hexaedro de Tetrakis

Modelo de matriz y cristal

Dibujo y modelo cristalino de una variante con simetría tetraédrica llamada tetraedro hexakis ^{[ 1 ]}

En geometría , un tetrakis hexaedro (también conocido como tetrahexaedro , hextetraedro , tetrakis cubo y kiscubo ^{[ 2 ]} ) es un sólido de Catalan . Su dual es el octaedro truncado , un sólido de Arquímedes . ^{[ 3 ]}

Se le puede llamar hexaedro disdiakis o tetraedro hexakis como dual de un tetraedro omnitruncado , y como subdivisión baricéntrica de un tetraedro. ^{[ 4 ]}

El nombre «tetrakis» se utiliza para los kleetopos de poliedros con caras cuadradas. ^{[ 2 ]} Por lo tanto, el hexaedro tetrakis puede considerarse como un cubo con pirámides cuadradas que cubren cada cara cuadrada, el kleetopo del cubo. La construcción resultante puede ser convexa o no convexa, dependiendo de la altura de las pirámides cuadradas. Para el resultado convexo, este sólido comprende veinticuatro triángulos isósceles. ^{[ 5 ]} Una forma no convexa de esta figura, con caras triangulares equiláteras , tiene la misma geometría superficial que el octaedro regular , y un modelo de octaedro de papel puede plegarse para obtener esta forma. ^{[ 6 ]} Esta forma del hexaedro tetrakis fue ilustrada por Leonardo da Vinci en la Divina proportione de Luca Pacioli . ^{[ 7 ]}

Denotando la longitud de la arista del cubo base por ⁠${\displaystyle a}$⁠ , la altura de cada cima de la pirámide sobre el cubo es ⁠${\displaystyle {\tfrac {a}{4}}}$⁠ . La inclinación de cada cara triangular de la pirámide con respecto a la cara del cubo es${\displaystyle \arctan {\tfrac {1}{2}}\approx 26.565^{\circ }}$(secuencia A073000 en el OEIS ) . Un lado de los triángulos isósceles tiene longitud a , los otros dos tienen longitud ⁠${\displaystyle {\tfrac {3a}{4}},}$⁠ lo cual se deduce aplicando el teorema de Pitágoras a la altura y la longitud de la base. Esto da como resultado una altura de${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}a}{4}}}$en el triángulo ( OEIS : A204188  ). Su área es${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}a^{2}}{8}},}$y los ángulos internos son${\displaystyle \arccos {\tfrac {2}{3}}\approx 48.1897^{\circ }}$y el complementario${\displaystyle 180^{\circ }-2\arccos {\tfrac {2}{3}}\approx 83.6206^{\circ }.}$El volumen de la pirámide es${\displaystyle {\tfrac {a^{3}}{12}};}$⁠ por lo tanto, el volumen total de las seis pirámides y el cubo en el hexaedro es ⁠${\displaystyle {\tfrac {3a^{3}}{2}}.}$⁠

Esta forma no convexa del tetrakis hexaedro se puede plegar a lo largo de las caras cuadradas del cubo interior como una red para una pirámide cúbica de cuatro dimensiones .

Compuesto dual de octaedro truncado y tetrakis hexaedro. El grabado en madera de la izquierda pertenece a Perspectiva Corporum Regularium (1568) de Wenzel Jamnitzer .

El tetrakis hexaedro es un sólido catalán , el poliedro dual de un octaedro truncado . El octaedro truncado es un sólido arquimediano , construido al cortar todos los vértices de un octaedro regular , de modo que el poliedro resultante tiene seis cuadrados y ocho hexágonos. ^{[ 8 ]} El tetrakis hexaedro tiene la misma simetría que el octaedro truncado, la simetría octaédrica . ^{[ 9 ]}

Las coordenadas cartesianas de los 14 vértices de un tetrakis hexaedro centrado en el origen son los puntos $${\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {3}{2}}},0,0{\bigr )},\ {\bigl (}0,\pm {\tfrac {3}{2}},0{\bigr )},\ {\bigl (}0,0,\pm {\tfrac {3}{2}}{\bigr )},\ {\bigl (}{\pm 1},\pm 1,\pm 1{\bigr )}.}$$

La longitud de las aristas más cortas de este tetrakis hexaedro es igual a 3/2, y la de las aristas más largas es igual a 2. Las caras son triángulos isósceles agudos. El ángulo mayor de estos es igual a${\displaystyle \arccos {\tfrac {1}{9}}\approx 83.62^{\circ }}$y los dos más pequeños son iguales${\displaystyle \arccos {\tfrac {2}{3}}\approx 48.19^{\circ }}$.

El tetrakis hexaedro es 4-conexo : cada tres de sus vértices se separan de los demás, y el grafo permanece conexo. Todo poliedro 4-conexo puede representarse como un poliedro ideal , y el tetrakis hexaedro es uno de ellos. ^{[ 10 ]}

Se observan formaciones naturales ( cristalinas ) de tetrahexaedros en sistemas de cobre y fluorita . ^{[ 3 ]}

Los jugadores a veces utilizan dados poliédricos con forma de hexaedro tetrakis .

Una celda de 24 celdas vista bajo una proyección de perspectiva con los vértices primero tiene una topología de superficie de un tetrakis hexaedro y las proporciones geométricas de un dodecaedro rómbico , con las caras rómbicas divididas en dos triángulos.

El tetrakis hexaedro aparece como uno de los ejemplos más sencillos en la teoría de la construcción . Consideremos el espacio simétrico riemanniano asociado al grupo SL ₄ ( R ) . Su frontera Tits tiene la estructura de un edificio esférico cuyos apartamentos son esferas bidimensionales. La partición de esta esfera en símplices esféricos (cámaras) se puede obtener tomando la proyección radial de un tetrakis hexaedro.

Con simetría tetraédrica , las caras triangulares representan los 24 dominios fundamentales de la simetría tetraédrica. ^{[ 11 ]} Este poliedro se puede construir a partir de seis círculos máximos en una esfera. También se puede visualizar como un cubo con sus caras cuadradas trianguladas por sus vértices y centros de caras, y como un tetraedro con sus caras divididas por vértices, aristas medias y un punto central.

• Triacontaedro de Disdyakis
• dodecaedro de Disdyakis
• Azulejos de kirchombille
• Compuesto de tres octaedros
• Icositetraedro deltoidal , otro sólido catalán de 24 caras.

• Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511569371 , ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 (Los trece poliedros convexos semirregulares y sus duales, página 14, Tetrakishexahedron)
• Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5(Capítulo 21, Nomenclatura de los poliedros y teselaciones arquimedianos y catalanes, página 284, hexaedro de Tetrakis)

• Weisstein, Eric W. , " Hexaedro de Tetrakis " (" Sólido de Catalan ") en MathWorld .
• Poliedros de realidad virtual www.georgehart.com: La enciclopedia de los poliedros
  • Modelo VRML archivado el 22/11/2021 en Wayback Machine .
  • Notación de Conway para poliedros : Pruebe con "dtO" o "kC".
• Hexaedro de Tetrakis : modelo interactivo de poliedro
• Los poliedros uniformes