teoría de placas

Modo de vibración de una placa cuadrada sujeta

En mecánica de medios continuos , las teorías de placas son descripciones matemáticas de la mecánica de placas planas que se basan en la teoría de vigas . Las placas se definen como elementos estructurales planos con un espesor pequeño en comparación con las dimensiones planas. ^{[ 1 ]} La relación típica entre espesor y ancho de una estructura de placa es menor que 0,1. Una teoría de placas aprovecha esta disparidad en la escala de longitud para reducir el problema completo de mecánica de sólidos tridimensional a un problema bidimensional. El objetivo de la teoría de placas es calcular la deformación y las tensiones en una placa sometida a cargas .

De las numerosas teorías de placas que se han desarrollado desde finales del siglo XIX, dos son ampliamente aceptadas y utilizadas en ingeniería. Estas son:

La teoría de placas de Kirchhoff - Love (teoría clásica de placas)
La teoría de placas de Reissner-Mindlin (teoría de placas de corte de primer orden)

Teoría de Kirchhoff-Love para placas delgadas

La teoría de Kirchhoff - Love es una extensión de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli a placas delgadas. Esta teoría fue desarrollada en 1888 por Love ^{[ 2 ]} utilizando supuestos propuestos por Kirchhoff. Se asume que un plano de superficie media puede utilizarse para representar la placa tridimensional en forma bidimensional.

En esta teoría se hacen las siguientes suposiciones cinemáticas: ^{[ 3 ]}

Las líneas rectas normales a la superficie media permanecen rectas después de la deformación.
Las líneas rectas normales a la superficie media permanecen normales a la superficie media después de la deformación.
El espesor de la placa no cambia durante una deformación.

Campo de desplazamiento

La hipótesis de Kirchhoff implica que el campo de desplazamiento tiene la forma

{\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}=u_{\alpha }^{0}-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}

dónde $x_{1}$ y $x_{2}$ son las coordenadas cartesianas en la superficie media de la placa no deformada, $x_{3}$ es la coordenada para la dirección del espesor, $u_{1}^{0},u_{2}^{0}$ son los desplazamientos en el plano de la superficie media, y $w^{0}$ es el desplazamiento de la superficie media en el $x_{3}$ dirección.

Si $\varphi _{\alpha }$ son los ángulos de rotación de la normal a la superficie media, entonces en la teoría de Kirchhoff-Love $\varphi _{\alpha }=w_{,\alpha }^{0}\,.$

Relaciones deformación-desplazamiento

Para la situación en la que las deformaciones en la placa son infinitesimales y las rotaciones de las normales de la superficie media son menores de 10°, las relaciones deformación-desplazamiento son:

{\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}

Por lo tanto, las únicas deformaciones distintas de cero se producen en las direcciones del plano.

Si las rotaciones de las normales a la superficie media están en el rango de 10° a 15°, las relaciones deformación-desplazamiento pueden aproximarse utilizando las deformaciones de von Kármán . Entonces, las suposiciones cinemáticas de la teoría de Kirchhoff-Love conducen a las siguientes relaciones deformación-desplazamiento.

{\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}~w_{,\beta }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}

Esta teoría es no lineal debido a los términos cuadráticos en las relaciones deformación-desplazamiento.

Ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones de equilibrio para la placa se pueden derivar del principio del trabajo virtual . Para la situación en la que las deformaciones y rotaciones de la placa son pequeñas, las ecuaciones de equilibrio para una placa sin carga vienen dadas por

{\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }&=0\end{aligned}}

donde las resultantes de tensión y las resultantes de momento de tensión se definen como

N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}

y el espesor de la placa es $2h$ Las cantidades $\sigma _{\alpha \beta }$ son las tensiones.

Si la placa está sometida a una carga externa distribuida $q(x)$ que es normal a la superficie media y está dirigida en la dirección positiva. $x_{3}$ dirección, el principio del trabajo virtual conduce entonces a las ecuaciones de equilibrio

${\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q&=0\end{aligned}}$

Para rotaciones moderadas, las relaciones deformación-desplazamiento adoptan la forma de von Karman y las ecuaciones de equilibrio pueden expresarse como

{\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+[N_{\alpha \beta }~w_{,\beta }^{0}]_{,\alpha }-q&=0\end{aligned}}

Condiciones de contorno

Las condiciones de contorno necesarias para resolver las ecuaciones de equilibrio de la teoría de placas se pueden obtener a partir de los términos de contorno del principio del trabajo virtual.

Para pequeñas deformaciones y pequeñas rotaciones, las condiciones de contorno son

{\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\\n_{\beta }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad w_{,\alpha }^{0}\end{aligned}}

Tenga en cuenta que la cantidad $n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }$ es una fuerza de corte efectiva.

Relaciones tensión-deformación

Las relaciones tensión-deformación para una placa elástica lineal de Kirchhoff vienen dadas por

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}

Desde $\sigma _{\alpha 3}$ y $\sigma _{33}$ Como no aparecen en las ecuaciones de equilibrio, se asume implícitamente que estas cantidades no tienen ningún efecto sobre el balance de momento y se desprecian.

Es más conveniente trabajar con las resultantes de tensión y momento que intervienen en las ecuaciones de equilibrio. Estas están relacionadas con los desplazamientos por

{\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}

y

{\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}\,.

Las rigideces extensionales son las cantidades

A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}

Las rigideces de flexión (también llamadas rigidez flexional ) son las cantidades

D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}

Placa de Kirchhoff isotrópica y homogénea

Para una placa isotrópica y homogénea, las relaciones tensión-deformación son:

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.

Los momentos correspondientes a estas tensiones son

{\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}

Flexión pura

Los desplazamientos $u_{1}^{0}$ y $u_{2}^{0}$ son cero en condiciones de flexión pura . Para una placa isotrópica y homogénea bajo flexión pura, la ecuación que rige es

{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}=0\quad {\text{where}}\quad w:=w^{0}\,.

En notación de índices,

w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0\,.

En notación tensorial directa, la ecuación que rige es

$\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0\,.$

Carga transversal

Para una placa cargada transversalmente sin deformaciones axiales, la ecuación que rige el comportamiento tiene la forma

{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}=-{\frac {q}{D}}

dónde

D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.

para una placa con espesor $2h$ . En notación de índice,

w_{,1111}^{0}+2\,w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=-{\frac {q}{D}}

y en notación directa

\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\frac {q}{D}}\,.

En coordenadas cilíndricas $(r,\theta ,z)$ , la ecuación que rige es

{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]=-{\frac {q}{D}}\,.

Placa de Kirchhoff ortotrópica y homogénea

Para una placa ortotrópica

{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {1}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}\,.

Por lo tanto,

{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {2h}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}

y

{\begin{bmatrix}D_{11}&D_{12}&D_{13}\\D_{21}&D_{22}&D_{23}\\D_{31}&D_{32}&D_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {2h^{3}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}\,.

Carga transversal

La ecuación que rige una placa de Kirchhoff ortotrópica cargada transversalmente por una carga distribuida. $q$ por unidad de área es

D_{x}w_{,1111}^{0}+2D_{xy}w_{,1122}^{0}+D_{y}w_{,2222}^{0}=-q

dónde

{\begin{aligned}D_{x}&=D_{11}={\frac {2h^{3}E_{1}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\\D_{y}&=D_{22}={\frac {2h^{3}E_{2}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\\D_{xy}&=D_{33}+{\tfrac {1}{2}}(\nu _{21}D_{11}+\nu _{12}D_{22})=D_{33}+\nu _{21}D_{11}={\frac {4h^{3}G_{12}}{3}}+{\frac {2h^{3}\nu _{21}E_{1}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\,.\end{aligned}}

Dinámica de placas delgadas de Kirchhoff

La teoría dinámica de las placas determina la propagación de las ondas en las placas, así como el estudio de las ondas estacionarias y los modos de vibración.

Ecuaciones rectoras

Las ecuaciones que rigen la dinámica de una placa de Kirchhoff-Love son:

{\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }^{0}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}\end{aligned}}

donde, para una placa con densidad $\rho =\rho (x)$ ,

J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}

y

{\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}

Las siguientes figuras muestran algunos modos de vibración de una placa circular.

modo k = 0, p = 1
modo k = 1, p = 2

placas isotrópicas

Las ecuaciones gobernantes se simplifican considerablemente para placas isotrópicas y homogéneas para las cuales se pueden despreciar las deformaciones en el plano y tienen la forma

D\,\left({\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{2}^{4}}}\right)=-q(x_{1},x_{2},t)-2\rho h\,{\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}\,.

dónde $D$ es la rigidez a la flexión de la placa. Para una placa uniforme de espesor $2h$ ,

D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.

En notación directa

D\,\nabla ^{2}\nabla ^{2}w^{0}=-q(x,y,t)-2\rho h\,{\ddot {w}}^{0}\,.

Teoría de Reissner-Mindlin para placas gruesas

En la teoría de placas gruesas, a la que contribuyeron Eric Reissner , ^{[ 4 ]} Raymond Mindlin , ^{[ 5 ]} y Yakov S. Uflyand, ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} la normal a la superficie media permanece recta pero no necesariamente perpendicular a la superficie media. Si $\varphi _{1}$ y $\varphi _{2}$ designar los ángulos que la superficie media forma con la $x_{3}$ eje entonces

\varphi _{1}\neq w_{,1}~;~~\varphi _{2}\neq w_{,2}

Entonces, la hipótesis de Mindlin-Reissner implica que

{\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}

Relaciones deformación-desplazamiento

Dependiendo de la cantidad de rotación de las normales de la placa, se pueden derivar dos aproximaciones diferentes para las deformaciones a partir de las suposiciones cinemáticas básicas.

Para pequeñas deformaciones y pequeñas rotaciones, las relaciones deformación-desplazamiento para las placas de Mindlin-Reissner son:

{\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-{\frac {x_{3}}{2}}~(\varphi _{\alpha ,\beta }+\varphi _{\beta ,\alpha })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}

La deformación por cizallamiento, y por lo tanto la tensión de cizallamiento , a través del espesor de la placa no se desprecia en esta teoría. Sin embargo, la deformación por cizallamiento es constante a través del espesor de la placa. Esto no puede ser exacto ya que se sabe que la tensión de cizallamiento es parabólica incluso para geometrías de placas simples. Para tener en cuenta la inexactitud en la deformación por cizallamiento, un factor de corrección de cizallamiento ( $\kappa$ ) se aplica de manera que la teoría prediga la cantidad correcta de energía interna . Entonces

\varepsilon _{\alpha 3}={\cfrac {1}{2}}~\kappa ~\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)

Ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones de equilibrio tienen formas ligeramente diferentes dependiendo de la cantidad de flexión esperada en la placa. Para la situación en la que las deformaciones y rotaciones de la placa son pequeñas, las ecuaciones de equilibrio para una placa Mindlin-Reissner son:

{\begin{aligned}&N_{\alpha \beta ,\alpha }=0\\&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\,.\end{aligned}}

Las fuerzas cortantes resultantes en las ecuaciones anteriores se definen como

Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}\,.

Condiciones de contorno

Las condiciones de contorno se indican mediante los términos de contorno en el principio del trabajo virtual.

Si la única fuerza externa es una fuerza vertical sobre la superficie superior de la placa, las condiciones de contorno son:

{\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad \varphi _{\alpha }\\n_{\alpha }~Q_{\alpha }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\end{aligned}}

Relaciones constitutivas

Las relaciones tensión-deformación para una placa elástica lineal de Mindlin-Reissner vienen dadas por

{\begin{aligned}\sigma _{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta \gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{\alpha 3}&=C_{\alpha 3\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{33}&=C_{33\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\end{aligned}}

Desde $\sigma _{33}$ No aparece en las ecuaciones de equilibrio; se asume implícitamente que no tiene ningún efecto sobre el balance de momento y se desprecia. Esta suposición también se denomina suposición de tensión plana . Las relaciones tensión-deformación restantes para un material ortótropo , en forma matricial, se pueden escribir como

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&0&0&0\\0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}

Entonces,

{\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}

y

{\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}~(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}

Para los términos de corte

{\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}={\cfrac {\kappa }{2}}\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{55}&0\\0&C_{44}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}

Las rigideces extensionales son las cantidades

A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}

Las rigideces de flexión son las cantidades

D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}

Placas de Reissner-Mindlin isotrópicas y homogéneas

Para placas uniformemente gruesas, homogéneas e isotrópicas, las relaciones tensión-deformación en el plano de la placa son:

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.

dónde $E$ es el módulo de Young, $\nu$ es el coeficiente de Poisson y $\varepsilon _{\alpha \beta }$ son las deformaciones en el plano. Las tensiones y deformaciones de corte a través del espesor están relacionadas por

\sigma _{31}=2G\varepsilon _{31}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{32}=2G\varepsilon _{32}

dónde $G=E/(2(1+\nu ))$ es el módulo de corte .

Relaciones constitutivas

Las relaciones entre las resultantes de tensión y los desplazamientos generalizados para una placa isotrópica de Mindlin-Reissner son:

{\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2Eh}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}\,,

{\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}\,,

y

{\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}=\kappa Gh{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}\,.

La rigidez a la flexión se define como la cantidad

D={\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}\,.

Para una placa de espesor $H$ , la rigidez a la flexión tiene la forma

D={\cfrac {EH^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\,.

dónde $h={\frac {H}{2}}$

Ecuaciones rectoras

Si ignoramos la extensión en el plano de la placa, las ecuaciones que rigen son:

{\begin{aligned}M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }&=0\\Q_{\alpha ,\alpha }+q&=0\,.\end{aligned}}

En términos de las deformaciones generalizadas $w^{0},\varphi _{1},\varphi _{2}$ , las tres ecuaciones que rigen son

{\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)=-{\frac {q}{D}}\\&\nabla ^{2}w^{0}-{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}=-{\frac {q}{\kappa Gh}}\\&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)=-{\frac {2\kappa Gh}{D(1-\nu )}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\,.\end{aligned}}

Las condiciones de contorno a lo largo de los bordes de una placa rectangular son

{\begin{aligned}{\text{simply supported}}\quad &\quad w^{0}=0,M_{11}=0~({\text{or}}~M_{22}=0),\varphi _{1}=0~({\text{or}}~\varphi _{2}=0)\\{\text{clamped}}\quad &\quad w^{0}=0,\varphi _{1}=0,\varphi _{2}=0\,.\end{aligned}}

Teoría estática de Reissner-Stein para placas en voladizo isotrópicas

En general, las soluciones exactas para placas en voladizo mediante la teoría de placas son bastante complejas y se encuentran pocas en la literatura. Reissner y Stein ^{[ 8 ]} proporcionan una teoría simplificada para placas en voladizo que supone una mejora respecto a teorías anteriores como la teoría de placas de Saint-Venant.

La teoría de Reissner-Stein supone un campo de desplazamiento transversal de la forma

w(x,y)=w_{x}(x)+y\,\theta _{x}(x)\,.

Las ecuaciones que rigen la placa se reducen entonces a dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas:

{\begin{aligned}&bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=q_{1}(x)-n_{1}(x){\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{1}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}\\&{\frac {b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=q_{2}(x)-n_{3}(x){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{3}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}\,{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}\end{aligned}}

dónde

{\begin{aligned}q_{1}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~q_{2}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{1}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\\n_{2}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}y\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{3}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\,.\end{aligned}}

En $x=0$ Dado que la viga está empotrada, las condiciones de contorno son:

w(0,y)={\cfrac {dw}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\qquad \implies \qquad w_{x}(0)={\cfrac {dw_{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=\theta _{x}(0)={\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\,.

Las condiciones de contorno en $x=a$ son

{\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+n_{1}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x1}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}+\left[n_{3}(x)-2bD(1-\nu )\right]{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+t=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}+m_{1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}+m_{2}=0\end{aligned}}

dónde

{\begin{aligned}m_{1}&=\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~m_{2}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\\t&=q_{x2}+m_{3}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q_{x}(y)\,{\text{d}}y+\int _{-b/2}^{b/2}m_{xy}(y)\,{\text{d}}y\,.\end{aligned}}

Véase también

Referencias

↑ Timoshenko, S. y Woinowsky-Krieger, S. "Teoría de placas y láminas". McGraw-Hill, Nueva York, 1959.
↑ AEH Love, Sobre las pequeñas vibraciones libres y deformaciones de las cáscaras elásticas , Philosophical trans. of the Royal Society (Londres), 1888, Vol. série A, N° 17 p. 491–549.
↑ Reddy, JN, 2007, Teoría y análisis de placas y láminas elásticas , CRC Press, Taylor and Francis.
↑ E. Reissner, 1945, El efecto de la deformación por cizallamiento transversal en la flexión de placas elásticas, ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 12, pp. A68–77.
↑ RD Mindlin, Influencia de la inercia rotacional y el esfuerzo cortante en los movimientos de flexión de placas elásticas isotrópicas , Journal of Applied Mechanics, 1951, Vol. 18 págs. 31–38.
↑ Uflyand, Ya. S., 1948, Propagación de ondas por vibraciones transversales de vigas y placas, PMM: Journal of Applied Mathematics and Mechanics, Vol. 12, 287-300 (en ruso)
↑ Elishakoff, I., 2020, Handbook on Timoshenko–Ehrenfest Beam and Uflyand–Mindlin Plate Theories , World Scientific, Singapur, ISBN 978-981-3236-51-6
↑ E. Reissner y M. Stein. Torsión y flexión transversal de placas en voladizo. Nota técnica 2369, Comité Asesor Nacional de Aeronáutica, Washington, 1951.

[timo-1] Timoshenko, S. y Woinowsky-Krieger, S. "Teoría de placas y láminas". McGraw-Hill, Nueva York, 1959.

[2] AEH Love, Sobre las pequeñas vibraciones libres y deformaciones de las cáscaras elásticas , Philosophical trans. of the Royal Society (Londres), 1888, Vol. série A, N° 17 p. 491–549.

[Reddy-3] Reddy, JN, 2007, Teoría y análisis de placas y láminas elásticas , CRC Press, Taylor and Francis.

[4] E. Reissner, 1945, El efecto de la deformación por cizallamiento transversal en la flexión de placas elásticas, ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 12, pp. A68–77.

[5] RD Mindlin, Influencia de la inercia rotacional y el esfuerzo cortante en los movimientos de flexión de placas elásticas isotrópicas , Journal of Applied Mechanics, 1951, Vol. 18 págs. 31–38.

[6] Uflyand, Ya. S., 1948, Propagación de ondas por vibraciones transversales de vigas y placas, PMM: Journal of Applied Mathematics and Mechanics, Vol. 12, 287-300 (en ruso)

[7] Elishakoff, I., 2020, Handbook on Timoshenko–Ehrenfest Beam and Uflyand–Mindlin Plate Theories , World Scientific, Singapur, ISBN 978-981-3236-51-6

[Reissner51-8] E. Reissner y M. Stein. Torsión y flexión transversal de placas en voladizo. Nota técnica 2369, Comité Asesor Nacional de Aeronáutica, Washington, 1951.

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