Análisis real

Los números reales constituyen el marco básico del análisis real, que comienza con su construcción . Los números reales se distinguen de los racionales por su completitud . En términos generales, los números reales no tienen huecos. Esta completitud puede formalizarse de varias maneras equivalentes, una de las cuales es la propiedad de la cota superior mínima . Esta propiedad establece que si un conjunto no vacío de números reales está acotado superiormente, es decir, si todos sus elementos son menores que algún número (una cota superior), entonces existe una cota superior mínima , que es una cota superior menor que todas las demás. ^{[ 1 ]}

La mayoría de los teoremas que se demuestran en análisis real se basan en la completitud de una u otra forma. Algunos ejemplos donde su relevancia es más evidente son los siguientes: La convergencia de sucesiones monótonas acotadas , es decir, sucesiones crecientes (o decrecientes), es esencialmente equivalente a la propiedad de la cota superior mínima, expresada en forma de sucesiones. La completitud también se refleja en el teorema del valor intermedio : la imagen continua de un intervalo es de nuevo un intervalo, por lo que las funciones continuas no pueden crear discontinuidades. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

The concept of a limit underlies many of the ideas of calculus, such as the derivative. It is therefore of fundamental importance in real analysis, which provides the rigorous justification for calculus. Limits describe how a sequence, function, or family of functions behave under a limiting process, such as letting an index tend to infinity, or a letting point become very large or approach another point. The formal language of limits defines continuity, differentiation, integration, infinite series, and various kinds of approximations and asymptotics.^[4][5][6]

A recurring problem in real analysis is not just whether a limit exists, but how well one object approximates another. A convergent sequence approximates its limit, or a differentiable function is approximated by a linear function coming from the derivative. But real analysis can provide not only tools to justify the existence of these limits and how to calculate them, but also quantitative estimates of how good the approximation is. One example of this is the Taylor remainder, which gives an effective and computable constant that determines how well the linear approximation (or higher-order Taylor polynomial) approximates a function on an interval.^[7][8][9]

For sequences of functions, real analysis distinguishes between different modes of convergence. A sequence of functions converges pointwise if it converges at every point, but, roughly speaking, the rate of convergence may vary from point to point. It converges uniformly if it converges at all points at a comparable rate. Uniform convergence can be understood intuitively in terms of the graphs of the functions in the sequence: it means that, for any given thin error band around the limiting function, all but finitely many functions in the sequence stay within the band. Pointwise convergence means that this is true for an error band around each point, but the finite set of functions which must be excluded varies from point to point.^[10][11]

For sequences of functions, pointwise convergence often fails to preserve operations on the limit function. For example, it is not generally true that the pointwise limit of a sequence of continuous functions is continuous, or that the integral of the functions in a sequence passes to the integral of the limit function. But the uniform limit of continuous functions is continuous, and one can exchange integration and uniform limits on suitable domains. Uniform convergence is therefore important for many applications of real analysis. Questions such as "when is differentiation under the integral allowed?" or "when can I integrate an infinite sum term-by-term?" are typical examples in which uniform convergence provides a simple answer.^[12][11]

Differentiation measures the local rate of change of a function. In one variable, the derivative gives the slope of the best linear approximation to a function near a point. This point of view extends to several variables, where differentiability is expressed in terms of approximation by a linear map.^[7][8][13]

In addition to proving rigorously the fundamental properties of the derivative from calculus, such as the chain rule, real analysis also establishes the main theorems about the derivative, such as the mean value theorem and some of its generalizations like the Cauchy mean value theorem. Roughly speaking, the mean value theorem relates the derivative of a function to its average rate of change over intervals. The mean value theorem is important because it leads to an effective way to estimate the error in certain approximations or averaging processes.^[7][8][9]

El análisis real estudia no solo la existencia de derivadas, sino también los grados de regularidad. Una función puede ser continua pero no diferenciable en ningún punto, diferenciable pero no continuamente diferenciable, o suave (con derivadas de todos los órdenes) pero no analítica (igual a su serie de Taylor). Un teorema que a veces se demuestra a nivel elemental es el teorema de Darboux , que establece que la derivada de una función diferenciable satisface la propiedad del valor intermedio ; más débil que la continuidad, pero aún aplicable a una clase restringida de funciones. En análisis más avanzado, las cuestiones de regularidad se vuelven fundamentales. La derivada clásica resulta muy inconveniente en muchas aplicaciones, como en las ecuaciones diferenciales, donde muchos problemas tienen una formulación variacional más natural mediante la integración en lugar de la diferenciación. Las funciones que se deben considerar a menudo no son diferenciables, por lo que se consideran generalizaciones de la diferenciabilidad, e incluso qué constituye una función. La regularidad entonces implica preguntas sobre si las derivadas generalizadas son derivadas honestas y cuán suaves son las soluciones de las ecuaciones. Este es un tema común en la teoría de la medida, las ecuaciones diferenciales parciales, los espacios de Sobolev y el cálculo de variaciones. ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

La integración en análisis otorga un significado riguroso a la promediación, la acumulación y el área. La integral de Riemann formaliza la integral mediante aproximaciones por sumas finitas sobre intervalos. La integral de Riemann se fundamenta en los cursos básicos de análisis real. El teorema fundamental del cálculo , que relaciona la integración y la diferenciación, se demuestra para la integral de Riemann. Este teorema es la base de muchos cálculos exactos en el cálculo integral elemental, al reducir las integrales definidas a antiderivadas. El teorema del valor medio para la integración establece que el valor medio de una función continua sobre un intervalo, definido por una integral de Riemann, es igual al valor de la función en algún punto dentro del intervalo. El teorema del valor medio es importante para obtener estimaciones analíticas en aplicaciones analíticas; por ejemplo, una forma del resto de Taylor lo utiliza. ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}

La integral de Lebesgue se introduce en el análisis real avanzado. En lugar de aproximar la integral mediante sumas finitas utilizando particiones del dominio, la integral de Lebesgue particiona el rango. Si bien la idea es similar a la integral de Riemann, se diferencia de esta en que se debe formular el área de secciones horizontales que no son rectángulos conectados, sino que pueden estar distribuidas sobre conjuntos complejos en el dominio. Así, la formulación de la integral de Lebesgue conduce naturalmente a la teoría de la medida , cuya cuestión fundamental es cómo medir subconjuntos de la recta real —es decir, asignarles una noción de longitud— si se permite que dichos subconjuntos sean muy complejos. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

Una de las razones del éxito de la integral de Lebesgue en análisis es su mayor compatibilidad con los procesos límite. Por ejemplo, bajo hipótesis relativamente suaves, el límite de las integrales de Lebesgue de los miembros de una sucesión de funciones que converge puntualmente es igual a la integral del límite puntual ( teorema de convergencia dominada ). Además, la integral de Lebesgue admite una clase más amplia de funciones integrables. La integral de Riemann, aunque no se usa ampliamente en análisis matemático, aún tiene sus aplicaciones: la mayoría de las integraciones numéricas se basan en el método de Riemann en lugar del de Lebesgue. ^{[ 22 ] [ 23 ]}

La teoría de la medida trata la longitud, el área, el volumen, la masa y la probabilidad como instancias de un concepto general de medida. Esta teoría permite identificar funciones que son iguales excepto en un conjunto de medida cero , y se dice que tales funciones son iguales casi en todas partes . En teoría de la probabilidad, la noción relevante es casi seguramente . Un ejemplo es lanzar una moneda justa una secuencia infinita de veces. Es posible que la moneda caiga cruz siempre, pero este evento tiene probabilidad cero: esencialmente puede excluirse de cualquier argumento probabilístico. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

El teorema de convergencia monótona , el lema de Fatou , el teorema de convergencia dominada y el teorema de Fubini son teoremas básicos sobre la integral de Lebesgue. ^{[ 20 ] [ 21 ]} El análisis real de la teoría de la medida también proporciona el lenguaje de la probabilidad y de muchos espacios de funciones. En la teoría de la probabilidad , los valores esperados son integrales con respecto a medidas de probabilidad . En la teoría de los espacios L ^p , las funciones se estudian según propiedades de integrabilidad y se identifican cuando coinciden casi en todas partes. ^{[ 24 ] [ 25 ]}

Las series infinitas constituyen uno de los procesos límite básicos del análisis real. Una serie numérica se define por la convergencia de sus sumas parciales , y las cuestiones relativas a su convergencia absoluta , convergencia condicional y reordenamientos ilustran la diferencia entre sumas finitas e infinitas. Las series de potencias y las series de Taylor conectan las series infinitas con la diferenciabilidad y la analiticidad. ^{[ 26 ] [ 27 ]}

Las sucesiones y series se utilizan para aproximar y representar funciones. La convergencia uniforme proporciona condiciones bajo las cuales la continuidad, la integrabilidad y, a veces, la diferenciabilidad, se transfieren a la función límite. Las series de potencias pueden utilizarse para representar algunas funciones localmente, mientras que las series de Fourier representan funciones periódicas en términos de series trigonométricas . Estas conducen desde el análisis elemental a cuestiones de teoría de la aproximación (qué tan bien se representa una función mediante una serie o suma parcial), análisis armónico (qué se puede inferir sobre la regularidad de la función a partir de sus representaciones) y la teoría de espacios de funciones (qué clases de funciones pueden representarse, y qué tan bien, de cierta manera). ^{[ 28 ] [ 29 ]}

Muchos de los teoremas del análisis real pueden formularse en espacios métricos . Los espacios métricos generalizan la recta real y los espacios euclidianos , en el sentido de que tienen una noción de función de distancia definida en ellos que satisface algunas reglas naturales. Los teoremas básicos sobre límites y continuidad se mantienen, esencialmente sin cambios, en el contexto más general, por lo que los tratamientos elementales del tema a menudo describen esta generalización. ^{[ 30 ] [ 31 ]} Las generalizaciones a espacios métricos son importantes en muchas áreas de las matemáticas. Un ejemplo de un espacio métrico es una superficie en el espacio euclidiano. Las propiedades analíticas de métricas como esta son similares a las del espacio euclidiano, y la geometría diferencial implica el estudio de espacios métricos como superficies y sus generalizaciones a dimensiones superiores. ^{[ 32 ]} Otros espacios métricos en matemáticas son muy diferentes de los espacios euclidianos. En teoría de números , por ejemplo, los espacios métricos se utilizan para codificar información aritmética e invariantes, un ejemplo básico de los cuales son los números p-ádicos . ^{[ 33 ]}

En el análisis real propiamente dicho, la mayoría de los ejemplos de espacios métricos distintos de los espacios euclidianos son espacios de funciones , es decir, espacios de funciones que se definen por alguna propiedad. En los ejemplos básicos considerados en el análisis real, estos espacios de funciones tienen una métrica que proviene de una norma . Un ejemplo es el espacio de funciones continuas en el intervalo unitario , denotado${\displaystyle C([0,1])}$Dada una función de valores reales en el intervalo unitario, el valor absoluto máximo de la función define la norma. La métrica es la máxima diferencia absoluta entre dos funciones. La noción de convergencia que define esta métrica es la de convergencia uniforme, de modo que el lenguaje de la convergencia uniforme de funciones continuas puede empaquetarse en un único espacio métrico. Este es un ejemplo de un espacio de Banach : la métrica que define esta norma es completa , lo cual es consecuencia de un teorema que establece que el límite uniforme de funciones continuas es continuo. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 34 ]}

Otro ejemplo de espacios métricos que aparecen en el análisis real, donde la métrica proviene de una norma, es el espacio${\displaystyle L^{1}}$de funciones integrables de Lebesgue, y la función de distancia es la integral del valor absoluto de la diferencia de dos funciones. (Aquí se considera que las funciones son iguales si difieren en un conjunto de medida cero). Por lo tanto, en un dominio finito, la distancia entre dos funciones es esencialmente la distancia promedio entre sus valores. Los espacios de funciones medibles integrables al cuadrado forman un espacio métrico, donde la norma está inducida por un producto interno . Este producto interno es completo: las funciones integrables al cuadrado son un espacio de Hilbert . Los espacios L ^p son generalizaciones de estos. Las métricas que se obtienen de los espacios L ^p son completas: son espacios de Banach, con la identificación usual de funciones medibles que son iguales casi en todas partes. ^{[ 35 ] [ 36 ]}

Estos espacios de funciones, si bien son todos espacios vectoriales de dimensión infinita y comparten teoremas de convergencia similares por ser todos espacios métricos, difieren tanto globalmente como espacios, como localmente en términos de la estructura fina que deben tener las funciones para pertenecer a ellos. El análisis funcional se ocupa de estos espacios y sus generalizaciones, sus propiedades globales y de convergencia. El análisis armónico se ocupa de las propiedades finas necesarias para la pertenencia y de estimar cómo se comportan los operadores determinados por la estructura fina en estos espacios: una pregunta típica aquí es caracterizar cuándo la derivada de una función está en un cierto espacio L ^p , por ejemplo. ^{[ 37 ] [ 16 ]}

Muchas aplicaciones de los espacios métricos al análisis se basan en un espacio métrico con propiedades adicionales que aseguran que ciertos límites existen y pertenecen al espacio. Una de estas propiedades es si un espacio métrico es completo , y otra es si un espacio métrico es compacto . ^{[ 30 ] [ 38 ] [ 39 ]}

La completitud de un espacio se formula en términos de sucesiones de Cauchy dentro del mismo. Una sucesión en un espacio converge a un límite si todos sus miembros, salvo un número finito, están arbitrariamente cerca del límite. Ahora bien, si una sucesión converge, entonces todos sus miembros, salvo un número finito, están cerca del límite y, por lo tanto, deben estar cerca entre sí. Esta propiedad caracteriza las sucesiones de Cauchy en un espacio métrico. Dicho con mayor precisión, una sucesión es de Cauchy si, para cualquier tolerancia de error, todos sus miembros, salvo un número finito, se encuentran dentro de dicha tolerancia de error. Un espacio métrico es completo si toda sucesión de Cauchy converge. Los números reales, por ejemplo, son completos en este sentido. ^{[ 40 ] [ 38 ] [ 41 ]}

Un teorema clave para los espacios métricos completos es el teorema de la aplicación de contracción . Este teorema dice que si una transformación${\displaystyle T}$de un espacio completo disminuye las distancias entre puntos por al menos un factor de${\displaystyle C<1}$, de modo que${\displaystyle \operatorname {dist} (Tx,Ty)\leq C\operatorname {dist} (x,y)}$, entonces la transformación tiene un único punto fijo , que es un punto del espacio tal que${\displaystyle Tx=x}$Este teorema es particularmente importante en ecuaciones diferenciales , ya que proporciona el teorema básico de existencia y unicidad para soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias —el teorema de existencia de Picard— , así como un método para converger a él —la iteración de Picard— . Además, proporciona estimaciones de la tasa de convergencia, siempre que se pueda determinar la constante de contractividad.${\displaystyle C}$. ^{[ 38 ] [ 42 ]}

Otro concepto en espacios métricos es la compacidad. Un espacio métrico es compacto si toda sucesión tiene una subsucesión convergente. Los espacios métricos compactos también son completos, pero la compacidad es útil para garantizar la existencia de límites sin necesidad de estudiar una condición de Cauchy aparte. En análisis real básico, el teorema de Bolzano-Weierstrass demuestra que un subconjunto del espacio euclidiano es compacto si y solo si es cerrado y acotado. ^{[ 43 ] [ 38 ] [ 41 ]}

Una noción más general de compacidad se aplica a espacios topológicos generales que no son necesariamente espacios métricos, y se basa en la idea de que los espacios compactos deben ser conjuntos finitos generalizados. Los conjuntos finitos tienen la propiedad de que, siempre que estén cubiertos por una familia de subconjuntos, de modo que cada miembro del conjunto pertenezca a algún miembro de la cobertura, es posible cubrir el conjunto finito con una subfamilia finita. Por ejemplo, se puede elegir de cada elemento del conjunto finito un miembro de la familia de cobertura que lo contiene. Un espacio métrico es compacto en este sentido si toda cobertura por conjuntos abiertos tiene una subcobertura finita. Un ejemplo de un conjunto compacto en este sentido es un intervalo cerrado.${\displaystyle [a,b]}$Siempre que este conjunto esté cubierto por intervalos abiertos, es posible cubrirlo con un número finito de intervalos. Esto se puede demostrar mediante una aplicación directa de la propiedad de la cota superior mínima. Se puede demostrar que un conjunto compacto en la recta real está acotado, considerando una cobertura abierta por intervalos.${\displaystyle (-n,n)}$y utilizando una subcubierta finita para extraer una cota. También se puede demostrar que es cerrado mediante una simple demostración por contradicción. Otro resultado fundamental en análisis real es el teorema de Heine-Borel , que establece lo contrario: un subconjunto de la recta real (o del espacio euclidiano, más generalmente) es compacto en este sentido si y solo si es cerrado y acotado. ^{[ 38 ] [ 30 ] [ 39 ]}

La compacidad juega un papel importante a través de su interacción con la continuidad. El teorema del valor extremo en cálculo, por ejemplo, dice que una función continua en un intervalo cerrado${\displaystyle [a,b]}$alcanza tanto un valor máximo como un valor mínimo. En análisis real, esto se generaliza: cualquier función continua de valor real en un espacio métrico compacto alcanza tanto un valor máximo como un valor mínimo. Este resultado es importante en la teoría de optimización porque garantiza la existencia de máximos y mínimos, a menudo en situaciones muy generales donde existe compacidad pero ya no se trabaja con subconjuntos de la recta real (u otro espacio euclidiano). ^{[ 44 ] [ 38 ] [ 45 ]}

Otro teorema en análisis real, relacionado con la compacidad y las funciones continuas, es el teorema de Arzelà-Ascoli . Este afirma que si una sucesión de funciones continuas en un espacio métrico compacto es uniformemente acotada (todas las funciones comparten una cota superior e inferior común) y equicontinua (todas las funciones comparten un módulo de continuidad común), entonces la sucesión de funciones tiene una subsucesión uniformemente convergente. Este teorema tiene aplicaciones en ecuaciones diferenciales, ya que puede utilizarse para garantizar la existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales donde no se cumplen los criterios más estrictos del teorema de existencia de Picard. Un ejemplo de aplicación es el teorema de existencia de Peano . El teorema de Arzelà-Ascoli es en sí mismo una especie de afirmación de compacidad, que caracteriza la compacidad en el espacio de Banach de funciones en un espacio métrico compacto. ^{[ 38 ] [ 11 ] [ 34 ]}

Las distribuciones (o funciones generalizadas ) son objetos que generalizan funciones . Las distribuciones permiten diferenciar funciones cuyas derivadas no existen en el sentido clásico. En particular, toda función localmente integrable tiene una derivada distribucional.

El análisis real es un área del análisis que estudia conceptos como sucesiones y sus límites, continuidad, diferenciación , integración y sucesiones de funciones. Por definición, el análisis real se centra en los números reales , incluyendo a menudo el infinito positivo y negativo para formar la recta real extendida . El análisis real está estrechamente relacionado con el análisis complejo , que estudia, en líneas generales, las mismas propiedades de los números complejos . En el análisis complejo, es natural definir la diferenciación mediante funciones holomorfas , que poseen varias propiedades útiles, como la diferenciabilidad repetida, la expresividad como series de potencias y la satisfacción de la fórmula integral de Cauchy .

En el análisis real, suele ser más natural considerar funciones diferenciables , suaves o armónicas , que tienen una aplicabilidad más amplia, pero que pueden carecer de algunas propiedades más potentes de las funciones holomorfas. Sin embargo, resultados como el teorema fundamental del álgebra son más sencillos cuando se expresan en términos de números complejos.

En el análisis real se utilizan con frecuencia técnicas de la teoría de funciones analíticas de una variable compleja, como la evaluación de integrales reales mediante el cálculo de residuos .