Flujo que acorta la curva

Para que el flujo esté bien definido, la curva dada debe ser suficientemente suave como para tener una curvatura continua. Sin embargo, una vez que comienza el flujo, la curva se vuelve analítica y permanece así hasta alcanzar una singularidad en la que la curvatura diverge. Para una curva suave sin cruces, la única singularidad posible ocurre cuando la curva colapsa en un punto, pero las curvas inmersas pueden tener otros tipos de singularidad. ^{[ 5 ]} En tales casos, con cierto cuidado es posible continuar el flujo más allá de estas singularidades hasta que toda la curva se contraiga en un solo punto. ^{[ 6 ]}

Para una curva cerrada simple, utilizando una extensión del flujo a curvas no suaves basada en el método de conjunto de nivel , solo hay dos posibilidades. Las curvas con medida de Lebesgue cero (incluyendo todos los polígonos y curvas suaves por partes) evolucionan instantáneamente en curvas suaves, después de lo cual evolucionan como cualquier curva suave. Sin embargo, las curvas de Osgood con medida no nula evolucionan inmediatamente en un anillo topológico con área no nula y límites suaves. ^{[ 7 ]} La curva sinusoidal del topólogo es un ejemplo que se vuelve suave instantáneamente, a pesar de no estar conectada localmente ; ejemplos como este muestran que la evolución inversa del flujo de acortamiento de curvas puede llevar curvas bien comportadas a singularidades complicadas en un tiempo finito. ^{[ 8 ]}

El flujo de acortamiento de curvas, y muchos de los resultados sobre este flujo, pueden generalizarse del plano euclidiano a cualquier variedad riemanniana bidimensional . Para evitar tipos adicionales de singularidad, es importante que la variedad sea convexa en el infinito ; esto se define como que todo conjunto compacto tiene una envoltura convexa compacta , definida mediante la convexidad geodésica . El flujo de acortamiento de curvas no puede hacer que una curva se desvíe de su envoltura convexa, por lo que esta condición impide que partes de la curva alcancen el límite de la variedad. ^{[ 9 ]}

El flujo de acortamiento de curvas también se ha estudiado para curvas en el espacio euclidiano tridimensional . El vector normal en este caso se puede definir (como en el plano) como la derivada del vector tangente con respecto a la longitud de arco, normalizada a un vector unitario ; es uno de los componentes del marco de Frenet-Serret . No está bien definido en puntos de curvatura cero, pero el producto de la curvatura y el vector normal permanece bien definido en esos puntos, lo que permite definir el flujo de acortamiento de curvas. Las curvas en el espacio pueden cruzarse entre sí o consigo mismas según este flujo, y el flujo puede conducir a singularidades en las curvas; cada singularidad es asintótica a un plano. ^{[ 10 ]} Sin embargo, se sabe que las curvas esféricas y las curvas que se pueden proyectar ortogonalmente en una curva plana convexa regular permanecen simples. ^{[ 11 ]} El flujo de acortamiento de curvas para curvas espaciales se ha utilizado como una forma de definir el flujo más allá de singularidades en curvas planas. ^{[ 12 ]}

Es posible extender la definición del flujo a entradas más generales que las curvas, por ejemplo, utilizando varifolds rectificables o el método de conjuntos de nivel . Sin embargo, estas definiciones extendidas pueden permitir que partes de las curvas se desvanezcan instantáneamente o se expandan formando conjuntos de área no nula. ^{[ 13 ]}

Una variante comúnmente estudiada del problema involucra redes de curvas suaves disjuntas internamente, con uniones donde convergen tres o más curvas. Cuando todas las uniones tienen exactamente tres curvas que convergen en ángulos de 2π / 3 (las mismas condiciones que se observan en un árbol de Steiner óptimo o en una espuma bidimensional de burbujas de jabón ), el flujo está bien definido a corto plazo. Sin embargo, eventualmente puede alcanzar un estado singular con cuatro o más curvas que convergen en una unión, y puede haber más de una forma de continuar el flujo más allá de dicha singularidad. ^{[ 14 ]}

Si dos curvas simples cerradas suaves y disjuntas experimentan simultáneamente un flujo de acortamiento de curva, permanecen disjuntas a medida que el flujo avanza. Esto se debe a que, si dos curvas suaves se mueven de manera que se cruzan, en el momento del primer cruce serían necesariamente tangentes entre sí, sin llegar a cruzarse. En tal caso, las curvaturas de ambas curvas en el punto de tangencia las separarían en lugar de unirlas para formar un cruce. Por la misma razón, una sola curva simple cerrada nunca puede llegar a cruzarse a sí misma. Este fenómeno se conoce como principio de evitación. ^{[ 15 ]}

El principio de evitación implica que cualquier curva cerrada suave debe eventualmente alcanzar una singularidad, como un punto de curvatura infinita. Pues, si una curva suave C está rodeada por un círculo, ambos permanecerán disjuntos mientras existan. Pero el círculo que la contiene se contrae bajo el flujo de curvatura, permaneciendo circular, hasta que colapsa, y por el principio de evitación C debe permanecer contenida dentro de él. Por lo tanto, si C nunca alcanzara una singularidad, quedaría atrapada en un solo punto en el momento en que el círculo colapsa, lo cual es imposible para una curva suave. Esto se puede cuantificar observando que el radio del círculo más pequeño que encierra a C debe disminuir a una tasa al menos tan rápida como la disminución del radio de un círculo que experimenta el mismo flujo. ^{[ 16 ]}

Huisken (1998) cuantifica el principio de evitación para una sola curva en términos de la razón entre la longitud del arco (del más corto de dos arcos) y la distancia euclidiana entre pares de puntos, a veces llamada factor de estiramiento . Demuestra que el factor de estiramiento es estrictamente decreciente en cada uno de sus máximos locales, excepto en el caso de los dos extremos de un diámetro de un círculo, en cuyo caso el factor de estiramiento es constante en π . Esta propiedad de monotonicidad implica el principio de evitación, ya que si la curva alguna vez se tocara a sí misma, el factor de estiramiento se volvería infinito en los dos puntos de contacto. ^{[ 17 ]}

A medida que una curva experimenta el flujo de acortamiento de curva, su longitud L disminuye a una tasa dada por la fórmula

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=-\int \kappa ^{2}\,ds,}$

donde la integral se toma sobre la curva, κ es la curvatura y s es la longitud del arco a lo largo de la curva. El integrando siempre es no negativo, y para cualquier curva cerrada suave existen arcos dentro de los cuales es estrictamente positivo, por lo que la longitud disminuye monótonamente. De manera más general, para cualquier evolución de curvas cuya velocidad normal es f , la tasa de cambio de la longitud es

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=-\int f\kappa \,ds,}$

lo cual puede interpretarse como un producto interno negado entre la evolución dada y el flujo de acortamiento de curva. Por lo tanto, el flujo de acortamiento de curva puede describirse como el flujo gradiente para la longitud, el flujo que (localmente) disminuye la longitud de la curva tan rápidamente como sea posible en relación con la norma L2 del flujo. Esta propiedad es la que da nombre al flujo de acortamiento ^de curva. ^{[ 18 ]}

Para una curva cerrada simple, el área encerrada por la curva se reduce a una tasa constante de 2π unidades de área por unidad de tiempo, independientemente de la curva. Por lo tanto, el tiempo total que tarda una curva en reducirse a un punto es proporcional a su área, independientemente de su forma inicial. ^{[ 19 ]} Debido a que el área de una curva se reduce a una tasa constante, y (por la desigualdad isoperimétrica ) un círculo tiene la mayor área posible entre las curvas cerradas simples de una longitud dada, se deduce que los círculos son las curvas que más tardan en colapsar a un punto bajo el flujo de acortamiento de curvas. Todas las demás curvas tardan menos tiempo en colapsar que un círculo de la misma longitud. ^{[ 20 ]}

La tasa constante de reducción de área es la única ley de conservación que satisface el flujo de acortamiento de la curva. Esto implica que no es posible expresar el "punto de fuga" donde la curva finalmente colapsa como una integral sobre la curva de cualquier función de sus puntos y sus derivadas, porque tal expresión conduciría a una segunda ley de conservación prohibida. ^{[ 21 ]} Sin embargo, al combinar la tasa constante de pérdida de área con el principio de evitación, es posible demostrar que el punto de fuga siempre se encuentra dentro de un círculo, concéntrico con el círculo mínimo que lo contiene, cuya área es la diferencia de áreas entre el círculo que lo contiene y la curva dada. ^{[ 22 ]}

La curvatura absoluta total de una curva suave es la integral del valor absoluto de la curvatura a lo largo de la longitud del arco de la curva,

${\displaystyle K=\int |\kappa |\,ds.}$

También puede expresarse como la suma de los ángulos entre los vectores normales en pares consecutivos de puntos de inflexión . Es 2π para curvas convexas y mayor para curvas no convexas, sirviendo como medida de la no convexidad de una curva. ^{[ 23 ]}

No se pueden crear nuevos puntos de inflexión mediante el flujo de acortamiento de la curva. ^{[ 24 ]} Cada uno de los ángulos en la representación de la curvatura absoluta total como una suma disminuye monótonamente, excepto en los instantes en que dos puntos de inflexión consecutivos alcanzan el mismo ángulo o posición y ambos se eliminan. Por lo tanto, la curvatura absoluta total nunca puede aumentar a medida que la curva evoluciona. Para curvas convexas es constante en 2 π y para curvas no convexas disminuye monótonamente. ^{[ 25 ]}

Si una curva cerrada simple y suave experimenta el proceso de acortamiento de curvas, permanece suavemente incrustada sin autointersecciones. Eventualmente se volverá convexa y, una vez que lo haga, permanecerá convexa. Después de este tiempo, todos los puntos de la curva se moverán hacia adentro y la forma de la curva convergerá a un círculo a medida que toda la curva se contrae hasta un solo punto. Este comportamiento a veces se resume diciendo que toda curva cerrada simple se contrae hasta un "punto redondo". ^{[ 26 ]}

Este resultado se debe a Michael Gage , Richard S. Hamilton y Matthew Grayson. Gage ( 1983 , 1984 ) demostró la convergencia a un círculo para curvas convexas que se contraen a un punto. Más específicamente, Gage mostró que la razón isoperimétrica (la razón del cuadrado de la longitud de la curva a su área, un número que es 4π para un círculo y mayor para cualquier otra curva convexa) disminuye monótona y rápidamente. Gage y Hamilton (1986) demostraron que todas las curvas convexas suaves eventualmente se contraen a un punto sin formar ninguna otra singularidad, y Grayson (1987) demostró que toda curva no convexa eventualmente se volverá convexa. ^{[ 27 ]} Andrews y Bryan (2011) proporcionan una demostración más simple del resultado de Grayson, basada en la monotonicidad del factor de estiramiento. 

Resultados similares pueden extenderse de curvas cerradas a curvas no acotadas que satisfacen una condición de Lipschitz local . Para tales curvas, si ambos lados de la curva tienen área infinita, entonces la curva evolucionada permanece suave y sin singularidades en todo momento. Sin embargo, si un lado de una curva no acotada tiene área finita, y la curva tiene curvatura absoluta total finita, entonces su evolución alcanza una singularidad en un tiempo proporcional al área en el lado de área finita de la curva, con curvatura no acotada cerca de la singularidad. ^{[ 28 ]} Para curvas que son gráficas de funciones suficientemente bien comportadas, asintóticas a un rayo en cada dirección, la solución converge en forma a una forma única que es asintótica a los mismos rayos. ^{[ 29 ]} Para redes formadas por dos rayos disjuntos en la misma línea, junto con dos curvas suaves que conectan los extremos de los dos rayos, se cumple un análogo del teorema de Gage-Hamilton-Grayson, según el cual la región entre las dos curvas se vuelve convexa y luego converge a una forma de vesica piscis . ^{[ 30 ]}

Las curvas que presentan autointersecciones pueden alcanzar singularidades antes de contraerse a un punto. Por ejemplo, si una lemniscata (cualquier curva suave inmersa con una sola intersección, similar a un ocho o al símbolo del infinito ) tiene áreas desiguales en sus dos lóbulos, el lóbulo más pequeño acabará colapsando a un punto. Sin embargo, si los dos lóbulos tienen áreas iguales, permanecerán iguales durante toda la evolución de la curva, y la relación isoperimétrica divergirá a medida que la curva colapsa a una singularidad. ^{[ 4 ]}

Cuando una curva autocruzada localmente convexa se aproxima a una singularidad a medida que uno de sus bucles se contrae, se contrae de forma autosimilar o se aproxima asintóticamente a la curva de la muerte (descrita más adelante) a medida que se contrae. Cuando un bucle colapsa en una singularidad, la cantidad de curvatura absoluta total que se pierde es de al menos 2π o exactamente π . ^{[ 31 ]}

En una variedad riemanniana, cualquier curva cerrada simple y suave seguirá siendo suave y simple a medida que evoluciona, al igual que en el caso euclidiano. O bien colapsará a un punto en un tiempo finito, o bien permanecerá suave y simple para siempre. En este último caso, la curva converge necesariamente a una geodésica cerrada de la superficie. ^{[ 32 ]}

Las curvas inmersas en variedades riemannianas, con un número finito de autointersecciones, se vuelven autotangentes solo en un conjunto discreto de instantes de tiempo, en cada uno de los cuales pierden una intersección. Como consecuencia, el número de puntos de autointersección no es creciente. ^{[ 33 ]}

El acortamiento de curvas en una esfera puede utilizarse como parte de una demostración del teorema de la pelota de tenis . Este teorema establece que toda curva cerrada simple y suave en la esfera que divide su superficie en dos áreas iguales (como la costura de una pelota de tenis ) debe tener al menos cuatro puntos de inflexión . La demostración se basa en la observación de que el acortamiento de curvas conserva la suavidad y las propiedades de bisección de área de la curva, y no aumenta su número de puntos de inflexión. Por lo tanto, permite reducir el problema al de las curvas cercanas a la forma límite del acortamiento de curvas: un círculo máximo . ^{[ 34 ]}

Según la fórmula de monotonicidad de Huisken , la convolución de una curva en evolución con un núcleo de calor invertido en el tiempo no es creciente. Este resultado puede utilizarse para analizar las singularidades de la evolución. ^{[ 35 ]}

Debido a que todas las demás curvas cerradas simples convergen a un círculo, el círculo es la única curva cerrada simple que mantiene su forma bajo el flujo de acortamiento de curvas. Sin embargo, existen muchos otros ejemplos de curvas que no son simples (incluyen autointersecciones) o no son cerradas (se extienden hasta el infinito) y mantienen su forma. En particular, ^{[ 36 ]}

• Cada línea permanece inalterada por el flujo de acortamiento de curvas. Las líneas son las únicas curvas que no se ven afectadas por el flujo de acortamiento de curvas, ^{[ 36 ]} aunque existen redes estables de curvas más complejas, como el teselado hexagonal del plano.
• La curva de la Parca y = − log cos x se mueve hacia arriba sin cambiar su forma. De igual modo, cualquier curva similar a la de la Parca se traslada por el flujo de acortamiento de curvas, desplazándose en la dirección del eje de simetría de la curva sin cambiar su forma ni orientación. La curva de la Parca es la única con esta propiedad. ^{[ 36 ]} También se la conoce como el modelo de horquilla en la literatura física. ^{[ 37 ]}
• Una familia de curvas cerradas que se autocruzan, derivadas de proyecciones de nudos tóricos , se contraen homotéticamente pero permanecen autosimilares bajo el flujo de acortamiento de curvas. ^{[ 36 ]} Estas se conocen como curvas de Abresch-Langer , en honor al trabajo de Abresch y Langer (1986) , ^{[ 38 ]} aunque fueron mencionadas anteriormente por Mullins (1956) y redescubiertas independientemente por Epstein y Weinstein (1987) . Estas curvas son localmente convexas y, por lo tanto, pueden describirse mediante sus funciones de soporte . Versiones escaladas adecuadamente de estas funciones de soporte obedecen la ecuación diferencial.

  ${\displaystyle h''+h={\frac {1}{h}},}$

que tiene soluciones periódicas positivas (correspondientes a curvas con evolución autosimilar) para cualquier período que esté estrictamente entre π y${\displaystyle \pi {\sqrt {2}}}$. ^{[ 38 ]}

• Otras curvas, incluidas algunas espirales infinitas , permanecen autosimilares con movimientos más complicados que incluyen rotación o combinaciones de rotación, contracción o expansión y traslación. ^{[ 36 ]}
• Para redes de curvas suaves, que se encuentran de tres en tres en uniones con ángulos de 2 π /3, las soluciones de contracción autosimilar incluyen una doble burbuja que rodea dos áreas iguales, una forma de lente ( vesica piscis ) delimitada por dos arcos de círculos congruentes junto con dos rayos colineales que tienen sus vértices en las esquinas de la lente, y una red en forma de "pez" delimitada por un segmento de línea, dos rayos y una curva convexa. Cualquier otra red de contracción autosimilar involucra un mayor número de curvas. ^{[ 39 ]} Otra familia de redes crece homotéticamente y permanece autosimilar; estas son redes de curvas en forma de árbol, que se encuentran en ángulos de 2 π /3 en uniones triples, asintóticas a un abanico de dos o más rayos que se encuentran en un punto final común. El caso de dos rayos de estas formas es una curva suave no acotada; para tres o más rayos la evolución de estas formas puede definirse utilizando variantes generalizadas del flujo de acortamiento de curvas como la de los varifolds. Un abanico dado de cuatro o más rayos puede ser asintótico a más de una solución diferente de este tipo, por lo que estas soluciones no proporcionan una definición única para el flujo de acortamiento de curva que comienza desde un abanico de rayos. ^{[ 40 ]}

Una solución antigua a un problema de flujo es una curva cuya evolución puede extrapolarse hacia atrás para siempre, sin singularidades. Todas las soluciones autosimilares que se contraen o mantienen el mismo tamaño en lugar de crecer son soluciones antiguas en este sentido; pueden extrapolarse hacia atrás revirtiendo la transformación de autosimilitud que sufrirían por el flujo de acortamiento de la curva hacia adelante. Así, por ejemplo, el círculo, la parca y las curvas de Abresch-Langer son todas soluciones antiguas. ^{[ 41 ]}

También existen ejemplos que no son autosimilares. Un ejemplo explícito es la solución ovalada de Angenent , basada en el trabajo de Angenent (1992) . Esta familia de curvas puede parametrizarse especificando la curvatura en función del ángulo tangente mediante la fórmula.

${\displaystyle k(\theta ,t)={\sqrt {\cos 2\theta -\operatorname {coth} 2t}}}$

y tienen como forma límite bajo evolución inversa un par de curvas de la muerte que se aproximan entre sí desde direcciones opuestas. ^{[ 42 ]} En el sistema de coordenadas cartesianas , pueden estar dadas por la ecuación de curva implícita ^{[ 43 ]}

${\displaystyle \cosh ye^{-t}\cos x=0.}$

En la literatura de física, las mismas formas se conocen como el modelo del clip de papel . ^{[ 37 ]}

Las soluciones del óvalo de Angenent y del círculo menguante son las únicas soluciones antiguas cuyos intervalos de tiempo delimitan conjuntos convexos acotados. ^{[ 41 ]} Las soluciones de la Parca, del semiespacio estacionario y de la franja estacionaria son los únicos ejemplos cuyos intervalos de tiempo delimitan conjuntos convexos no acotados. ^{[ 44 ]} Existen muchos otros ejemplos localmente convexos (no incrustados), así como muchos otros ejemplos incrustados (no convexos). ^{[ 45 ] [ 46 ]}

Los métodos de seguimiento de frentes se han utilizado durante mucho tiempo en dinámica de fluidos para modelar y rastrear el movimiento de límites entre diferentes materiales, de gradientes pronunciados en propiedades de materiales como frentes meteorológicos , o de ondas de choque dentro de un mismo material. Estos métodos implican derivar las ecuaciones de movimiento del límite y utilizarlas para simular directamente el movimiento del límite, en lugar de simular el fluido subyacente y tratar el límite como una propiedad emergente del fluido. ^{[ 47 ]} Los mismos métodos también pueden utilizarse para simular el flujo de acortamiento de curva, incluso cuando la curva que experimenta el flujo no es un límite ni una onda de choque.

En los métodos de seguimiento frontal para el acortamiento de curvas, la curva que experimenta la evolución se discretiza como un polígono. El método de diferencias finitas se utiliza para derivar fórmulas para el vector normal aproximado y la curvatura en cada vértice del polígono, y estos valores se utilizan para determinar cómo mover cada vértice en cada paso de tiempo. ^{[ 48 ]} Aunque el flujo de acortamiento de curvas se define por el movimiento de una curva perpendicularmente a sí misma, algunas parametrizaciones del flujo de acortamiento de curvas pueden permitir que los vértices que aproximan la curva se muevan de forma no perpendicular. En efecto, esto permite que los vértices se muevan a lo largo de la curva, a medida que esta evoluciona. Elegir una reparametrización cuidadosa puede ayudar a redistribuir los vértices de manera más uniforme a lo largo de la curva en situaciones donde el movimiento perpendicular haría que se agruparan. ^{[ 49 ]} Merriman, Bence y Osher (1992) escriben que estos métodos son rápidos y precisos, pero que es mucho más complicado extenderlos a versiones del flujo de acortamiento de curvas que se aplican a entradas más complicadas que las curvas cerradas simples, donde es necesario lidiar con singularidades y cambios de topología.

Para la mayoría de estos métodos, Cao (2003) advierte que "Las condiciones de estabilidad no se pueden determinar fácilmente y el paso de tiempo debe elegirse ad hoc". ^{[ 50 ]} Otro método de diferencias finitas de Crandall y Lions (1996) modifica la fórmula para la curvatura en cada vértice añadiéndole un pequeño término basado en el operador de Laplace . Esta modificación se llama regularización elíptica y puede usarse para ayudar a demostrar la existencia de flujos generalizados, así como en su simulación numérica. ^{[ 51 ]} Usando esto, se puede demostrar que el método de Crandall y Lions converge y es el único método numérico enumerado por Cao que está equipado con límites en su tasa de convergencia. ^{[ 52 ]} Para una comparación empírica de los métodos de diferencias finitas de Euler hacia adelante , Euler hacia atrás y Crank-Nicolson más precisos , véase Balažovjech y Mikula (2009) .

Mokhtarian y Mackworth (1992) sugieren un método numérico para calcular una aproximación al flujo de acortamiento de la curva que mantiene una aproximación discreta a la curva y alterna entre dos pasos:

• Remuestree la curva actual colocando nuevos puntos de muestreo a una distancia uniforme, medida mediante la longitud de arco normalizada.
• Convoluciona las posiciones de los puntos con una función gaussiana de baja desviación estándar, reemplazando así la posición de cada punto con un promedio ponderado de las posiciones de los puntos cercanos a lo largo de la curva, utilizando ponderaciones gaussianas. La desviación estándar de la función gaussiana debe ser lo suficientemente pequeña como para que, tras este paso, los puntos de la muestra mantengan una distribución casi uniforme.

Como muestran, este método converge a la distribución de acortamiento de curva en el límite a medida que aumenta el número de puntos de muestra y disminuye la longitud de arco normalizada del radio de convolución. ^{[ 53 ]}

Merriman, Bence y Osher (1992) describen un esquema que opera sobre una cuadrícula cuadrada bidimensional, que en la práctica es una matriz de píxeles . La curva que se va a evolucionar se representa asignando el valor 0 (negro) a los píxeles exteriores a la curva y el valor 1 (blanco) a los píxeles interiores, lo que proporciona la función indicadora para el interior de la curva. Esta representación se actualiza alternando dos pasos:

• Se aplica una convolución a la imagen pixelada con un núcleo de calor para simular su evolución bajo la ecuación del calor durante un intervalo de tiempo corto. El resultado es un desenfoque gaussiano de la imagen, o equivalentemente, la transformada de Weierstrass de la función indicadora, con un radio proporcional a la raíz cuadrada del intervalo de tiempo.
• Establece en 0 todos los píxeles con un valor numérico menor que 1/2, y en 1 todos los píxeles con un valor numérico mayor que 1/2, aplicando un umbral a la imagen para que recupere sus valores originales en nuevas posiciones.

Para que este esquema sea preciso, el paso de tiempo debe ser lo suficientemente grande como para que la curva se mueva al menos un píxel incluso en puntos de baja curvatura, pero lo suficientemente pequeño como para que el radio de desenfoque sea menor que el radio mínimo de curvatura. Por lo tanto, el tamaño de un píxel debe ser O (min κ /max κ ² ) , lo suficientemente pequeño como para permitir la elección de un paso de tiempo intermedio adecuado. ^{[ 54 ]}

El método puede generalizarse a la evolución de redes de curvas que se encuentran en uniones y dividen el plano en más de tres regiones, aplicando el mismo método simultáneamente a cada región. ^{[ 54 ]} En lugar de desenfocar y umbralizar, este método puede describirse alternativamente como la aplicación de un filtro de mediana con pesos gaussianos a cada píxel. Es posible utilizar núcleos distintos del núcleo de calor, o refinar adaptativamente la cuadrícula para que tenga alta resolución cerca de la curva, pero no desperdicie tiempo ni memoria en píxeles alejados de la curva que no contribuyen al resultado. ^{[ 55 ]} En lugar de utilizar solo los dos valores de la imagen pixelada, una versión de este método que utiliza una imagen cuyos valores de píxel representan la distancia con signo a la curva puede lograr una precisión subpíxel y requerir una resolución menor. ^{[ 56 ]}

Una referencia temprana al flujo de acortamiento de curvas por William W. Mullins ( 1956 ) lo motiva como un modelo para el proceso físico del recocido , en el cual el tratamiento térmico provoca el desplazamiento de los límites entre los granos de metal cristalizado. A diferencia de las películas de jabón , que se ven obligadas por las diferencias de presión del aire a convertirse en superficies de curvatura media constante , los límites de grano en el recocido están sujetos únicamente a efectos locales, que provocan su movimiento según el flujo de curvatura media. El caso unidimensional de este flujo, el flujo de acortamiento de curvas, corresponde al recocido de láminas de metal lo suficientemente delgadas como para que los granos se vuelvan efectivamente bidimensionales y sus límites unidimensionales. ^{[ 57 ]} 

En el procesamiento de imágenes y la visión por computadora , Mokhtarian y Mackworth (1992) sugieren aplicar el flujo de acortamiento de curva al contorno de una forma derivada de una imagen digital, con el fin de eliminar el ruido de la forma y proporcionar un espacio de escala que ofrezca una descripción simplificada de la forma en diferentes niveles de resolución. El método de Mokhtarian y Mackworth implica calcular el flujo de acortamiento de curva, rastrear los puntos de inflexión de la curva a medida que avanzan a través del flujo y dibujar un gráfico que represente las posiciones de los puntos de inflexión alrededor de la curva en función del parámetro de tiempo. Los puntos de inflexión se eliminarán típicamente de la curva en pares a medida que la curva se vuelve convexa (de acuerdo con el teorema de Gage-Hamilton-Grayson) y la vida útil de un par de puntos corresponde a la prominencia de una característica de la forma. Debido al método de convolución remuestreada que describen para calcular una aproximación numérica del flujo de acortamiento de curva, denominan a su método espacio de escala de curvatura remuestreada . Observan que este espacio de escalas es invariante bajo transformaciones euclidianas de la forma dada, y afirman que determina de forma única la forma y es robusto frente a pequeñas variaciones en la misma. Lo comparan experimentalmente con varias definiciones alternativas relacionadas de un espacio de escalas para formas, y encuentran que el espacio de escalas de curvatura remuestreado requiere menos recursos computacionales, es más robusto frente al ruido no uniforme y se ve menos influenciado por pequeñas diferencias de forma. ^{[ 58 ]}

En los sistemas de reacción-difusión modelados por la ecuación de Allen-Cahn , el comportamiento límite para una reacción rápida, una difusión lenta y dos o más mínimos locales de energía con el mismo nivel de energía entre sí es que el sistema se estabilice en regiones de diferentes mínimos locales, con los frentes que delimitan los límites entre estas regiones evolucionando de acuerdo con el flujo de acortamiento de la curva. ^{[ 59 ]}

En un autómata celular , cada celda en una cuadrícula infinita de celdas puede tener uno de un conjunto finito de estados, y todas las celdas actualizan sus estados simultáneamente basándose únicamente en la configuración de un pequeño conjunto de celdas vecinas. Una regla de autómata celular tipo Life es aquella en la que la cuadrícula es la red cuadrada infinita, hay exactamente dos estados de celda, el conjunto de vecinos de cada celda son los ocho vecinos del vecindario de Moore , y la regla de actualización depende solo del número de vecinos con cada uno de los dos estados en lugar de cualquier función más compleja de esos estados. En una regla tipo Life en particular, introducida por Gerard Vichniac y llamada regla de mayoría retorcida o regla de recocido, la regla de actualización establece el nuevo valor para cada celda como la mayoría entre las nueve celdas dadas por ella y sus ocho vecinos, excepto cuando estas celdas se dividen entre cuatro con un estado y cinco con el otro estado, en cuyo caso el nuevo valor de la celda es la minoría en lugar de la mayoría. La dinámica detallada de esta regla es compleja, incluyendo la existencia de pequeñas estructuras estables. ^{[ 60 ]} Sin embargo, en el agregado (cuando se comienza con todas las celdas en estados aleatorios) tiende a formar grandes regiones de celdas que están todas en el mismo estado entre sí, con los límites entre estas regiones evolucionando de acuerdo con el flujo de acortamiento de la curva. ^{[ 61 ]}

El flujo de acortamiento de curvas puede utilizarse para demostrar una desigualdad isoperimétrica para superficies cuya curvatura gaussiana es una función no creciente de la distancia al origen , como el paraboloide . En dicha superficie, el conjunto compacto liso que tiene un área dada y un perímetro mínimo para esa área es necesariamente un círculo centrado en el origen. La demostración aplica el flujo de acortamiento de curvas a dos curvas, un círculo métrico y el límite de cualquier otro conjunto compacto, y compara el cambio en el perímetro de las dos curvas cuando ambas se reducen a un punto mediante el flujo. ^{[ 62 ]} El flujo de acortamiento de curvas también puede utilizarse para demostrar el teorema de las tres geodésicas , que establece que toda variedad riemanniana lisa topológicamente equivalente a una esfera tiene tres geodésicas que forman curvas cerradas simples . ^{[ 63 ]}