Suma

Posiblemente la interpretación más básica de la suma reside en la combinación de conjuntos , es decir: ^{[ 2 ]}

Cuando dos o más colecciones disjuntas se combinan en una sola colección, el número de objetos en la colección resultante es la suma del número de objetos en las colecciones originales.

Esta interpretación es fácil de visualizar, con poco riesgo de ambigüedad. También es útil en matemáticas superiores (para la definición rigurosa que inspira, véase el apartado «  Números naturales» más adelante). Sin embargo, no resulta obvio cómo extender esta interpretación para incluir números fraccionarios o negativos. ^{[ 16 ]}

Una posibilidad es considerar conjuntos de objetos que se puedan dividir fácilmente, como pasteles o, mejor aún, varillas segmentadas. En lugar de simplemente combinar conjuntos de segmentos, las varillas se pueden unir extremo con extremo, lo que ilustra otra concepción de la suma: sumar no las varillas, sino sus longitudes. ^{[ 17 ]}

Visualización en línea numérica de la suma${\displaystyle 2+4=6}$. Un "salto" de longitud${\displaystyle 2}$seguido de otro de longitud${\displaystyle 4}$, es lo mismo que un salto de longitud${\displaystyle 6}$.

Visualización en línea numérica de la suma${\displaystyle 2+4=6}$realizado como cuatro adiciones de uno. Una traducción de${\displaystyle 4}$es equivalente a cuatro traducciones por${\displaystyle 1}$.

Una segunda interpretación de la suma proviene de extender una longitud inicial por una longitud dada: ^{[ 18 ]}

Cuando una longitud original se extiende en una cantidad determinada, la longitud final es la suma de la longitud original y la longitud de la extensión.

La suma${\displaystyle a+b}$puede interpretarse como una operación binaria que combina${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$algebraicamente, o puede interpretarse como la suma de${\displaystyle b}$más unidades a${\displaystyle a}$. Según esta última interpretación, las partes de una suma${\displaystyle a+b}$desempeñan roles asimétricos y la operación${\displaystyle a+b}$se considera que se aplica la operación unaria${\displaystyle +b}$a${\displaystyle a}$. ^{[ 19 ]} En lugar de llamar a ambos${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$sumandos, es más apropiado llamar${\displaystyle a}$el "augend" en este caso, ya que${\displaystyle a}$desempeña un papel pasivo. ^{[ 20 ]} La visión unaria también es útil al hablar de resta , porque cada operación de suma unaria tiene una operación de resta unaria inversa, y viceversa. ^{[ 21 ]}

La suma es conmutativa , lo que significa que se puede cambiar el orden de los términos en una suma, pero aún así obtener el mismo resultado. Simbólicamente, si${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son dos números cualesquiera, entonces: ^{[ 22 ]}$${\displaystyle a+b=b+a.}$$ El hecho de que la suma sea conmutativa se conoce como la "ley conmutativa de la suma" ^{[ 23 ]} o "propiedad conmutativa de la suma" ^{[ 24 ]} . Algunas otras operaciones binarias también son conmutativas , como la multiplicación ^{[ 25 ]} , pero otras no lo son, como la resta y la división ^{[ 26 ]} .

La suma es asociativa , lo que significa que cuando se suman tres o más números, el orden de las operaciones no cambia el resultado. Para cualesquiera tres números${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$, y${\displaystyle c}$, es cierto que: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c).}$$ Por ejemplo,${\displaystyle (1+2)+3=1+(2+3)}$.

Cuando la suma se utiliza junto con otras operaciones, el orden de las operaciones cobra importancia. En el orden estándar de las operaciones, la suma tiene menor prioridad que la exponenciación , las raíces enésimas , la multiplicación y la división, pero se le da la misma prioridad que a la resta. ^{[ 28 ]}

Agregar cero a cualquier número no cambia el número. En otras palabras, el cero es el elemento neutro de la suma, y ​​también se conoce como la identidad aditiva . En símbolos, para cada${\displaystyle a}$, uno tiene: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle a+0=0+a=a.}$$ Esta ley fue identificada por primera vez en el Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta en el año 628 d.C., aunque él la escribió como tres leyes separadas, dependiendo de si ${\displaystyle a}$es negativo, positivo o cero mismo, y usó palabras en lugar de símbolos algebraicos. Más tarde, otros matemáticos indios refinaron el concepto. Alrededor del año 830, Mahavira escribió: "el cero se convierte en lo mismo que lo que se le suma", lo que corresponde a la afirmación unaria.${\displaystyle 0+a=a}$En el  siglo XII, Bhaskara escribió: "En la suma o resta de una cifra, la cantidad, positiva o negativa, permanece igual", lo que corresponde a la afirmación unaria.${\displaystyle a+0=a}$. ^{[ 29 ]}

En el contexto de los números enteros, la suma de uno también juega un papel especial: para cualquier entero${\displaystyle a}$, el entero${\displaystyle a+1}$es el entero más pequeño mayor que${\displaystyle a}$, también conocido como el sucesor de${\displaystyle a}$. Por ejemplo, 3 es el sucesor de 2, y 7 es el sucesor de 6. Debido a esta sucesión, el valor de${\displaystyle a+b}$También puede ser visto como el${\displaystyle b}$- el sucesor de${\displaystyle a}$, lo que convierte la suma en una sucesión iterada. Por ejemplo, 6 + 2 es 8, porque 8 es el sucesor de 7, que es el sucesor de 6, lo que hace que 8 sea el segundo sucesor de 6. ^{[ 30 ]}

Para sumar numéricamente cantidades físicas con unidades , estas deben expresarse con unidades comunes. ^{[ 31 ]} Por ejemplo, sumar 50  mililitros a 150  mililitros da como resultado 200  mililitros. Sin embargo, si una medida de 5  pies se extiende 2  pulgadas, la suma es 62  pulgadas, ya que 60  pulgadas es sinónimo de 5  pies. Por otro lado, generalmente no tiene sentido intentar sumar 3  metros y 4  metros cuadrados, ya que esas unidades son incomparables; este tipo de consideración es fundamental en el análisis dimensional . ^{[ 32 ]}

Los estudios sobre el desarrollo matemático que comenzaron alrededor de la década de 1980 han explotado el fenómeno de la habituación : los bebés miran durante más tiempo las situaciones inesperadas. ^{[ 33 ]} Un experimento fundamental de Karen Wynn en 1992, que involucró muñecos de Mickey Mouse manipulados detrás de una pantalla, demostró que los bebés de cinco meses esperan que 1 + 1 sea 2, y se sorprenden comparativamente cuando una situación física parece implicar que 1 + 1 es 1 o 3. Este hallazgo ha sido posteriormente confirmado por varios laboratorios que utilizan diferentes metodologías. ^{[ 34 ]} Otro experimento de 1992 con niños pequeños mayores , entre 18 y 35  meses, explotó su desarrollo del control motor permitiéndoles sacar pelotas de ping-pong de una caja; los más pequeños respondieron bien a números pequeños, mientras que los sujetos mayores fueron capaces de calcular sumas de hasta 5. ^{[ 35 ]}

Incluso algunos animales no humanos muestran una capacidad limitada para sumar, en particular los primates . En un experimento de 1995 que imitaba el resultado de Wynn de 1992 (pero usando berenjenas en lugar de muñecas), los macacos rhesus y los tamarinos de cabeza blanca se desempeñaron de manera similar a los bebés humanos. De manera aún más sorprendente, después de que se le enseñaron los significados de los números arábigos del 0 al 4, un chimpancé fue capaz de calcular la suma de dos números sin entrenamiento adicional. ^{[ 36 ]} Más recientemente, los elefantes asiáticos han demostrado la capacidad de realizar aritmética básica. ^{[ 37 ]}

Por lo general, los niños primero dominan el conteo . Cuando se les da un problema que requiere combinar dos y tres elementos, los niños pequeños representan la situación con objetos físicos, a menudo los dedos o un dibujo, y luego cuentan el total. A medida que adquieren experiencia, aprenden o descubren la estrategia de "contar hacia adelante": cuando se les pide que encuentren dos más tres, los niños cuentan tres más dos, diciendo "tres, cuatro, cinco " (generalmente marcando con los dedos), y llegan a cinco. Esta estrategia parece casi universal; los niños pueden aprenderla fácilmente de sus compañeros o maestros. ^{[ 38 ]} La mayoría la descubre de forma independiente. Con más experiencia, los niños aprenden a sumar más rápidamente aprovechando la conmutatividad de la suma al contar hacia adelante desde el número mayor, en este caso, comenzando con tres y contando "cuatro, cinco ". Finalmente, los niños comienzan a recordar ciertos hechos de suma (" combinaciones numéricas "), ya sea a través de la experiencia o la memorización mecánica. Una vez que algunos hechos se han memorizado, los niños comienzan a derivar hechos desconocidos a partir de los conocidos. Por ejemplo, a un niño al que se le pide que sume seis y siete puede saber que 6 + 6 = 12 y luego razonar que 6 + 7 es uno más, o sea, 13. ^{[ 39 ]} Estos hechos derivados se pueden encontrar muy rápidamente y la mayoría de los estudiantes de primaria eventualmente recurren a una combinación de hechos memorizados y derivados para sumar con fluidez. ^{[ 40 ]}

En diferentes países, la introducción de los números enteros y la aritmética se realiza a distintas edades, y muchos enseñan la suma en la etapa preescolar . ^{[ 41 ]} Sin embargo, en todo el mundo, la suma se enseña al final del primer año de primaria. ^{[ 42 ]}

La capacidad de sumar un par de dígitos individuales (números del 0 al 9) es un requisito previo para la suma de números arbitrarios en el sistema decimal . Con 10 opciones para cada uno de los dos dígitos a sumar, esto da como resultado 100 "hechos de suma" de un solo dígito, que pueden presentarse en una tabla de suma . ^{[ 43 ]}

Aprender a calcular sumas de un solo dígito con fluidez y precisión es un objetivo principal de la enseñanza temprana de la aritmética. A veces se anima a los estudiantes a memorizar la tabla de suma completa de memoria , pero las estrategias basadas en patrones suelen ser más esclarecedoras y, para la mayoría de las personas, más eficientes: ^{[ 44 ]}

• Propiedad conmutativa : mencionada anteriormente, utilizando el patrón${\displaystyle a+b=b+a}$reduce el número de "hechos de suma" de 100 a 55. ^{[ 45 ]}
• Uno o dos más : Sumar 1 o 2 es una tarea básica, y se puede lograr contando o, en última instancia, mediante la intuición . ^{[ 44 ]}
• Cero : Dado que el cero es el elemento neutro de la suma, sumar cero es trivial. Sin embargo, en la enseñanza de la aritmética, a algunos estudiantes se les presenta la suma como un proceso que siempre incrementa los sumandos; los problemas verbales pueden ayudar a racionalizar la "excepción" del cero. ^{[ 44 ]}
• Suma de números iguales : Sumar un número a sí mismo está relacionado con contar de dos en dos y con la multiplicación . Las operaciones con números iguales constituyen la base de muchas operaciones relacionadas, y a los estudiantes les resultan relativamente fáciles de comprender. ^{[ 44 ]}
• Casi dobles : Sumas como 6 + 7 = 13 se pueden derivar rápidamente del hecho de que los dobles son 6 + 6 = 12 sumando uno más, o de 7 + 7 = 14 pero restando uno. ^{[ 44 ]}
• Cinco y diez : Las sumas de la forma 5 + x y 10 + x se suelen memorizar pronto y se pueden usar para deducir otros hechos. Por ejemplo, 6 + 7 = 13 se puede obtener de 5 + 7 = 12 sumando uno más. ^{[ 44 ]}
• Hacer diez : Una estrategia avanzada utiliza 10 como un número intermedio para sumas que involucran 8 o 9; por ejemplo, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14. ^{[ 44 ]}

A medida que los estudiantes crecen, memorizan más datos y aprenden a deducir otros con rapidez y fluidez. Muchos estudiantes nunca memorizan todos los datos, pero aun así pueden encontrar cualquier dato básico rápidamente. ^{[ 40 ]}

El algoritmo estándar para sumar números de varias cifras consiste en alinear los sumandos verticalmente y sumar las columnas utilizando la tabla de suma anterior, comenzando por la columna de las unidades a la derecha. Si el resultado de una columna excede nueve, el dígito adicional se " lleva " a la siguiente columna. Por ejemplo, en la siguiente imagen, las unidades en la suma de 59 + 27 son 9 + 7 = 16, y el dígito 1 es el acarreo. ^{[ 46 ]} Una estrategia alternativa comienza a sumar desde el dígito más significativo a la izquierda; esta ruta hace que el acarreo sea un poco más engorroso, pero es más rápida para obtener una estimación aproximada de la suma. ^{[ b ]}

Las fracciones decimales se pueden sumar mediante una simple modificación del proceso anterior. Se alinean dos fracciones decimales una encima de la otra, con el punto decimal en la misma posición. Si es necesario, se pueden añadir ceros al final de una fracción decimal más corta para que tenga la misma longitud que la fracción decimal más larga. Finalmente, se realiza el mismo proceso de suma que el anterior, excepto que el punto decimal se coloca en el resultado exactamente donde estaba en los sumandos. ^{[ 48 ]} Como ejemplo, 45.1 + 4.34 se puede resolver de la siguiente manera:

 4 5 . 1 0 + 0 4 . 3 4 ———————————— 4 9 . 4 4

En notación científica , los números se escriben de la forma${\displaystyle x=a\times 10^{b}}$, dónde${\displaystyle a}$es la significando y${\displaystyle 10^{b}}$es la parte exponencial. Para sumar números en notación científica, deben expresarse con el mismo exponente, de modo que las dos mantisas se puedan sumar simplemente. ^{[ 49 ]}

Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}&2.34\times 10^{-5}+5.67\times 10^{-6}\\&\quad =2.34\times 10^{-5}+0.567\times 10^{-5}\\&\quad =2.907\times 10^{-5}.\end{aligned}}}$

La suma en otras bases es muy similar a la suma decimal. Como ejemplo, se puede considerar la suma en binario. ^{[ 50 ]} Sumar dos números binarios de un solo dígito es relativamente sencillo, utilizando una forma de acarreo: $${\displaystyle {\begin{aligned}0+0&\to 0\\0+1&\to 1\\1+0&\to 1\\1+1&\to 0,\qquad {\text{llevamos 1 ya que }}1+1=2=0+1\times 2^{1}\end{aligned}}}$$ La suma de dos dígitos "1" produce un dígito "0", mientras que se debe agregar un 1 a la siguiente columna. Esto es similar a lo que sucede en el sistema decimal cuando se suman ciertos números de un solo dígito; si el resultado es igual o mayor que el valor de la base (10), se incrementa el dígito de la izquierda. $${\displaystyle {\begin{aligned}5+5&\to 0,\qquad {\text{llevar 1 ya que }}5+5=10=0+1\times 10^{1}\\7+9&\to 6,\qquad {\text{llevar 1 ya que }}7+9=16=6+1\times 10^{1}\end{aligned}}}$$

Esto se conoce como acarreo . ^{[ 51 ]} Cuando el resultado de una suma excede el valor de un dígito, el procedimiento consiste en "acarrear" el exceso dividido por la base (es decir, 10/10) hacia la izquierda, sumándolo al siguiente valor posicional. Esto es correcto ya que la siguiente posición tiene un peso mayor por un factor igual a la base. El acarreo funciona de la misma manera en binario.

Las computadoras analógicas trabajan directamente con magnitudes físicas, por lo que sus mecanismos de suma dependen de la forma de los sumandos. Un sumador mecánico podría representar dos sumandos como las posiciones de bloques deslizantes, en cuyo caso se pueden sumar con una palanca de promedio . Si los sumandos son las velocidades de rotación de dos ejes , se pueden sumar con un diferencial . Un sumador hidráulico puede sumar las presiones en dos cámaras aprovechando la segunda ley de Newton para equilibrar las fuerzas en un conjunto de pistones . La situación más común para una computadora analógica de propósito general es sumar dos voltajes (referenciados a tierra ); esto se puede lograr aproximadamente con una red de resistencias , pero un diseño mejor utiliza un amplificador operacional . ^{[ 52 ]}

La suma también es fundamental para el funcionamiento de las computadoras digitales , donde la eficiencia de la suma, en particular el mecanismo de acarreo , es una limitación importante para el rendimiento general. ^{[ 53 ]}

El ábaco , también llamado marco de cálculo, es una herramienta de cálculo que se utilizaba siglos antes de la adopción del sistema numérico moderno escrito y que todavía utilizan ampliamente comerciantes, mercaderes y escribanos en Asia , África y otros lugares; data de al menos 2700-2300  a. C., cuando se utilizaba en Sumeria . ^{[ 54 ]}

Blaise Pascal inventó la calculadora mecánica en 1642; ^{[ 55 ]} fue la primera máquina de sumar operativa . La calculadora de Pascal estaba limitada por su mecanismo de transporte asistido por gravedad, que obligaba a sus ruedas a girar solo en una dirección para poder sumar. Para restar, el operador tenía que usar el complemento de la calculadora de Pascal , que requería tantos pasos como una suma. ^{[ 56 ]} Gottfried Leibniz construyó el compás escalonado , otra calculadora mecánica, terminada en 1694, y Giovanni Poleni mejoró el diseño en 1709 con un reloj calculador de madera que podía realizar las cuatro operaciones aritméticas. Estos primeros intentos no tuvieron éxito comercial, pero inspiraron calculadoras mecánicas posteriores del siglo XIX. ^{[ 57 ]}

Los sumadores realizan sumas de enteros en computadoras digitales electrónicas, generalmente utilizando aritmética binaria . La arquitectura más simple es el sumador de acarreo en cascada, que sigue el algoritmo estándar de múltiples dígitos. Una ligera mejora es el diseño de salto de acarreo , que también sigue la intuición humana; no se realizan todos los acarreos al calcular 999 + 1 , sino que se omite el grupo de 9 y se pasa directamente a la respuesta. ^{[ 58 ]}

En la práctica, la suma computacional se puede lograr mediante operaciones lógicas bit a bit XOR y AND junto con operaciones de desplazamiento de bits. Tanto las compuertas XOR como AND son fáciles de implementar en lógica digital, lo que permite la realización de circuitos sumadores completos , que a su vez se pueden combinar en operaciones lógicas más complejas. En las computadoras digitales modernas, la suma de enteros suele ser la instrucción aritmética más rápida, pero tiene el mayor impacto en el rendimiento, ya que subyace a todas las operaciones de punto flotante, así como a tareas básicas como la generación de direcciones durante el acceso a memoria y la obtención de instrucciones durante las bifurcaciones . Para aumentar la velocidad, los diseños modernos calculan los dígitos en paralelo ; estos esquemas se conocen como selección de acarreo, anticipación de acarreo y pseudoacarreo de Ling . Muchas implementaciones son, de hecho, híbridas de estos tres últimos diseños. ^{[ 59 ]}

Algunas computadoras decimales de finales de la década de 1950 y principios de la de 1960 usaban tablas de suma en lugar de sumadores, por ejemplo, RCA 301, ^{[ 60 ]} IBM 1620 . ^{[ 61 ]}

La aritmética implementada en una computadora puede desviarse del ideal matemático de varias maneras. Por ejemplo, si el resultado de una suma es demasiado grande para que la computadora lo almacene, se produce un desbordamiento aritmético , lo que genera un mensaje de error o una respuesta incorrecta. El desbordamiento aritmético imprevisto es una causa bastante común de errores de programa . Estos errores de desbordamiento pueden ser difíciles de descubrir y diagnosticar porque pueden manifestarse solo con conjuntos de datos de entrada muy grandes, que tienen menos probabilidades de usarse en pruebas de validación. ^{[ 62 ]} El problema del año 2000 fue una serie de errores en los que se produjeron errores de desbordamiento debido al uso de un formato de dos dígitos para los años. ^{[ 63 ]}

Las computadoras tienen otra forma de representar números, llamada aritmética de punto flotante , que es similar a la notación científica descrita anteriormente y que reduce el problema del desbordamiento. Cada número de punto flotante tiene dos partes: un exponente y una mantisa. Para sumar dos números de punto flotante, los exponentes deben coincidir, lo que generalmente implica desplazar la mantisa del número menor. Si la disparidad entre el número mayor y el menor es demasiado grande, puede producirse una pérdida de precisión. Si se van a sumar muchos números pequeños a un número grande, es mejor sumar primero los números pequeños y luego sumar el total al número mayor, en lugar de sumar los números pequeños al número grande uno por uno. Esto hace que la suma de punto flotante sea generalmente no asociativa. ^{[ 64 ]}

Hay dos formas populares de definir la suma de dos números naturales.${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$. Si se definen los números naturales como las cardinalidades de conjuntos finitos (la cardinalidad de un conjunto es el número de elementos en el conjunto), entonces es apropiado definir su suma de la siguiente manera: ^{[ 68 ]}

Dejar${\displaystyle N(S)}$sea ​​la cardinalidad de un conjunto${\displaystyle S}$Toma dos conjuntos disjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$, con${\displaystyle N(A)=a}$y${\displaystyle N(B)=b}$. Entonces${\displaystyle a+b}$se define como${\displaystyle N(A\cup B)}$, dónde${\displaystyle A\cup B}$significa la unión de${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$...

La otra definición popular es recursiva: ^{[ 69 ]}

Dejar${\displaystyle n^{+}}$ser el sucesor de${\displaystyle n}$, ese es el número siguiente${\displaystyle n}$en los números naturales, por lo tanto${\displaystyle 0^{+}=1}$,${\displaystyle 1^{+}=2}$. Definir${\displaystyle a+0=a}$. Definimos la suma general recursivamente mediante${\displaystyle a+b^{+}=(a+b)^{+}}$. Por eso${\displaystyle 1+1=1+0^{+}=(1+0)^{+}=1^{+}=2}$.

Nuevamente, existen pequeñas variaciones de esta definición en la literatura. Tomada literalmente, la definición anterior es una aplicación del teorema de recursión en el conjunto parcialmente ordenado.${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$. ^{[ 70 ]} Por otro lado, algunas fuentes prefieren utilizar un teorema de recursión restringido que se aplica solo al conjunto de los números naturales. Entonces se considera${\displaystyle a}$para ser "arreglado" temporalmente, aplica recursión en${\displaystyle b}$para definir una función "${\displaystyle a+}$", y pega estas operaciones unarias para todos${\displaystyle a}$juntos para formar la operación binaria completa. ^{[ 71 ]}

Esta formulación recursiva de la suma fue desarrollada por Dedekind ya en 1854, y la ampliaría en las décadas siguientes. Demostró las propiedades asociativa y conmutativa, entre otras, mediante inducción matemática . ^{[ 72 ]}

La concepción más simple de un número entero es que consta de un valor absoluto (que es un número natural) y un signo (generalmente positivo o negativo ). El cero es un tercer caso especial, ya que no es ni positivo ni negativo. La definición correspondiente de suma debe proceder por casos: ^{[ 73 ]}

Para un número entero${\displaystyle n}$, dejar${\displaystyle |n|}$sea ​​su valor absoluto.${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$sean números enteros. Si alguno de ellos${\displaystyle a}$o${\displaystyle b}$es cero, trátelo como una identidad. Si${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son ambos positivos, define${\displaystyle a+b=|a|+|b|}$. Si${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son ambos negativos, define${\displaystyle a+b=-(|a|+|b|)}$. Si${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$tienen diferentes signos, define${\displaystyle a+b}$ser la diferencia entre${\displaystyle |a|}$y${\displaystyle |b|}$, con el signo del término cuyo valor absoluto sea mayor.

Por ejemplo, −6 + 4 = −2 ; como −6 y 4 tienen signos diferentes, se restan sus valores absolutos, y como el valor absoluto del término negativo es mayor, la respuesta es negativa.

Aunque esta definición puede ser útil para problemas concretos, la cantidad de casos a considerar complica innecesariamente las demostraciones. Por lo tanto, el siguiente método se usa comúnmente para definir los enteros. Se basa en la observación de que todo entero es la diferencia de dos enteros naturales y que dos de tales diferencias,${\displaystyle ab}$y${\displaystyle cd}$son iguales si y solo si${\displaystyle a+d=b+c}$. Por lo tanto, se pueden definir formalmente los enteros como las clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales bajo la relación de equivalencia.${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$si y solo si${\displaystyle a+d=b+c}$. ^{[ 74 ]} La clase de equivalencia de${\displaystyle (a,b)}$contiene o${\displaystyle (ab,0)}$si${\displaystyle a\geq b}$, o${\displaystyle (0,ba)}$si no fuera así. Dado que${\displaystyle n}$Si es un número natural, entonces se puede denotar${\displaystyle +n}$la clase de equivalencia de${\displaystyle (n,0)}$y por${\displaystyle -n}$la clase de equivalencia de${\displaystyle (0,n)}$Esto permite identificar el número natural.${\displaystyle n}$con la clase de equivalencia${\displaystyle +n}$.

La suma de pares ordenados se realiza componente por componente: ^{[ 75 ]}$${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$$ Un cálculo sencillo muestra que la clase de equivalencia del resultado depende únicamente de las clases de equivalencia de los sumandos, y por lo tanto, que esto define una suma de clases de equivalencia, es decir, números enteros. ^{[ 76 ]} Otro cálculo sencillo muestra que esta suma es la misma que la definición del caso anterior.

La suma de números racionales involucra fracciones . El cálculo se puede realizar utilizando el mínimo común denominador , pero una definición conceptualmente más simple involucra solo la suma y la multiplicación de números enteros: $${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}$$ Como ejemplo, la suma${\textstyle {\frac {3}{4}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3\,\times \,8\,+\,4\,\times \,1}{4\times 8}}={\frac {24\,+\,4}{32}}={\frac {28}{32}}={\frac {7}{8}}}$. ^{[ 77 ]}

La suma de fracciones es mucho más sencilla cuando los denominadores son iguales; en este caso, basta con sumar los numeradores manteniendo el mismo denominador: $${\displaystyle {\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}},}$$ entonces${\textstyle {\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1\,+\,2}{4}}={\frac {3}{4}}}$. ^{[ 77 ]}

La conmutatividad y la asociatividad de la suma racional son consecuencias fáciles de las leyes de la aritmética entera. ^{[ 78 ]}

Una construcción común del conjunto de los números reales es la completación de Dedekind del conjunto de los números racionales. Un número real se define como un corte de Dedekind de los racionales: un conjunto no vacío de racionales que es cerrado hacia abajo y no tiene un elemento máximo . La suma de los números reales a y b se define elemento por elemento: ^{[ 79 ]}$${\displaystyle a+b=\{q+r\mid q\in a,r\in b\}.}$$ Esta definición fue publicada por primera vez, en una forma ligeramente modificada, por Richard Dedekind en 1872. ^{[ 80 ]} La conmutatividad y la asociatividad de la suma real son inmediatas; al definir el número real 0 como el conjunto de los racionales negativos, se ve fácilmente como la identidad aditiva. Probablemente la parte más compleja de esta construcción relativa a la suma sea la definición de inversos aditivos. ^{[ 81 ]}

Desafortunadamente, manejar la multiplicación de cortes de Dedekind es un proceso que consume mucho tiempo y que se realiza caso por caso, similar a la suma de enteros con signo. ^{[ 82 ]} Otro enfoque es la completación métrica de los números racionales. Un número real se define esencialmente como el límite de una sucesión de Cauchy de racionales,${\displaystyle \lim a_{n}}$. La suma se define término por término: ^{[ 83 ]}$${\displaystyle \lim _{n}a_{n}+\lim _{n}b_{n}=\lim _{n}(a_{n}+b_{n}).}$$ This definition was first published by Georg Cantor, also in 1872, although his formalism was slightly different.^[84] One must prove that this operation is well-defined, dealing with co-Cauchy sequences. Once that task is done, all the properties of real addition follow immediately from the properties of rational numbers. Furthermore, the other arithmetic operations, including multiplication, have straightforward, analogous definitions.^[85]

Complex numbers are added by adding the real and imaginary parts of the summands.^[86][87] That is to say:

${\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.}$

Using the visualization of complex numbers in the complex plane, the addition has the following geometric interpretation: the sum of two complex numbers A and B, interpreted as points of the complex plane, is the point X obtained by building a parallelogram three of whose vertices are O, A and B.^[88]

In group theory, a group is an algebraic structure that allows for composing any two elements. In the special case where the order does not matter, the composition operator is sometimes called addition. Such groups are referred to as Abelian or commutative; the composition operator is often written as "+".^[89]

In linear algebra, a vector space is an algebraic structure that allows for adding any two vectors and for scaling vectors. A familiar vector space is the set of all ordered pairs of real numbers; the ordered pair ${\displaystyle (a,b)}$ is interpreted as a vector from the origin in the Euclidean plane to the point ${\displaystyle (a,b)}$ in the plane. The sum of two vectors is obtained by adding their individual coordinates: $${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$$ This addition operation is central to classical mechanics, in which velocities, accelerations and forces are all represented by vectors.^[90]

La suma de matrices se define para dos matrices de las mismas dimensiones. La suma de dos matrices m × n (pronunciado "m por n") A y B , denotada por A + B , es nuevamente una matriz m × n calculada sumando los elementos correspondientes: ^{[ 91 ] [ 92 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\[8mu]&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}\\[8mu]&={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

En aritmética modular , el conjunto de números disponibles se restringe a un subconjunto finito de los enteros, y la suma se "envuelve" al alcanzar un valor determinado, llamado módulo. ^{[ 93 ]} Por ejemplo, el conjunto de enteros módulo 12 tiene doce elementos; hereda de los enteros una operación de suma que es fundamental para la teoría de conjuntos musicales . ^{[ 94 ]} El conjunto de enteros módulo  2 tiene solo dos elementos; la operación de suma que hereda se conoce en lógica booleana como la función " o exclusivo ". ^{[ 95 ]} Una operación similar de "envolvimiento" surge en geometría , donde la suma de dos medidas de ángulos se suele tomar como su suma como números reales módulo  2π. Esto equivale a una operación de suma en el círculo , que a su vez se generaliza a las operaciones de grupos de Lie de dimensiones superiores . ^{[ 96 ]}

La teoría general del álgebra abstracta permite que una operación de "suma" sea cualquier operación asociativa y conmutativa sobre un conjunto. Las estructuras algebraicas básicas con dicha operación de suma incluyen los monoides conmutativos y los grupos abelianos . ^{[ 97 ]}

Las combinaciones lineales combinan la multiplicación y la suma; son sumas en las que cada término tiene un multiplicador, generalmente un número real o complejo . Las combinaciones lineales son especialmente útiles en contextos donde la suma directa violaría alguna regla de normalización, como la mezcla de estrategias en la teoría de juegos o la superposición de estados en la mecánica cuántica . ^{[ 98 ]}

Una generalización de gran alcance de la suma de números naturales es la suma de números ordinales y cardinales en la teoría de conjuntos. Estas proporcionan dos generalizaciones diferentes de la suma de números naturales al conjunto transfinito . A diferencia de la mayoría de las operaciones de suma, la suma de números ordinales no es conmutativa. ^{[ 99 ]} Sin embargo, la suma de números cardinales es una operación conmutativa estrechamente relacionada con la operación de unión disjunta . ^{[ 100 ]}

En la teoría de categorías , la unión disjunta se considera un caso particular de la operación de coproducto , ^{[ 101 ]} y los coproductos generales son quizás las generalizaciones más abstractas de la suma. El coproducto, como la suma directa, recibe este nombre para evocar su conexión con la suma. ^{[ 102 ]}

La resta puede considerarse como una especie de suma, es decir, la suma de un inverso aditivo . La resta es en sí misma una especie de inverso de la suma, en el sentido de que añadir${\displaystyle x}$y restando${\displaystyle x}$son funciones inversas . ^{[ 103 ]} Dado un conjunto con una operación de suma, no siempre se puede definir una operación de resta correspondiente en ese conjunto; el conjunto de los números naturales es un ejemplo sencillo. Por otro lado, una operación de resta determina de forma única una operación de suma, una operación inversa aditiva y una identidad aditiva; por esta razón, un grupo aditivo puede describirse como un conjunto cerrado bajo la resta. ^{[ 104 ]}

La multiplicación puede considerarse como una suma repetida . Si un solo término x aparece en una suma${\displaystyle n}$veces, entonces la suma es el producto de${\displaystyle n}$y x . No obstante, esto solo funciona para números naturales . ^{[ 105 ]} Por definición general, la multiplicación es la operación entre dos números, llamados multiplicador y multiplicando, que se combinan en un solo número llamado producto. ^{[ 106 ]}

En los números reales y complejos, la suma y la multiplicación pueden intercambiarse mediante la función exponencial : ^{[ 107 ]}$${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}.}$$ Esta identidad permite realizar la multiplicación consultando una tabla de logaritmos y calculando la suma a mano; también posibilita la multiplicación con una regla de cálculo . La fórmula sigue siendo una buena aproximación de primer orden en el contexto amplio de los grupos de Lie , donde relaciona la multiplicación de elementos infinitesimales del grupo con la suma de vectores en el álgebra de Lie asociada . ^{[ 108 ]}

Hay incluso más generalizaciones de la multiplicación que de la suma. ^{[ 109 ]} En general, las operaciones de multiplicación siempre se distribuyen sobre la suma; este requisito se formaliza en la definición de un anillo . En algunos contextos, los números enteros, la distributividad sobre la suma y la existencia de una identidad multiplicativa son suficientes para determinar la operación de multiplicación de forma única. La propiedad distributiva también proporciona información sobre la operación de suma; al expandir el producto${\displaystyle (1+1)(a+b)}$En ambos casos, se concluye que la suma es necesariamente conmutativa. Por esta razón, la suma de anillos es conmutativa en general. ^{[ 110 ]}

La división es una operación aritmética remotamente relacionada con la suma. Dado que${\displaystyle a/b=ab^{-1}}$La división es distributiva derecha sobre la suma:${\displaystyle (a+b)/c=a/c+b/c}$. ^{[ 111 ]} Sin embargo, la división no es distributiva por la izquierda sobre la suma, como por ejemplo${\displaystyle 1/(2+2)}$no es lo mismo que${\displaystyle 1/2+1/2}$. ^{[ 112 ]}

El funcionamiento máximo${\displaystyle \max(a,b)}$es una operación binaria similar a la suma. De hecho, si dos números no negativos${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son de diferentes órdenes de magnitud , su suma es aproximadamente igual a su máximo. Esta aproximación es extremadamente útil en las aplicaciones de las matemáticas, por ejemplo, en la truncación de series de Taylor . Sin embargo, presenta una dificultad perpetua en el análisis numérico , esencialmente porque "máximo" no es invertible. Si${\displaystyle b}$es mucho mayor que${\displaystyle a}$, entonces un cálculo sencillo de${\displaystyle (a+b)-b}$puede acumular un error de redondeo inaceptable , pudiendo incluso devolver cero. Véase también Pérdida de significancia . ^{[ 64 ]}

La aproximación se vuelve exacta en una especie de límite infinito; si o bien${\displaystyle a}$o${\displaystyle b}$es un número cardinal infinito , su suma cardinal es exactamente igual al mayor de los dos. ^{[ d ]} Por consiguiente, no existe ninguna operación de resta para los cardinales infinitos. ^{[ 114 ]}

La maximización es conmutativa y asociativa, al igual que la suma. Además, dado que la suma preserva el orden de los números reales, la suma se distribuye sobre "máximo" de la misma manera que la multiplicación se distribuye sobre la suma: $${\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c).}$$ Por estas razones, en geometría tropical se reemplaza la multiplicación por la suma y la suma por la maximización. En este contexto, la suma se denomina "multiplicación tropical", la maximización se denomina "suma tropical" y la "identidad aditiva" tropical es el infinito negativo . ^{[ 115 ]} Algunos autores prefieren reemplazar la suma por la minimización; entonces la identidad aditiva es el infinito positivo. ^{[ 116 ]}

Al relacionar estas observaciones, la suma tropical se relaciona aproximadamente con la suma regular mediante el logaritmo : $${\displaystyle \log(a+b)\approx \max(\log a,\log b),}$$ que se vuelve más precisa a medida que aumenta la base del logaritmo. ^{[ 117 ]} La aproximación se puede hacer exacta extrayendo una constante${\displaystyle h}$, denominada por analogía con la constante de Planck de la mecánica cuántica , ^{[ 118 ]} y tomando el " límite clásico " como${\displaystyle h}$tiende a cero: $${\displaystyle \max(a,b)=\lim _{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).}$$ En este sentido, la operación máxima es una versión descuantizada de la suma. ^{[ 119 ]}

La convolución se utiliza para sumar dos variables aleatorias independientes definidas por funciones de distribución . Su definición habitual combina integración, resta y multiplicación. ^{[ 120 ]}