\displaystyle \varprojlim _{n}(\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\cong \mathbf {Z} _{p}^{\times },}$$${\displaystyle {\chi_{p^{n}}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{p}:G_{\mathbf {Q} }&\to \mathbf {Z} _{p}^{\times }\cong \mathrm {GL_{1}} (\mathbf {Z} _{p})\\\sigma &\mapsto (a(\sigma ,n))_{n}\end{aligned}}}$$ codificando la acción de sobre todas las raíces p -potenciales de la unidad simultáneamente. De hecho, al equiparlo con la topología de Krull y con la topología p -ádica , se obtiene una representación continua de un grupo topológico. ${\displaystyle G_{\mathbf {Q}}}$${\displaystyle \mu_{p^{n}}}$${\displaystyle G_{\mathbf {Q}}}$${\displaystyle \mathbf {Z}_{p}}$

Al variar ℓ sobre todos los números primos, se obtiene un sistema compatible de representaciones ℓ-ádicas a partir de los caracteres ciclotómicos ℓ -ádicos (al considerar sistemas compatibles de representaciones, la terminología estándar es utilizar el símbolo ℓ para denotar un primo en lugar de p ). Es decir, χ = { χ _ℓ } _ℓ es una "familia" de representaciones ℓ -ádicas

${\displaystyle \chi _{\ell }:G_{\mathbf {Q} }\rightarrow \operatorname {GL} _{1}(\mathbf {Z} _{\ell })}$

que satisfacen ciertas compatibilidades entre diferentes primos. De hecho, los χ _ℓ forman un sistema estrictamente compatible de representaciones ℓ-ádicas .

El carácter ciclotómico p -ádico es el módulo de Tate p -ádico del esquema de grupo multiplicativo G _{m , Q} sobre Q . Como tal, su espacio de representación puede verse como el límite inverso de los grupos de raíces p ⁿ ésimas de la unidad en Q .

En términos de cohomología , el carácter ciclotómico p -ádico es el dual del primer grupo de cohomología étale p -ádico de G _m . También se puede encontrar en la cohomología étale de una variedad proyectiva , a saber, la línea proyectiva : es el dual de H ² _ét ( P ¹ ) .

En términos de motivos , el carácter ciclotómico p -ádico es la realización p -ádica del motivo de Tate Z (1) . Como motivo de Grothendieck, el motivo de Tate es el dual de H ² ( P ¹ ) . ^{[1] [ aclaración necesaria ]}

El carácter ciclotómico p -ádico satisface varias propiedades interesantes.

• No está ramificado en todos los primos ℓ ≠ p (es decir, el subgrupo de inercia en ℓ actúa de manera trivial).
• Si Frob _ℓ es un elemento de Frobenius para ℓ ≠ p , entonces χ _p (Frob _ℓ ) = ℓ
• Es cristalino a p .

• Giro de Tate