Teorema de las tres geodésicas

En geometría diferencial, el teorema de las tres geodésicas , también conocido como teorema de Lyusternik-Schnirelmann , establece que toda variedad riemanniana con topología esférica posee al menos tres geodésicas cerradas simples (es decir, tres círculos geodésicos inmersos). ^{[ 1 ]} Este resultado también puede extenderse a cuasigeodésicas en un poliedro convexo y a geodésicas cerradas de 2-esferas de Finsler reversibles . El teorema es preciso: si bien toda 2-esfera riemanniana contiene infinitas geodésicas cerradas distintas, solo tres de ellas tienen garantizada la ausencia de autointersecciones. Por ejemplo, según un resultado de Morse , si las longitudes de los tres ejes principales de un elipsoide son distintas, pero suficientemente cercanas entre sí, entonces el elipsoide posee únicamente tres geodésicas cerradas simples. ^{[ 2 ]}

Una geodésica , en una superficie riemanniana, es una curva que es localmente recta en cada uno de sus puntos. En el plano euclidiano, las geodésicas son líneas rectas , y en una esfera, son círculos máximos . El camino más corto en la superficie entre dos puntos es siempre una geodésica, pero también pueden existir otras geodésicas. Se dice que una geodésica es cerrada si regresa a su punto de partida y dirección inicial; al hacerlo, puede cruzarse a sí misma varias veces. El teorema de las tres geodésicas establece que, para superficies homeomorfas a la esfera, existen al menos tres geodésicas cerradas que no se cruzan a sí mismas. Puede haber más de tres; por ejemplo, una esfera tiene infinitas.

Este resultado proviene de las matemáticas de la navegación oceánica, donde la superficie de la tierra puede modelarse con precisión mediante un elipsoide , y del estudio de las geodésicas en un elipsoide , las rutas más cortas que pueden recorrer los barcos. En particular, un elipsoide triaxial casi esférico tiene solo tres geodésicas cerradas simples, sus ecuadores. ^{[ 3 ]} En 1905, Henri Poincaré conjeturó que toda superficie lisa topológicamente equivalente a una esfera contiene igualmente al menos tres geodésicas cerradas simples, ^{[ 1 ]} y en 1929 Lazar Lyusternik y Lev Schnirelmann publicaron una demostración de la conjetura; si bien el argumento topológico general de la demostración era correcto, empleó un resultado de deformación que posteriormente se encontró erróneo. ^{[ 4 ]} Varios autores propusieron soluciones insatisfactorias para la brecha. En la década de 1980, Grayson proporcionó una solución universalmente aceptada, siguiendo una sugerencia de Karen Uhlenbeck , mediante el flujo de acortamiento de curva . ^{[ 5 ]}

Una versión reforzada del teorema establece que, en cualquier superficie riemanniana que sea topológicamente una esfera, necesariamente existen tres geodésicas cerradas simples cuya longitud es como máximo proporcional al diámetro de la superficie. ^{[ 6 ]}

El número de geodésicas cerradas de longitud como máximo L en una esfera topológica lisa crece en proporción a L /log L , pero no se puede garantizar que todas esas geodésicas sean simples. ^{[ 7 ]} 

En superficies de Riemann hiperbólicas compactas , existen infinitas geodésicas cerradas simples, pero solo un número finito de geodésicas con una longitud límite dada. Estas geodésicas se codifican analíticamente mediante la función zeta de Selberg . Maryam Mirzakhani investigó la tasa de crecimiento del número de geodésicas cerradas simples en función de su longitud . ^{[ 8 ]}

La existencia de tres geodésicas cerradas simples también se cumple para cualquier métrica de Finsler reversible en la 2-esfera. ^{[ 9 ]}

En su famosa lista de problemas ^{[ 10 ]} de 1982, Shing-Tung Yau planteó la conjetura de que toda 3-esfera riemanniana contiene al menos 4 esferas mínimas incrustadas. En 2023, Zhichao Wang y Xin Zhou demostraron la conjetura de Yau para el caso de métricas genéricas utilizando la teoría min-max de Simon-Smith . ^{[ 11 ]}

Para superficies mínimas de género distinto de cero, Brian White conjeturó ^{[ 12 ]} en 1989 que toda 3-esfera contiene al menos 5 toros mínimos incrustados . En 2024, Adrian Chun-Pong Chu y Yangyang Li confirmaron la conjetura de White para métricas con curvatura de Ricci positiva. ^{[ 13 ]} Además, Chu demostró que en el caso de Ricci positiva, toda 3-esfera contiene al menos 1 superficie mínima de género g , para todo g . ^{[ 14 ]} Sus demostraciones también se basan en la teoría min-max de Simon-Smith .

También es posible definir geodésicas en algunas superficies que no son completamente lisas, como los poliedros convexos . La superficie de un poliedro convexo tiene una métrica localmente euclidiana, excepto en los vértices, y una curva que evita los vértices es una geodésica si sigue segmentos de línea recta dentro de cada cara del poliedro y permanece recta al cruzar cada arista. Si bien algunos poliedros tienen geodésicas cerradas simples (por ejemplo, el tetraedro regular y los disfenoides tienen infinitas geodésicas cerradas, todas simples) ^{[ 15 ] [ 16 ]} , otros no. En particular, una geodésica cerrada simple de un poliedro convexo necesariamente bisecaría el defecto angular total de los vértices, y casi todos los poliedros carecen de tales bisectrices. ^{[ 3 ] [ 15 ]}

Sin embargo, el teorema de las tres geodésicas puede extenderse a poliedros convexos considerando cuasigeodésicas, curvas que son geodésicas excepto en los vértices de los poliedros y que tienen ángulos menores que π en ambos lados en cada vértice que cruzan. Una versión del teorema de las tres geodésicas para poliedros convexos establece que todos los poliedros tienen al menos tres cuasigeodésicas cerradas simples; esto puede demostrarse aproximando el poliedro por una superficie lisa y aplicando el teorema de las tres geodésicas a esta superficie. ^{[ 17 ]} Es un problema abierto si alguna de estas cuasigeodésicas puede construirse en tiempo polinomial . ^{[ 18 ] [ 19 ]}